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2024—2025 学年度上学期期末考试高三年级数学科答案
一、单项选择题：
1.A 2.C 3.D 4. C 5.B 6. A 7.B 8. C
二、多项选择题
9.AD 10.BC 11.BCD
三、填空题
12.
； 13.答案不唯一，4，5，6 任写一个即可. 14.
四、解答题
15.解：
（I）
……5 分
所以
…………………………………………………………6 分
（II）由
=
，
所以
………………………7 分
设
，由点
在
边上，且
为锐角三角形，所以
，
所以
.……………………………………………………………9 分
在
中，由
，
所以
，所以
，
所以
…………11 分
由
是定义域上的减函数，所以
，
所以
的范围为
.…………13 分（其它方法酌情给分）
16．解：（I）由椭圆离心率
，所以
.………………………1 分
所以椭圆方程化为
.
由直线
的斜率
，所以直线
的方程为
，……………2 分
由椭圆对称性，不妨设点
联立
，解得
.…………………………………………4 分
所以
，解得
，……6 分
所以椭圆
的方程为
……………………7 分
（II）如图，延长
交
于点
，
由（1）可知
，
设
，设
的方程为
，
由
，得
，故
………9 分
设
与
的距离为
，四边形
的面积为
，
由
及椭圆的对称性可知，点
与点
关于原点对称.
所以
…11 分
又因为
…13 分
当且仅当
，即
时，等号成立，…………………14 分
故四边形
面积的最大值为2.……………………………15 分
17.解：（I）甲同学所有可能的选择答案有
种，
其中正确选项只有一个，设M=“猜对本题得6 分”，故
.……………3 分
（II）乙同学所有可能的选择答案有
种，即共有10 个样本点，
设乙同学本题可能得分为
，则
的可能取值为0，4，6.
，
，
…………………………7 分
所以乙同学可能得分的分布列为
0
4
6
所以期望
…………………………………9 分
（III）由题意得丙得0 分的概率为
，丁得0 分的概率为
，…10 分
丙丁总分刚好得18 分的情况包含：
事件A：丙得12 分有6+6 一种情况，丁得6 分有6+0，0+6，3+3 三种情况，
则
；
事件B：丙得9 分有6+3，3+6 两种情况，丁得9 分有6+3，3+6 两种情况，
则
；
事件C：丙得6 分有6+0，0+6，3+3 三种情况，丁得12 分有6+6 一种情况，
则
；…………………………………14 分
所以丙丁总分刚好得18 分的概率
.…………15 分
18.解：（I）由
，
，所以
.
由
平面
，所以
.
由
，
，
，所以平面
平面
.…4 分
（II）取
中点
，连接
，
在梯形
中，因为
，
，所以
，
，
则在
中，
，由
，则
，………………6 分
易知
两两垂直，分别以
为
轴，建立空间直角坐标系，
如下图所示：
在四棱柱
中，
，则
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
在
中，
，
则
，
，
，
，
取
，
，
，
设平面
的法向量为
，可得
，则
，
取
，则
，所以平面
的一个法向量
，……………8 分
设点
到平面
的距离
，
设直线
与平面
所成角为
，则
，即
，
在四棱柱
中，因为
，且
平面
，
所以当直线
与
所成角为
时，其余弦值取得最大值，即为
.……10 分
（III）由题意作图如下：由题可知
，
，
，
因为
，所以
，则
，
，
，
设
平面
的法向量
，可得
，
则
，令
，则
，
所以平面
的一个法向量
，
设平面
的法向量
，可得
，
则
，令
，则
，
所以平面
的一个法向量
，…………………………14 分
设二面角
的大小为
，
则
，
由二面角
的正弦值为
，则
，
可得
，化简可得
，解得
或
，…………16 分
由
，则
，故存在，
.………………17 分
19.解：
（I）因为
单调递增，不存在正数
，使得
恒成立，
所以数列
不具有性质
.………………………………………………………2 分
因为
，又数列
为单调递减数列，所以数列
具有性质
.……4 分
（II）因为
，
若
为奇数的概率为
为偶数的概率为
，
①………………
………………6 分
②
，
……………………………………7 分
，即
.………………………………………8 分
所以当
时，
，故
随着
的增大而增大，且
.
故数列
具有性质
.……………………………10 分
（III）令
，则
，
，
，
所以当
时，
在
上递减，而
，
故
在
有唯一的零点
，即
，即
………………12 分
且当
时，
，即
，
当
时，
，即
由
，可知
，
在
上单调递增；……………………………………………………………13 分
由
，
所以
，
所以
，……………………14 分
假设
时，
成立，
则
，即
成立，
结合
可得：对于任意
恒成立，
故
为递增数列，
为递减数列.…………………………………………16 分
对数列
，存在
，使
，所以数列
具有性质
对数列
，存在
，使
，所以数列
也具有性质
……17 分
