宜宾三中高2023级高三第一次模拟考试+数学试卷（含答案）_2025年9月_250922四川省宜宾三中高2023级高三第一次模拟考试（全科）_宜宾三中高2023级高三第一次模拟考试+数学

宜宾市三中高 2023 级高三第一次模拟考试 数 学 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合A=x|x2=2x  ，B={-2,0,1,2}，则A∩B=( ) A.{0,2} B.{1,2} C.{-2,0} D.{2,-2} 2.已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1；命题q:∃x>0，lnx<0，则( ) A.p和q都是真命题 B.¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题 D.¬p和¬q都是真命题 3.函数f(x)=ln(x2-2x)的单调递增区间为( ) A.(-∞,0) B.(-∞,1) C.(1,+∞) D.(2,+∞) 1 4.已知a=log 2,b= ,c=log 3，比较a,b,c的大小为( ) 5 2 4 A.a>b>c B.b>c>a C.a>c>b D.c>b>a 5.已知y=1-alog 2 x是减函数，则函数fx  =x  x-a  的大致图象为( ) A. B. C. D. 6.双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳 中和”.为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中 的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇.Peukert于1898年提出蓄电池的 容量C(单位：A⋅h)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式C=In⋅t，其 中n=log 2为Peukert常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流I=10A时，放电时间t=56h， 3 2 则当放电电流I=15A时，放电时间为( ) A．28h B．28.5h C．29h D．29.5h ·1·1 7.设f(x)是定义在R上且周期为2的奇函数，当2≤x≤3时，f(x)=x2-5x+6，则f- 2  =( ) 1 1 A. B.- C.2 D.-2 4 4 8. 已知函数 fx  =x-1-2b  1 ex- ax2+2abx在R上单调递增，则ab的最小值是( ) 2 1 1 1 1 A.- B.- C. D. e 2e 2e e 二、多项选择题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 1 9.随机变量X,Y分别服从正态分布和二项分布，即X∼N(2,4),Y∼B4, 2  ，则( ) 1 3 A.P(X≤2)= B.P(Y=2)= 2 8 C.E(X)=E(Y) D.D(X)=D(Y) 10.已知定义域为R的函数f(x)，对任意实数x,y都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，且f(2)=-1， 则以下结论一定正确的有( ) A. f(0)=1 B. f(x)是奇函数 C. f(x)关于(1,0)中心对称 D. f(1)+f(2)+⋯+f(2025)=0 11. 已知函数fx  lnx =  ,x>0 1  2    x ，gx ,x≤0  =-x2+2x  +3，hx  =f gx    -m，则下列结论中正确的 有( ) A．当m=0时，hx  有1个零点 B．当00，则实数a的取值范围为______. 2-x ·2·四、解答题(共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15.（本小题满分13分） 已知a n  是公差不为零的等差数列，满足a =1，且a,a ,a 成等比数列． 1 1 2 7 (1)求a n  的通项公式； (2)设b n =a n +3  ⋅2n-1，求数列b n  的前n项和T． n 16.（本小题满分15分） 设函数f(x)=2x3-3ax2+1． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 17.（本小题满分15分） 已知四边形ABCD是直角梯形，AB⎳CD，∠C=45°，CD=4，BC=2 2，E，F分别为 CD，BC的中点(如图1)，以AE为折痕把ΔADE折起，使点D到达点S的位置且平面SAE⊥平面 ABCE(如图2). (1)求证：AS⊥平面SEF； (2)求二面角C-SE-F的余弦值. ·3·18.（本小题满分17分） x2 y2 3 设A,B分别为椭圆 + =1(a,b>0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且点1, a2 b2 2  在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)设P为直线x=4上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP, BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M,N，证明：点B在以MN为 直径的圆内． 