高三数学（5月二模）0517答案_2025年5月_05192025届湖北省黄冈中学高三5月第二次模拟预测_数学

湖北省黄冈中学 2025 届高三 5 月第二次模拟考试 数学参考答案及评分细则 1.【答案】B 【解析】因为 z2  z 2 4，所以 z 2. 故选：B． 2.【答案】C 【解析】 Z ．由 ，可得 ，所以 6 ．所 以= ∈ −2≤ ≤4. 故=选−：2C,−．1,0,1,2,3,4 +1≥1 −1< ≤ 5 = −1< 3.【答案】B ≤5 ∩ = 0,1,2,3,4 【解析】等差数列a 中，a a 10，a 5. n 4 6 5 又a a 15，所以5a 15，解得a 3. 5 9 9 9 设等差数列{a }的公差为d，根据等差数列通项公式a a (n1)d， n n 1 a a 4d 5 可得 5 1 ，解得d 2，a 13，a 132(n1)2n15， a a 8d 3 1 n 9 1 nn1 S 13n 2n214n ，由S 0解得0n14，则使S 0的最大n值为13. 故选：B. n 2 n n 4.【答案】A 【解析】设圆台的侧面展开图扇环的内圆半径为r ，外圆半径为r ,(r r)， 1 2 2 1 则圆台母线长为2r r ， 2 1 2πr 2πr 设圆台上、下底面圆半径分别为r,r (r r )，则2πr  1,2πr  2 ， 3 4 3 4 3 3 4 3 2 4 4 2(r r) (r r) ，圆台上下底面圆周长之差的绝对值为 . 故选：A． 4 3 3 2 1 3 3 5.【答案】C         2 2 【解析】因为 AB AD  ABAD，所以 ABAD  ABAD ，           uuur uuur 即 AB 2  AD 2 2ABAD  AB 2  AD 2 2ABAD ，所以4ABAD0，即 ABAD0 ，     3  3    1 3 因为AC ABBC AB BD AB ADAB  AB AD, 2 2 2 2    1  3   1  3 2 3  2 所以ACAD AB ADAD ABAD AD  AD 3. 故选：C．  2 2  2 2 2 6.【答案】D 【解析】记“从甲箱中取出的球为红球”为事件 ，记“从甲箱中取出的球为黑球”为事件 ，所以 1 . 故选：D． 2 = 2 3 3 3 12 7.【 1答 案 】∣ C 1 + 2 ∣ 2 =5×10+5×5=25 湖北省黄冈中学2025届高三第二次模拟考试数学答案 第 1 页（共 13 页） {#{QQABbYIs4gAYgAaACB5KQQVOC0kQkIAhLcoMBUCXKAwCAZNAFIA=}#}  【解析】令函数h(x) f(x)g(x)2cos xa(x3)2 3a，  3     可得h(6x)2cos[ (6x)]a[(6x)3]2 3a2cos(2 x)a(3x)2 3a 2cos xa(x3)2 3a， 3 3 3 即h(x)h(6x)，所以函数h(x)关于直线x3对称， 因为函数 y f(x)与yg(x)恰有一个交点，所以h(3)0， 2 可得2cosa(33)2 3a23a0，解得a ， 3 2  2 当a ，x3时，2cos x3a≥0,a(x3)2 0，所以a . 故选：C． 3 3 3 8.【答案】A 【解析】令 f  x ex 2cosx，则 f x ex 2sinx，  π 当x 0, 时，sinx0，故 f x ex 2sinx0恒成立，  2  π 故 f  x ex 2cosx在x 0, 上单调递增，  2 又 f 01210， f   π  e π 4  2 0，由零点存在定理得  0, π ， 4  4 令g  x ex 2sinx1，则g x ex 2cosx，  π  π 由上面的求解可知g x ex 2cosx在x 0, 上单调递增，且存在 0, ，使得g0，  2  4  π 当x0,时，gx0，当x  , 时，gx0，  2  π 所以g  x ex 2sinx1在x0,上单调递减，在x  , 上单调递增，  2 又g00，g   π  e π 2 30，故gx的零点  , π ，g0，所以. 故选：A． 2  2 9.【答案】BCD 4 1 【解析】对于A中，由E（X)np2，D（X)np(1 p) ，解得 p ，所以A正确； 3 3 对于B中，由正态曲线的对称性，可得P（4)P（2)0.2，则 1P(4)P(2) 10.20.2 P（23)  0.3 ，所以B错误； 2 2 对于C中，由于70.6=4.2，则第60百分位数为由小到大排列的第5个数为9，所以C错误； 9 对于D中，若样本数据2x 1，2x 1，，2x 1的方差为9，则x,x ,,x 的方差为 ，所以 D不 1 2 n 1 2 n 4 正确. 故选：BCD. 10.