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2024—2025 学年度上学期期末考试高三年级数学科答案 一、单项选择题： 1.A 2.C 3.D 4. C 5.B 6. A 7.B 8. C 二、多项选择题 9.AD 10.BC 11.BCD 三、填空题 12. ； 13.答案不唯一，4，5，6 任写一个即可. 14. 四、解答题 15.解： （I） ……5 分 所以 …………………………………………………………6 分 （II）由 = ， 所以 ………………………7 分 设 ，由点 在 边上，且 为锐角三角形，所以 ， 所以 .……………………………………………………………9 分 在 中，由 ， 所以 ，所以 ， 所以 …………11 分 由 是定义域上的减函数，所以 ， 所以 的范围为 .…………13 分（其它方法酌情给分） 16．解：（I）由椭圆离心率 ，所以 .………………………1 分 所以椭圆方程化为 . 由直线 的斜率 ，所以直线 的方程为 ，……………2 分 由椭圆对称性，不妨设点 联立 ，解得 .…………………………………………4 分 所以 ，解得 ，……6 分 所以椭圆 的方程为 ……………………7 分 （II）如图，延长 交 于点 ， 由（1）可知 ， 设 ，设 的方程为 ， 由 ，得 ，故 ………9 分 设 与 的距离为 ，四边形 的面积为 ， 由 及椭圆的对称性可知，点 与点 关于原点对称. 所以 …11 分 又因为 …13 分 当且仅当 ，即 时，等号成立，…………………14 分 故四边形 面积的最大值为2.……………………………15 分 17.解：（I）甲同学所有可能的选择答案有 种， 其中正确选项只有一个，设M=“猜对本题得6 分”，故 .……………3 分 （II）乙同学所有可能的选择答案有 种，即共有10 个样本点， 设乙同学本题可能得分为 ，则 的可能取值为0，4，6. ， ， …………………………7 分 所以乙同学可能得分的分布列为 0 4 6 所以期望 …………………………………9 分 （III）由题意得丙得0 分的概率为 ，丁得0 分的概率为 ，…10 分 丙丁总分刚好得18 分的情况包含： 事件A：丙得12 分有6+6 一种情况，丁得6 分有6+0，0+6，3+3 三种情况， 则 ； 事件B：丙得9 分有6+3，3+6 两种情况，丁得9 分有6+3，3+6 两种情况， 则 ； 事件C：丙得6 分有6+0，0+6，3+3 三种情况，丁得12 分有6+6 一种情况， 则 ；…………………………………14 分 所以丙丁总分刚好得18 分的概率 .…………15 分 18.解：（I）由 ， ，所以 . 由 平面 ，所以 . 由 ， ， ，所以平面 平面 .…4 分 （II）取 中点 ，连接 ， 在梯形 中，因为 ， ，所以 ， ， 则在 中， ，由 ，则 ，………………6 分 易知 两两垂直，分别以 为 轴，建立空间直角坐标系， 如下图所示： 在四棱柱 中， ，则 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 在 中， ， 则 ， ， ， ， 取 ， ， ， 设平面 的法向量为 ，可得 ，则 ， 取 ，则 ，所以平面 的一个法向量 ，……………8 分 设点 到平面 的距离 ， 设直线 与平面 所成角为 ，则 ，即 ， 在四棱柱 中，因为 ，且 平面 ， 所以当直线 与 所成角为 时，其余弦值取得最大值，即为 .……10 分 （III）由题意作图如下：由题可知 ， ， ， 因为 ，所以 ，则 ， ， ， 设 平面 的法向量 ，可得 ， 则 ，令 ，则 ， 所以平面 的一个法向量 ， 设平面 的法向量 ，可得 ， 则 ，令 ，则 ， 所以平面 的一个法向量 ，…………………………14 分 设二面角 的大小为 ， 则 ， 由二面角 的正弦值为 ，则 ， 可得 ，化简可得 ，解得 或 ，…………16 分 由 ，则 ，故存在， .………………17 分 19.解： （I）因为 单调递增，不存在正数 ，使得 恒成立， 所以数列 不具有性质 .………………………………………………………2 分 因为 ，又数列 为单调递减数列，所以数列 具有性质 .……4 分 （II）因为 ， 若 为奇数的概率为 为偶数的概率为 ， ①……………… ………………6 分 ② ， ……………………………………7 分 ，即 .………………………………………8 分 所以当 时， ，故 随着 的增大而增大，且 . 故数列 具有性质 .……………………………10 分 （III）令 ，则 ， ， ， 所以当 时， 在 上递减，而 ， 故 在 有唯一的零点 ，即 ，即 ………………12 分 且当 时， ，即 ， 当 时， ，即 由 ，可知 ， 在 上单调递增；……………………………………………………………13 分 由 ， 所以 ， 所以 ，……………………14 分 假设 时， 成立， 则 ，即 成立， 结合 可得：对于任意 恒成立， 故 为递增数列， 为递减数列.…………………………………………16 分 对数列 ，存在 ，使 ，所以数列 具有性质 对数列 ，存在 ，使 ，所以数列 也具有性质 ……17 分