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2025
数学参考答案详解及评分说明
一、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分
8 5 40 .
1.A
【解析】因为z ，z ，则z z （ ） （ ）
1=6-5i 2=3+2i 1+ 2= 6-5i + 3+2i =9-3i.
2.C
【解析】根据题意，圆x y 的圆心（ ，），半径r 因为弦长为 ，由圆的性质可得，圆心到直线的距离d
2 2
+ =16 0 0 =4. 4 3 =
| m |
，即点（ ，）到直线 x y m 的距离为 ，d - + 2 ，解得m 或m
16 - 12 =2 0 0 4 -3 - +2=0 2 = =2 =12 =-8.
5
3.D
【解析】题中已经明确指出，两组数据的方差和标准差相等，而两组数据的直观感觉是不同的，所以排除选项 与
A
为了将这种“直观感觉应该是不同的”用统计量表达出来，需要消除因两组数据数量级不同造成的影响，根据
B.
原始数据的标准差
统计量构造的经验，应该除以相同单位的数据更合理，即 ，所以排除 选择
该组数据的平均数 C D.
4.A
【解析】由函数f x x是增函数得 a ，解得a 2，所以a 是函数f x x为增函数的充
( ) = log(3 a -1) , 3 - 1> 1 > >1 ( ) = log( 3 a -1 )
3
分不必要条件
.
5.A
a
【解析】设 a b θ，由b在a上的投影向量为 1a，知|b| θ 1 a，解得 θ 1
, = - cos |a| = - cos = - .
4 4 2
6.B
【解析】因为函数y x在R上是减函数， ，所以 -0.2 0 又 1 1 2，所以
= 0.3 -0.2<0 0.3 > 0.3 = 1. log32 = log38 < log39 =
3 3 3
a c b.
< <
7.D
【解析】由f x f x 得f f ，且函数（f x）关于点 1 1 对称；由f x f x 得f x+
(2 )+ (1-2 )=1 (0)+ (1)=1 ( , ) (1- )= (1+ ) ( 2)=
2 2
f x f x f x 又由f x f x 得f x f x f x
[1+(1+ )]= [1-(1+ )]= (- ). (2 )+ (1-2 )=1 (- ) = 1- (1+ ) = 1- (1- ) = 1-[1-
f x f x ，所以f x f x f x ，得函数f（x）是周期为 的函数，则f i f i f f
( )]= ( ) ( + 2) = (- ) = ( ) 2 (2 ) + (2 + 1) = (0) + (1) =
i Z，所以 2025 f i f f
1, ∈ ∑i ( ) =1013[ (0) + (1)]= 1013.
=0
8.B
【解析】在圆O所在平面内，过O作OM AC，垂足为M，过O作ON BC，垂足为N，则 SMO为二面角S AC B
⊥ ⊥ ∠ - -
SO DO
的平面角，DNO为二面角D-BC-A的平面角，所以有 SMO SNO 进而有 又因为D为SO上靠
∠ ∠ =∠ . MO = NO .
MO SO
近O的一个三等分点，即SO DO，所以 不妨设NO m（m ），则MO m，底面圆半径为R，圆
=3 NO = DO = 3. = >0 = 3
锥高SO h 可知在 ABC中，AC ON m，BC OM m 又 R m m ，得R m 所以
2 2 2 2 2
= . Rt△ = 2 = 2 = 2 = 6 . (2 ) =(2 ) +(6 ) = 10 .
V
V 三棱锥S - ABC= 1 S △ ABC⋅ h = 1 ⋅ 1 ⋅2 m ⋅6 m ⋅ h =2 m 2 h，V 圆锥= 1 π R 2 ⋅ h = 1 ⋅π⋅10 m 2 ⋅ h = 10 π m 2 h，所以 V 圆锥 = 5π .
3 3 2 3 3 3 三棱锥S - ABC 3
数学试题答案 第 页（共 页）
1 6二、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分
3 6 18 .
9.ACD
【解析】由图可知A ，最小正周期T 4 1 ，故 正确；由T ，得 2π ，又ω ，所以ω ，所
=2 = 2 ×( - ) = 2 A = 2 |ω| = 2 > 0 = π
3 3
以 错误；函数图象过点 4 ，将点 4 代入f x x φ 中，得f 4 4 φ ，所以4 +
B ( ,0) ( ,0) ( ) = 2sin(π + ) ( ) = 2sin( π + ) = 0 π
3 3 3 3 3
φ = k k Z ，所以φ 4 k k Z ，因为 φ ，所以φ 2 ，故 正确；y f x 的图象向右平移1
π( ∈ ) = - π + π( ∈ ) 0 < < π = π C = ( )
3 3 6
é ( ) ù ( )
个单位，则解析式为y ê x 1 2πú x π x，得到一个偶函数，故 正确
= 2sinëπ - + û= 2sin π + = 2cosπ D .