【答案】AC 【解析】对于A，如图，分别过A，B，M作抛物线准线的垂线，垂足分别为A，B ，M ， 1 1 1 湖北省黄冈中学2025届高三第二次模拟考试数学答案 第 2 页（共 13 页） {#{QQABbYIs4gAYgAaACB5KQQVOC0kQkIAhLcoMBUCXKAwCAZNAFIA=}#}由于圆的直径AB过焦点F，则M(6,4)到准线的距离为 AA  BB AF  BF AB MM  1 1    8， 1 2 2 2 p p 又 MM 6 ，6 8，解得 p4，故A正确； 1 2 2 对于B，设直线CD的方程为xmy2，C(x ,y ) D(x ,y )，又抛物线W:y2 8x， 1 1 2 2 xmy2 y2 y2 由 可得y2 8my160，则 y  y 8m，y y 16，x x  1  2 4， y2 8x 1 2 1 2 1 2 8 8 36 36 CF 9 DF x 29(x 2)x  20≥2 x  2032（当且仅当x 6时等号成立），故B错误； 1 2 1 x 1 x 1 1 1 对于C，M(6,4)，F(2,0)，MF 4 2，设△CFM 的周长为l， 则l  CF  FM  CM 4 2  CF  CM≥4 2  MM 4 2 8，周长的最小值为4 2 814 ，故C 1 正确； S CF x 2 对于D， △COF 3  1 ，x 3x 4， S DF x 2 1 2 △DOF 2 2 x x 4，则（3x 4）x 4，解得x  或2（舍）， 1 2 2 2 2 3 2 32 x 6，CD  x x  p6 4 ，故D错误. 故选：AC. 1 1 2 3 3 11.【答案】ACD 【解析】对于A：由题意可知c 2n，c 2n6，c c  2n6所以c c c ，所以  c  为“3 n n3 n 3 n3 n 3 n 阶可分拆数列”； 对于B：存在，理由如下：由已知得a 1,a 1,a a a 2，c m,c m,c 2m，c c c ， 1 2 3 1 2 1 2 3 3 1 2 即c c c ， 对mR，当正整数k 1时，存在n2，使得c c c 成立，即数列c 为“1阶 12 1 2 kn k n n 可分拆数列”. 对于C：QS 3na，当n1时，c 3a，当n2时，c  S S   3n a    3n1a  23n1， n 1 n n n1 若数列  c  为“1阶可分拆数列”，则存在正整数n使得c c c 成立， n 1n 1 n 当n1时，c c c ，即623a，解得a0，当n2时，23n 3a23n1，即43n13a， 2 1 1 因a0，所以3a3，又43n112，故方程43n13a无解，符合条件的实数a的值为0. 对于D：a a a ,  nN* ，当n2时，a2 a a a a a a a ， n2 n1 n n n n1 n1 n n1 n n1 a2a2a2a2 a2a a a a a a a a a a a a a a a a  1 2 3 n 1 2 3 2 1 3 4 3 2 4 5 4 3 n n1 n n1 湖北省黄冈中学2025届高三第二次模拟考试数学答案 第 3 页（共 13 页） {#{QQABbYIs4gAYgAaACB5KQQVOC0kQkIAhLcoMBUCXKAwCAZNAFIA=}#}a2a a a a a a ，a2a2a2a2a a 11， 1 2 1 n n1 n n1 1 2 3 n n n1 a a a a a a 若c  n ，T  1  2  3  n1  n ， n 3n n 31 32 33 3n1 3n 1 a a a a a ① T  1  2  3  n1  n ， 3 n 32 33 34 3n 3n1 2 a a a a ②a a a a a a 由 - 可得 T  1  2 1  3 2  4 3  n n1  n 3 n 31 32 33 34 3n 3n1 1① ②a a a a 1 1 a a a  a 1 1 a   1  2  n2  n    1 2 n2 n   T  n ， 3 33 34 3n 3n1 3 32 31 32 3n2  3n1 3 32 n2 3n1 a 2 1 1 a 1 1 3 T T , n 0， T   T  n   T ，T  1， n2 n 3n1 3 n 3 32 n2 3n1 3 32 n n 5 当nN*且n3时，T a2a2a2a2a a 1成立.故D正确，故选：ACD． n 1 2 3 n n n1 12.【答案】18 【解析】令 可得 ，令 ， ，相 加可得 . =2 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6 =27 =0 − 1+ 2− 3+ 4− 5+ 6 =9 1  13.【答 案2+】  4+,4  6 =18 2  【解析】因为 f xx33x3a，则 fx3x233x1x1， 所以当x1或x1时 fx0，当1 x1时 fx0， 所以 f x在,1，1,上单调递增，在1,1上单调递减， 且 f 223a， f 123a， f 123a， 因为 f x在区间2,m的值域为4,8，所以 f 123a8，解得a2， 此时 f xx3 3x6， f 2 f 123a=4， 1  1  又 f 1 f 28，1m≤2，则am 2m  ,4  ，故答案为： ,4  ． 