19.（本小题满分17分） 近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能(ArtificialIntelligence，简称AI)已然成为科技变 革的核心驱动力．有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．我校团委拟与某网络平台合作组织学生 参加与AI知识有关的网络答题活动，为鼓励同学们积极参加此项活动，比赛规定：答对一题得两分， 答错一题得一分，选手不放弃任何一次答题机会．已知甲同学报名参加比赛，每道题回答是否正确相 互独立． 2 (1)若前三道试题，甲每道试题答对的概率均为 ,记甲同学答完前三道题得分为X，求随机变量 3 X的分布列和数学期望； 1 (2)若甲同学答对每道题的概率均为 ，因为甲同学答对第一题或前两题都答错，均可得到两分， 3 称此时甲同学答题累计得分为2，记甲答题累计得分为n的概率为P， n ①求证：P -P n+1 n  是等比数列； ②求P 的最大值． n ·4·宜宾市三中高2023级高三第一次模拟考试数学参考答案 1 3 1-8题:ABDD BAAB 9.ABC 10.ACD 11.BC 12.y=-x+1 13. 2 3 14.  , 3 2  8.【解】因为fx  在R上单调递增， 所以fx  =x-2b  ex-ax+2ab=x-2b  ex-a  ≥0在R恒成立. 若a≤0，则ex-a>0，所以x-2b≥0恒成立，显然不成立； 若a>0，则fx  ≥0在R恒成立等价于gx  =x-2b  ex-a  ≥0在R上恒成立， a 所以2b=lna，所以ab= lna． 令ℎa 2  a = lna，则ℎa 2  1 = lna+1 2  ， 1 当a∈0, e  时，ha  <0，ha  1 单调递减； 当a∈ ,+∞ e  时，ha  >0，ha  单调递增； 1 所以当a= 时，ha e  1 1 取得最小值- ，即ab的最小值是- . 2e 2e 四、解答题(共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15解:【1】设a n  的公差为d，因为a,a ,a 成等比数列， 1 2 7 所以a2 2 =a 1 a 7 ，即a 1 +d  2=a 1a 1 +6d  ， .......................2分 1+d  2=1+6d，化简得d2=4d， .......................4分 由于d≠0，所以d=4，a n =1+n-1  ×4=4n-3， 所以a n  的通项公式为a =4n-3． ........................6分 n 【2】：b n =a n +3  ⋅2n-1=4n⋅2n-1=n⋅2n+1， .......................8分 ∴T =1⋅22+2⋅23+⋅⋅⋅+n⋅2n+1①， n 2T = 1⋅23+2⋅24+⋅⋅⋅+n⋅2n+2②， n 41-2n ①-②得-T =1⋅22+23+⋅⋅⋅+2n+2n+1-n⋅2n+2=-n⋅2n+2+ n  =1-n 1-2  ⋅2n+2-4， 所以T n =n-1  ⋅2n+2+4． .......................13分 16.解：（1）fx  定义域为R，fx  =6x2-6ax=6xx-a  ， 令fx  =0，解得x=0或x=a， .......................2分 ①当a>0时， 当x∈-∞,0  时，fx  >0，fx  单调递增， 当x∈0,a  时，fx  <0,fx  单调递减， 当x∈a,+∞  时，fx  >0,fx  单调递增； .......................4分 ②当a=0时，则fx  =6x2≥0,fx  在R上单调递增； .......................6分 ·5·③当a<0时， 当x∈-∞,a  时，fx  >0,fx  单调递增， 当x∈a,0  时，fx  <0,fx  单调递减， 当x∈0,+∞  时，fx  >0,fx  单调递增； .......................8分 综上，当a>0时，fx  在-∞,0  和a,+∞  单调递增，在0,a  单调递减； 当a=0时，fx  在R上单调递增； 当a<0时，fx  在-∞,a  和0,+∞  单调递增，在a,0  单调递减．.....................9分 【小问2】由(1)知①a>0时，fx  在-∞,0  和a,+∞  单调递增，在0,a  单调递减， 所以x=a为fx  的极小值点，此时fx  的极小值为fa  =2a3-3a3+1<0， 所以a3>1，解得a>1； .......................11分 ②a=0时，fx  在R上单调递增，显然无极值点，不合题意； .......................12分 ③a<0时，fx  在-∞,a  和0,+∞  单调递增，在a,0  单调递减， 所以x=0为fx  的极小值点，此时fx  的极小值为f0  =1>0，不合题意；...................14分 综上，a>1，即a的取值范围是1,+∞  ． .......................15分 17解：(1)证明：连接BD交AE于O ∵E、F分别为CD、BC的中点. ∴EF⎳BD 又ABCD是直角梯形，AB⎳CD，∠C=45°，CD=4，BC=2 