6 3 2
10.ABD
c
【解析】对于 ，由题意得a ，b ，c 故椭圆C的离心率为e 3，故 正确；
A =4 =2 =2 3. = a = A
2
对于 ，F（ ，），因为 | PF | | PF | ， | PF | |PM| | PF | |PM| | MF | = ，故 正确；
B 2 2 3 0 1 + 2 = 8 1 + =8- 2 + ≤ 8 + 2 =8+2 10 B
对于 ， | PF | |PM| | PF | |PM| | MF | = ，故 错误；
C 1 + =8- 2 + ≥ 8 - 2 =8-2 6 C
对于 ，可知点M在椭圆内部 设过点Ｍ的直线与椭圆相交于点A x y ，B x y ，
D . ( 1, 1) ( 2, 2)
{
x y
2 2
可知 1 + 4 1 = 16,两式相减，得（x x）（x x） （y y y y） ，
x 2 y 2 1- 2 1+ 2 +4 1- 2)( 1+ 2 =0
2 + 4 2 = 16,
y y
又x x ，y y ，所以 1 - 2 2 3 3，故Ｄ正确
1+ 2=2 3 1+ 2=2 x x = - =- .
1 - 2 4 × 2 4
11.BCD
【解析】由已知得N a2 a ，f x 1 当a 时，N ，则f 1 以N为切点的切线方程为y 1 x
(e , ) ′( ) = ax . = 1 (e,1) ′(e) = . - 1= ( -
e e
，即y 1 x，故 错误；
e) = A
e
此时P ， PMN的面积S 1 ，故 正确；
(0,0) △ △ PMN = e B
2
过点N的切线方程为y a 1 x a2 ，则P a 1 ，故 正确；
- = a a2 ( - e ) (0, - a ) C
e
a2 x2 x
2
x2 x2 x
2
x2
由于S 1 1 a2 e ，令h x e x ，h x 2 e - e (2 - 1)e ，当 x 2 时，h x
△ PMN = ⋅ a ⋅ e = a ( ) = x ( > 0) ′( ) = x 2 = x 2 0 < < ′( )<
2 2 2 2 2 2
，当x 2 时，h x ，所以当x 2 时，h（x）有极小值，即有最小值，最小值为h 2 2e，即
0 > ′( )>0 = ( ) =
2 2 2 2
PMN面积的最小值为 2e，故 正确
△ D .
2
三、填空题：本题共 小题，每小题 分，共 分
3 5 15 .
12.2
【解析】由题知T a a a a a a ，所以a
5
5 = 32 = 1 2 3 4 5 = 3 3 = 2.
1
13.-
3
( ) ( )
【解析】因为 π θ π θ ，所以 θ θ θ θ ，所以 θ θ，得 θ 1
cos + = 2cos - cos - sin = 2(cos + sin ) 3sin = -cos tan = - .
4 4 3
14.12
【解析】由题意知m，n的取值依次为 ，，，，，，因此可得mn的取值如下表 经检验，符合题中不等式的mn在
1 2 3 4 5 6 .
下表中用粗线框出，相应的数对共有 对
12 .
数学试题答案 第 页（共 页）
2 6mn n
1 2 3 4 5 6
m
1 1 2 3 4 5 6
2 2 4 6 8 10 12
3 3 6 9 12 15 18
4 4 8 12 16 20 24
5 5 10 15 20 25 30
6 6 12 18 24 30 36
四、解答题：本题共 小题，共 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
5 77 . .
解：（）因为B C A，
15. 1 + = π -
B C A A
所以 + π - …………………………………………………………………………… 分
sin = sin = cos . 2
2 2 2
A A
又因为 π - ，
cos = sin
2 2
A A
所以原式左边 A 右边，得证 …………………………………………………………… 分
= 2sin ⋅ cos = sin = . 3
2 2
（）（ ）由（）可得 c a A c C b B
2 ⅰ 1 ( - )sin = sin - sin .