2  2  14.【答案】 (a2 b2 c2)  6π,8 2 【解析】如图，连接M M ,M M ,M M ,M M ,M M ,M M ， 1 2 3 4 1 3 1 4 3 2 4 2 1 1 由题知，M M 平行且等于 PB，M M 平行且等于 PB， 1 3 2 4 2 2 所以M M //M M ，M M M M ，故M M M M 为平行四边形， 1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 2 4 所以对角线M M M M O，则O是M M ,M M 的中点， 1 2 3 4 1 2 3 4 同理O也是M M 的中点，故“垂棱四面体”的三条内棱交于一点， 5 6 湖北省黄冈中学2025届高三第二次模拟考试数学答案 第 4 页（共 13 页） {#{QQABbYIs4gAYgAaACB5KQQVOC0kQkIAhLcoMBUCXKAwCAZNAFIA=}#}由三条内棱两两垂直，易知M M M M 为菱形，则M M M M ， 1 3 2 4 1 3 1 4 显然PB2M M ,AC2M M ，故PB AC，同理PABC,PC AB， 1 3 1 4 所以“垂棱四面体”PABC可补为如下图示的长方体， 1 设长宽高分别为x,y,z，则其外接球半径R x2 y2 z2 ， 2 PABC外接球表面积S 4πR2 π(x2  y2 z2)， 显然 AB2 x2  y2 ， BC2  y2 z2 ，AC2 x2 z2，又AB2 BC2 AC2 a2 b2 c2 ， (a2 b2 c2) (a2 b2 c2) a2 b2 c2 2(x2  y2 z2)，S 4πR2 π(x2  y2 z2) ，S  . 2 2 1 同理，题设右图可将PABO补成长方体， 三棱锥PABO外接球表面积为S  (AB2BO2AO2)π， 2  x2  y2 4 设A(x,y ),B(x ,y )， 联立 ，得(1k2)x2 2 3kx10，则12k2 4(1k2)0， 1 1 2 2 ykx 3  2 3k  2 3 x x  y  y   1 2 1k2  1 2 1k2 所以 ，则 ，  1  34k2 x x  y y    1 2 1k2   1 2 1k2 由A,B,O为某长方体的三个顶点，结合题设新定义，易知△ABO中A,B为锐角，   24k2 1 所以只需角O为锐角，即OAOB0，则xx  y y   0，解得0≤k2  ， 1 2 1 2 1k2 2 又AB2 (x x )2(y y )2，BO2  x2 y2，AO2  x2 y2， 1 2 1 2 2 2 1 1 1 所以S  [(x x )2(y y )2x2 y2x2 y2]π [(x x )2 (y  y )2 3xx  3y y ]π， 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3k 2 3 3 3(34k2) 6(1+2k2)  6  则Sk[( )2( )2  ]π= π=12 π， 1k2 1k2 1k2 1k2 1k2  1k2  1 1 0≤k2  ，k=0时Sk最小，最小值为6π，又k2  时，Sk8， 2 2 Sk的取值范围是 6π,8 . 故答案为： (a2 b2 c2)  6π,8 2 10 1 15.【答案】（1）sinC  ；（2）tanDAC  . 10 7 【解析】（1）[方法一]：正余弦定理综合法 湖北省黄冈中学2025届高三第二次模拟考试数学答案 第 5 页（共 13 页） {#{QQABbYIs4gAYgAaACB5KQQVOC0kQkIAhLcoMBUCXKAwCAZNAFIA=}#}2 由余弦定理得b2 a2 c2 2accosB16224 2 10 ，所以 b 10. 2 c b csinB 10 由正弦定理得  sinC  ··········································· 5分 sinC sinB b 10 [方法二]【最优解】：几何法 过点A作AEBC，垂足为E．在Rt△ABE中，由c= 2,B=45°，可得AE BE 1， 1 10 又a4，所以EC 3．在Rt△AEC 中， AC AE2 EC2  10 ，因此sinC  ．······ 5分 10 10 （2）[方法一]：两角和的正弦公式法 2 5   5 由于cosADC ，ADC ,，所以sinADC 1cos2ADC  . 5 2  5     3 10 由于ADC ,，所以C0, ，所以cosC  1sin2C  . 2   2 10 所以sinDACsinDAC sinADCC 5 3 10  2 5 10 2 sinADCcosCcosADCsinC          . 5 10  5  10 10   7 2 由于DAC0, ，所以cosDAC 1sin2DAC  .  2 10 sinDAC 1 所以tanDAC  .