文档内容
2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷 01（江苏专用）
参考答案
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C C D B A A C D
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9 10 11
ABD BC ACD
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12． 或 13． 14．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
【解析】（1）已知 ， ，可得 ,解得 . （2 分）
所以 ，则 . （4 分）
根据向量模的计算公式可得 .（6 分）
（2）已知 ， ， ,
先求出 .
因为三个向量 不能构成空间的一个基底，所以这三个向量共面. （8 分）
即 存 在 实 数 ， 使 得 ， 则
.
1 / 7由此可得方程组 （10 分）
由 可得 ，将其代入 中，得到 ，
解得 .
把 代入 ，可得 .
再把 ， 代入 ，
可得 ，解得 .（13 分）
16．（15 分）
【解析】（1）∵△ABC 的顶点 A，B 的坐标分别为 ，
∴AB 中点是 ，直线 AB 的斜率是 ，（2 分）
∵线段 AB 中垂线与线段 AB 垂直，
∴线段 AB 中垂线的斜率是 ，
∴线段 AB 的中垂线方程是 ，即 x－3y＋3＝0，（5 分）
令 y＝0，得 x＝－3，即线段 AB 的中垂线在 x 轴上的截距为-3；（7 分）
（2）∵ ，∴AB 边上的高所在直线的斜率为 ，（8 分）
∵ ，∴AB 边上的高所在直线的方程为 ，即 x－3y=0，（10 分）
∵ ，∴AC 边上的高所在直线的斜率为 ，
∵ ，∴AC 边上的高所在直线的方程为 ，即 2x＋3y-19=0，（12 分）
联立 x－3y=0 和 2x＋3y-19=0，得 ， ，
∴△ABC 垂心的坐标为 （15 分）
17．（15 分）
2 / 7【解析】（1）
取 的中点 ，连接 ，因为 是 的中点，所以 ．
又因为 ，所以 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ．
又因为 平面 平面 ，
所以 平面 ．（5 分）
（2）
由题意： 平面 ，且 ，则 两两垂直，所以建立如图所示空间直角坐标
系，
又因为 ， 是 的中点，所以点的坐标为 ， ，
， ，
所以平面 的法向量为 ，（6 分）
设平面 的法向量为 ，
，由 ，
可得 ，令 ，则 ，（8 分）
3 / 7所以 ．
所以，平面 与平面 所成二面角的余弦值为 ．（10 分）
（3）设 ，且 ， ，
则 ，（11 分）
设平面 的法向量为 ，
则 ，可得 ，
令 ，所以 ．（13 分）
因为点 到平面 的距离为 ，
所以 ，解得 ，
所以存在点 ，使得点 到平面 的距离为 ，此时 （15 分）
18.（17 分）
【解析】（1）直线 方程化为 ，
由 解得 ，
所以直线 经过的定点 .（3 分）
（2）
4 / 7（法一）过点 分别向 轴和 轴作垂线，垂足为 、 ，
则矩形 的面积 ，
而 的面积大于矩形 的面积，所以 .（9 分）
（法二）由题意，得 ，
令 ，得 ，则 ，
令 ，得 ，则 ，（7 分）
所以 的面积
，
当且仅当 ，即 时取等号.
所以 的面积 .（9 分）
（3）由 得 ，（10 分）
假设存在直线 ，使得 ，
即存在直线 ，使得 ，（12 分）
由同一三角形面积相等可得此时 ，由 得直线 斜率 ，
直线 的方程为 ，即 （17 分）
19．（17 分）
【解析】（1）
连接 、 ，设 ，连接 ，
， ， ， ，则 ，
，即 是 的角平分线， ，
5 / 7， ， 平面 ， 平面 （5 分）
（2） 平面 ， 平面 ， ，
因为 ， ， ，所以， ，则 ，
， ，所以， ，
所以， ，即 ，
， 平面 ，所以 平面 ，（7 分）
以点 O 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 x、y、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 、 、 ，
设 ， ，
， ， ，
C，D，E，F 四点共面，则 ，解得 ， ， ，
所以点 F 为靠近 A 的三等分点（10 分）
（ii）设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ， （12 分）
设 ，其中 ，
则 ，
所以，
6 / 7，（14 分）
因为 ，所以令 ， ， ，
所以 ，
设 ，对称轴为 ，
故当 或 1，即 或 1 时， 取得最小值 .
因此，当 H 点与 E 点或 F 点重合时直线 与平面 所成角的正弦值的最小值为 .
（17 分）
7 / 7