又由正弦定理得 c a a c b，即a c b ac ……………………………………………………… 分
2 2 2 2 2
( - ) = - + - = . 4
a c b
2 2 2
由余弦定理得 B + - 1 ………………………………………………………………………… 分
cos = ac = . 5
2 2
因为 B ，得B π ………………………………………………………………………………………… 分
0 < < π = . 6
3
（ ）由题知S ，由S 1 ac B，得ac ……………………………………………………… 分
ⅱ △ ABC = 8 3 △ ABC = sin = 32. 8
2
又由余弦定理b a c ac B，可得b a c ac a c ac，
2 2 2 2 2 2 2
= + - 2 cos = + - =( + ) - 3
即 a c ，…………………………………………………………………………………………… 分
2
25=( + ) - 96 10
所以a c ………………………………………………………………………………………………… 分
+ = 11. 12
所以a b c ，故 ABC的周长为 …………………………………………………………………… 分
+ + = 16 △ 16. 13
解：（）（f x）的定义域为R，……………………………………………………………………………………… 分
16. 1 1
f x x ax x x a …………………………………………………………………………………… 分
2
′( ) = 3 - 2 = (3 - 2 ) 3
当a 时，f x 恒成立；…………………………………………………………………………………… 分
=0 ′( ) ≥ 0 4
当a> 时，由f x 得，x 或x 2 a，由f x 得 x 2 a；……………………………………… 分
0 ′( ) > 0 < 0 > ′( ) < 0 0 < < 6
3 3
当a < 时，由f x 得，x 或x 2 a，由f x 得2 a x ……………………………………… 分
0 ′( ) > 0 > 0 < ′( ) < 0 < < 0. 7
3 3
综上可得：当a 时，（f x）是增函数；
=0
当a> 时，（f x）在 ∞ 2 a ∞ 上单调递增，在 2 a 上单调递减；
0 (- ,0),( , + ) (0, )
3 3
当a< 时，（f x）在 ∞ 2 a ∞ 上单调递增，在 2 a 上单调递减 …………………………………… 分
0 (- , ),(0, + ) ( ,0) . 8
3 3
（）由（）得a 时，（f x）在 ， 上单调递增，（f x）在 ， 上最大值为（f ） ，故不存在x ，使
2 1 ≥0 [-4 0] [-4 0] 0 = -4 0 ∈[-4,0]
得f x ；……………………………………………………………………………………………………… 分
( 0)≥ 0 10
当a< 时，若2 a ，即a ，（f x）在 ， 上单调递减，（f x）在 ， 上的最大值为（f ） a
0 ≤ -4 ≤ -6 [-4 0] [-4 0] -4 = -16 -68.
3
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3 6若存在x ，使得f x ，只需 a ，解得a 17，又a ，得a ；……………… 分
0 ∈[-4,0] ( 0)≥ 0 -16 -68≥0 ≤ - ≤ -6 ≤ -6 12
4
a a
若 2 a ，即 a ，f（x）在 2 上单调递增，在 2 , 上单调递减，f（x）在 ， 上最大值为
> -4 -6 < < 0 [-4, ] [ 0] [ - 4 0]
3 3 3
a
f 2 4 a 3 ，只需 4 a 3 ，解得 a ………………………………………………… 分
( ) = - - 4 - - 4 ≥ 0 -6 < ≤ -3. 14
3 27 27
综上可得，a的取值范围为 ∞ …………………………………………………………………………… 分
(- , - 3]. 15
解：（）（ ）连结A B，AB 交于点O ，连结CO 交BE于点G
17. 1 ⅰ 1 1 1 1 . C C
因为O 为A B的中点，E为A C的中点， D 1
1 1 1
所以G为 A BC的重心，………………………………………… 分 E
△ 1 1 B G B
所以CG GO …………………………………………………… 分 1
O
= 2 1. 2
A 1 A
又因为CO 为 AB C的中线，
1
1 △ 1 （第 题答图 ）
17 1
所以点G也为 AB C的重心，
△ 1
所以点G在线段BE上 …………………………………………… 分
. 3
（ ）连结B G，并延长交AC于点F，连结DG C C
ⅱ 1 . D 1
因为G为 AB C的重心，所以B G GF
△ 1 1 = 2 . F E
又因为B D DC， B G B
1 = 2 1
O
所以DG CF，即DG AC ………………………………………… 分 A 1 A
∥ ∥ . 4
1
（第 题答图 ）
又因为AC 平面BDE，DG 平面BDE，所以AC 平面BDE
17 2
⊄ ⊂ ∥ .