···························································13分 cosDAC 7 [方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法 2 5 2 5 在（1）的方法二的图中，由cosADC ，可得cosADEcos(ADC)cosADC ， 5 5 2 5 sinDAE 从而sinDAEcosADE ,tanDAE 2 ． 5 cosDAE EC 又由（1）可得tanEAC 3，所以 AE tanEACtanEAD 32 1 tanDACtan(EACEAD)   ．······················ 13分 1tanEACtanEAD 132 7 [方法三]：几何法+正弦定理法 在（1）的方法二中可得AE1,CE3,AC 10． 2 5 2 5 5 由cosADC ，可得cosADEcos(ADC)cosADC ，从而sinADE ． 5 5 5 AE 在Rt△ADE中，AD  5,ED ADcosADE  2 ，所以CDCEDE 1． sinADE 湖北省黄冈中学2025届高三第二次模拟考试数学答案 第 6 页（共 13 页） {#{QQABbYIs4gAYgAaACB5KQQVOC0kQkIAhLcoMBUCXKAwCAZNAFIA=}#}CD 2 在△ACD中，由正弦定理可得sinDAC sinC ， AD 10   7 2 由于DAC0, ，所以cosDAC 1sin2DAC  ，  2 10 sinDAC 1 所以tanDAC  .··························································13分 cosDAC 7 [方法四]：构造直角三角形法 如图，作AEBC，垂足为E，作DG AC，垂足为点G． 在（1）的方法二中可得AE1,CE3,AC 10． 2 5 2 5 5 由cosADC ，可得cosADE , sinADE 1cos2ADE  ． 5 5 5 AE 在Rt△ADE中，AD  5,DE  AD2AE2  2,CDCEDE 1． sinADE 10 10 3 10 由（1）知sinC  ，所以在Rt△CDG中，DGCDsinC  ,CG CD2DG2  ， 10 10 10 7 10 从而AG ACCG ． 10 DG 1 1 在Rt△ADG中，tanDAG  ，所以tanDAC  ．······························· 13分 AG 7 7 3 2 16.【答案】（1）证明见解析；（2） 19 【解析】（1）证明：AB BC3 2，AC  2AB ， ABC为等腰直角三角形. 取线段AC 的中点M ，连接EM ，BM ， △ AB BC，M 为AC 的中点，BM  AC ，············································ 1分 AA //CC ，AA CC ， 1 1 1 1 四边形AACC 是平行四边形，AC//AC ，AC  AC ， 1 1 1 1 1 1 E ，M 分别是AC ，AC 的中点， 1 1 四边形AAEM 是平行四边形，EM //AA ， 1 1 AA //BB ，EM //BB ， 1 1 1 AC BB ，AC  EM ，···························································· 4分 1 EM BM M ，AC 平面BEM ， EB平面BEM ，EB AC． ······················································5分 （2）解：由（1）可知，AC 平面BEM ， 过点E在平面BEM 内作EO  BM ，垂足为点O， AC 平面BEM ，EO平面BEM ，EO  AC， EO  BM ，BMAC M ，BM 、AC  平面ABC，EO 平面ABC， 湖北省黄冈中学2025届高三第二次模拟考试数学答案 第 7 页（共 13 页） {#{QQABbYIs4gAYgAaACB5KQQVOC0kQkIAhLcoMBUCXKAwCAZNAFIA=}#}EO 直线AA 与平面ABC所成的角为EMO ，tanEMO 3，EO3OM ， 1 OM EM  EO2 OM2  10OM  10，OM 1，EO3，································ 7分 ABBC 3 2，AC  2AB ， AC 6， 1 AB2 BC2  AC2，AB BC，M 为AC 的中点，MB AC 3， 2 以点O为坐标原点，在平面ABC内过O作BM 的垂线为x轴， OB所在直线为y轴，OE所在直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则A(3,1,0)，B(0,2,0)，M(0,1,0)，C(3,1,0)，E(0,0,3)，·······························8分       ME(0,1,3)，则OA OAAA OAME(3,1,0)(0,1,3)(3,0,3) 