2 ∴BD=2 2，AB=AD=2 ∴DB⊥AE ∴EF⊥AE ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分 ∵平面SAE⊥平面ABCE，平面SAE∩平面ABCE=AE,EF⊂平面ABCE ∴EF⊥平面SAE ， ∵AS⊂平面SAE 、 ∴EF⊥AS ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分 又∵SE⊥AS且EF∩SE=E ∴AS⊥平面SEF. ⋯⋯⋯⋯⋯7分 （2）以O为坐标原点，OA、OB、OS所在直线为x轴、y轴、z轴，如 图所示建立空间直角坐标系，则A 2，0，0  ，B0， 2，0  ， C-2 2， 2，0  ，E- 2，0，0  ，S0，0， 2   CS=2 2，- 2， 2   ,CE= 2，- 2，0  ， ┈┈┈┈9分 ·6· 设平面SCE的法向量为n 1 =x,y,z    n⋅CS=0  则  取平面SCE的一个法向量为n=1,1,-1 n⋅CE=0  ， ┈┈┈┈11分 ∵AS⊥平面SEF,   ∴取平面SEF一个法向量为n 2 =AS=- 2,0, 2  ， ┈┈┈┈13分 显然二面角C-SE-F为锐角，   ∴二面角C-SE-F的余弦值cosθ= cosn,n 1 2    2 2 6 = = . .. ......................15分 2 3 3 a=2c  a=2 18解【小问1】由题意，  a2=b2+c2 ，解得  ，  1 + 9 =1 b= 3  a2 4b2 x2 y2 故椭圆的方程为 + =1． .......................4分 4 3 【小问2】如图，设P(4,t),t≠0，由题意，A(-2,0),B(2,0)， t x2 y2 则直线AP的方程为y= (x+2)，代入 + =1， 6 4 3 整理得：(t2+27)x2+4t2x+4t2-108=0， 4t2-108 54-2t2 t 18t 则-2x = ，即x = ，y = (x +2)= ， M t2+27 M t2+27 M 6 M t2+27 54-2t2 18t 故M , t2+27 t2+27  ， .......................8分 t x2 y2 直线BP的方程为y= (x-2)，代入 + =1，整理得：(t2+3)x2-4t2x+4t2-12=0， 2 4 3 4t2-12 2t2-6 t 6t 则2x = ，即x = ，y = (x -2)=- ， N t2+3 N t2+3 N 2 N t2+3 2t2-6 6t 故N ,- t2+3 t2+3  ， .......................12分   -4t2 18t 于是，BM ⋅BN = , t2+27 t2+27  -12 6t ⋅ ,- t2+3 t2+3  48t2 -108t2 -60t2 = + = ， (t2+27)(t2+3) (t2+27)(t2+3) (t2+27)(t2+3)   因t≠0，故可得BM ⋅BN <0， .......................16分 即∠MBN为钝角，故点B在以MN为直径的圆内． .......................17分 2 1 19.解(1)已知答对概率p= ，则答错概率q=1-p= . 3 3 设答对题数为k，得分X=k+3，故X取值为3，4，5，6： 1 P(X=3)=C0 3 3  3 1 = ; 27 2 P(X=4)=C1 3 3  1  3  2 6 2 = = ; 27 9 2 P(X=5)=C2 3 3  2 1  3  12 4 = = ; 27 9 ·7·2 P(X=6)=C3 3 3  3 8 = ; 27 所以随机变量X的分布列为： X 3 4 5 6 1 2 4 8 P 27 9 9 27 1 2 4 8 期望E(X)=3× +4× +5× +6× =5． ......................7分 27 9 9 27 (2) ①证明：对n≥2，得分n的递推： 2 2 最后一题答错(概率 )：之前得n-1分，故P 含 P ； 3 n 3 n-1 1 1 最后一题答对(概率 )：之前得n-2分，故P 含 P . 3 n 3 n-2 2 1 即P = P + P (n≥3). n 3 n-1 3 n-2 2 1 1 所以P n+1 -P n = 3 P n + 3 P n-1 -P n =- 3 P n -P n-1  2 1 2 初始项：P= ，P = + 1 3 2 3 3  2 7 1 = ，故P -P= . 9 2 1 9 因此，P -P n+1 n  1 1 是以 为首项，- 为公比的等比数列． .......................12分 9 3 n ②由迭代累加求和：P n =P 1 + P k -P k-1 k=2  2 1 1-- 3 1  = + ⋅ 3 9  n-1 1--1 3  3 1 1 = - - 4 12 3  n-1 ， 1 偶数项(n=2,4,6,...): - 3  n-1 3 为负，P = +正数，且随着n增大，正数减小，故P 为最大值； n 4 2 1 奇数项(n=1,3,5,...)：- 3  n-1 3 为正，P = -正数，随着n增大，正数减小，趋近于0，故最大值 n 4 3 趋近于 . 4 7 7 综上，P 为最大值，计算P = ，即P 最大值为 ． .......................17分 2 2 9 n 9 ·8·