…………………………………………………………………… 分
5
（）取AB的中点O
2 . z
因为ABC A B C 为棱长相等的正三棱柱，所以 ABC为正三角形， C C
- 1 1 1 △ D 1
所以CO AB
⊥ .
E
又因为在正三棱柱中BB 平面ABC， B B
1 ⊥ 1
所以CO BB ，AB BB O y
A
⊥ 1 ⊥ 1. A
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz x （第 题答图 ） 1
. 17 3
…………………………………………………………………………………………………………………… 分
7
则C ，A ，A ，B ，B ，
(0,0, 3 ) (1,0,0) 1(1,2,0) (-1,0,0) 1(-1,2,0)
设CE λCA ，可知λ ，所以E λ λ λ ，
= 1 ∈(0,1) ( ,2 , 3 - 3 )
所以AB ，BE λ λ λ ……………………………………………………………… 分
=(-2,0,0) =( + 1,2 , 3 - 3 ). 8
设平面ABE的法向量为m xy z ，则
= ( , , )
{ {
m AB x
⋅ = 0,所以 -2 = 0,
m BE λ x λy λ z
⋅ = 0, ( + 1) + 2 +( 3 - 3 ) = 0.
λ
令z ，则可得m 3 - 3 ……………………………………………………………………… 分
= 1 = (0, λ ,1). 10
2
易知平面ABA 的一个法向量为n ，
1 =(0,0,1)
| | |m n|
所以|| π|| ⋅ ，
|cos |= |m| |n|
3 ⋅
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4 61 1 ，解得λ （舍），或λ 1 …………………………………………………………… 分
= λ = -1 = . 12
2 2 3
3( - 1)
λ + 1
2
4
所以E 1 2 2 3 ，m 又B A ，
( , , ) =(0, - 3,1). 1 =(2, - 2,0)
3 3 3
| |
B A m
则B 到平面ABE的距离d 1 ⋅ 2 3 ……………………………………………………… 分
1 = |m| = = 3. 15
2
解：由题意知，冰块之间是没有差异的，所以，从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取一块抽到每一块冰的可
18.
能性可以看作是相等的 ………………………………………………………………………………………… 分
. 2
（）因为 ，，三个工程队所采冰块总量之比为 ∶∶，
1 A B C 6 7 5
所以若只取 块，它是 队所采的概率为P 7 7 ………………………………………………… 分
1 B = = . 5
6 + 7 + 5 18
（）据题意知在计算过程中可以忽略少量冰块对计算结果的影响，即可以将“从三个工程队采出的所有冰块中
2
随机抽取”看作是有放回的抽取 ………………………………………………………………………………… 分
. 6
设事件A，B，C分别表示随机抽取的一块冰是由 ，，三个队分别采回的，
A B C
与（）同理可求得若只取 块，则P（A） 6 1，……………………………………………………… 分
1 1 = = 7
6 + 7 + 5 3
-
由 ，两队所采的概率为P（A） P（A） 2 ……………………………………………………………… 分
B C =1- = . 8
3
依题意可知ξ的取值为 ，，，且ξ（ ，1）……………………………………………………………………… 分
0 1 2 ~ 2 . 9
3
所以P（ξ ） 0 1 0 2 2 4，
=0 =C2( ) ( ) =
3 3 9
P（ξ ） 1 1 2 4，
=1 =C2 × × =
3 3 9
P（ξ ） 2 1 2 2 0 1，
=2 =C2( ) ( ) =
3 3 9
所以ξ的分布列为：
ξ 0 1 2
4 4 1
P
9 9 9
…………………………………………………………………………………………………………………… 分
11
数学期望E（ξ） 1 2 ……………………………………………………………………………………… 分
=2× = . 12
3 3
（）设事件D表示冰块被利用，由（）知P（B） 7 7 ，P（C） 5 ……………………………… 分
3 2 = = = . 13
6 + 7 + 5 18 18
所以P（DA） ，P（DB） ，P（DC） ……………………………………………………………… 分
| =0.8 | =0.6 | =0.6. 14
又P（D） P（AD BD CD） P（A）P（DA）P（B）P（DB）P（C）P（DC）
= ∪ ∪ = | + | + |
1 7 5 2 ，即今年冰块的利用率约为 ……………………………… 分
= ×0.8+ ×0.6+ ×0.6= ≈0.67 0.67. 15
3 18 18 3
可见，今年冰块的利用率比往年提升了约 ………………………………………………… 分
0.67-0.65=2%. 16
但依据该数据还不能判断今年冰块的利用率有显著提升 若要判断提升是否显著，可以进一步查阅数据，构造
.
相关统计量再进行判断（答案合理即可）……………………………………………………………………… 分
. 17
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5 6| | | |
解：（）根据定义，有 a a a ，所以a 或 ；………………………………………………… 分
19. 1 2 - 1 = 2 - 1 =2 2=-1 3 1
同理a 或 …………………………………………………………………………………………………… 分
3=1 5. 2
因此有如下三种情况：
{ }
若 a 为 ， ，，，此时M ，
n 1 -1 1 3 n=4
{ }
若 a 为 ，，，，此时M ，
n 1 3 5 3 n=12
{ }
若 a 为 ，，，，此时M
n 1 3 1 3 n=8.
综上M 的所有可能值为 ，， ………………………………………………………………………………… 分
n 4 8 12. 3
| |
（）证明：必要性：因为 a a ，又因为a a（k ，， ， ），
2 k +1 - k =2 k +1> k =1 2 ⋯ 2024
所以a a （k ，，…， ），故数列 a（n ，，， ， ）为等差数列，公差为 ，……………… 分
k +1- k=2 =1 2 2024 { n} =1 2 3 ⋯ 2025 2 5
所以a （ ） 必要性成立；………………………………………………………… 分
2025=985+ 2025-1 ×2=5033. 6
| |
充分性：因为 a a ，k ，，…， ，所以a a ，a a ， ，a a ，
k +1 - k =2 =1 2 2024 2025- 2024≤2 2024- 2023≤2 ⋯ 2- 1≤2
累加可得，a a ，即a a ，
2025- 1≤4048 2025≤ 1+4048=5033
因为a ，故上述不等式的每个等号都取到，…………………………………………………………… 分
2025=5033 8
所以a a （k ，，…， ），所以a a（k ，，…， ），充分性成立；
k +1- k=2 =1 2 2024 k +1> k =1 2 2024
综上所述“，a ”是“a a（k ，，…， ）”的充要条件 ……………………………………… 分
2025=5033 k +1> k =1 2 2024 . 10
（）证明：令c a a（k ，， ，n ），依题意，c p
3 k= k +1- k =1 2 ⋯ -1 k=± .
因为a a c，a a c c，…，a a c c c ，
2= 1+ 1 3= 1+ 1+ 2 n= 1+ 1+ 2+⋯+ n -1
又a ，所以M na （n ）c （n ）c （n ）c c
1=0 n= 1+ -1 1+ -2 2+ -3 3+⋯+ n -1
（n ） （n ） （ c）（n ） （ c）（n ） （ c ）
= -1 + -2 +⋯+1- 1- 1 -1 - 1- 2 -2 -⋯- 1- n -1
n n
( - 1) （ c）（n ） （ c）（n ） （ c ） …………………………………………… 分
= -[ 1- 1 -1 + 1- 2 -2 +⋯+ 1- n -1 ]. 13
2
因为c p，且p为奇数，所以 c 为偶数（k ，， ，n ），
k=± 1- k =1 2 ⋯ -1
所以（ c）（n ） （ c）（n ） （ c ）为偶数
1- 1 -1 + 1- 2 -2 +⋯+ 1- n -1 .
n n
所以要使M ，必须使 ( - 1)为偶数，即 整除n（n ），
n=0 4 -1
2
亦即n m或n m （m N） ……………………………………………………………………………… 分
*
=4 =4 +1 ∈ . 15
当n m（m N）时，
*
=4 ∈
比如，a a ，a p，a p（k ，， ，m）或a a ，a p，a p（k ，， ，m）时，
4 k -1= 4 k -3=0 4 k -2= - 4 k= =1 2 ⋯ 4 k -1= 4 k -3=0 4 k -2= 4 k=- =1 2 ⋯
有a ，M ；
1=0 n=0
当n m （m N）时，
*
=4 +1 ∈
比如a a ，a p，a p，a （k ，， ，m），
4 k -1= 4 k -3=0 4 k -2= - 4 k= 4 k +1=0 =1 2 ⋯
或a a ，a p，a p，a （k ，， ，m），有a ，M ；
4 k -1= 4 k -3=0 4 k -2= 4 k= - 4 k +1=0 =1 2 ⋯ 1=0 n=0
当n m 或n m （m N）时，n（n ）不能被 整除，M ………………………………………… 分
=4 +2 =4 +3 ∈ * -1 4 n≠0. 17
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6 6