1 1  6  6 6 18 点A(3,0,3)，AF  AA  (0,1,3)(0, , )， 1 19 1 19 19 19    6 18 51 18  则BF BAAF (3,3,0)(0, , )(3, , )，又CB(3,3,0)， 19 19 19 19  设平面BCF 的法向量为m(x,y,z)，   mCB3x3y0  则  51 18 ， mBF 3x y z0  19 19  取x1，得m(1,1,6)，·····························································10分   设平面ABF的法向量为n(x,y,z)，AB(3,3,0)，   nAB3x3y0   则  51 18 ，取x3，得n(3,3,1)，································12分 nBF 3x y z0  19 19     |mn| 336 6 3 2 |cosm,n|      ，··················14分 |m||n| 12 （1）2 (6)2 32 32 (1)2 19 2 19 3 2 平面ABF与平面CBF 夹角的余弦值为 ．···········································15分 19 17.【答案】(1)分布列见解析， . (2) 18 97 103 −1 【解析】（1）X的可能取值为： 58，4， 2200 概×率2分00别为： ； ； ； 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 ∁3 1 ∁1∁2+∁3∁2+∁2∁3+∁1∁3 13 ∁2∁1∁3 3 3 3 3 所(以 =X8的)=概率∁6分=布20列 为( =4)= ∁6 =20 ( =2)= ∁6 =10 X 8 4 2 p 1 13 3 20 20 10 . ···················································7分 1 13 3 18 （(2 ）)=记8乙×一2轮0+比4赛×的20得+分2为×1Y0，=事5件 为“一轮比赛甲乙得分相同”， 湖北省黄冈中学2025届高三第二次模拟考试数学答案 第 8 页（共 13 页） {#{QQABbYIs4gAYgAaACB5KQQVOC0kQkIAhLcoMBUCXKAwCAZNAFIA=}#}则 ( )= ( = =8)+ ( = =4)+ ( = =2) = ( =8) ( =8)+ ( =. 4) ( =4)+ ( =2) ( =2) 1 2 13 2 3 2 103 = 20 + 20 + 10 =200 记事件B为“第n轮比赛甲乙得分不同”，则 . 97 所以两人共抽n轮小球的概率 ( )=1− ( )= 200 . ························15分 97 103 −1 = ( 1 2⋯ −1 y)2 = ( 1) ( 2)⋯ ( −1) ( )= 200× 200  53  18.【答案】(1)x2 1 (23x 7y60或3x 7y60或x2 (3)  5, 7 3 3  3  【解析】（1）圆锥曲线E的离心率为2，故E为双曲线， x2 y2 因为E中心在原点、焦点在x轴上，所以设E的方程为  1a0,b0， a2 b2 b2 2b2 令xc，解得y  ，所以有 6 a a ① b2 a2 1 又由离心率为2，得 1 2 ，由 解得 ， a2 b2 3 ② ①② y2 所以双曲线E的标准方程是x2 1．·····················································3分 3 （2）设Bx ,y ，Cx ,y ，由已知，得F2,0，根据直线AB过原点及对称性，知 1 1 2 2 1 S 2S 2 OF  y y c y y 2 y y 12 ， ······························4分 △ABC △BOC 2 1 2 1 2 1 2 由题意可知直线BC的斜率不为0， 设直线BC的方程为xmy2，  y2 x2  1   联立直线BC与双曲线E的方程，得 3 ，化简整理，得 3m2 1 y2 12my90，  xmy2  12m y  y    1 2 3m2 1   所以 ，且Δ144m2 36 3m2 1 36m2 360，  y y  9  1 2 3m2 1 所以S 2 y y 2 y y 24y y 2 6 m2 1 12 ， ABC 1 2 1 2 1 2 3m2 1 7 整理得 9m4 7m2 0 ，解得m 或m0， 3 所以直线BC的方程是3x 7y60或3x 7y60或x2．······························7分 （3）若直线l斜率不存在，此时直线l与双曲线右支无交点，不合题意， 故直线l斜率存在，设直线l方程ykx2， Px ,y ，Qx ,y ， 3 3 4 4 湖北省黄冈中学2025届高三第二次模拟考试数学答案 第 9 页（共 13 页） {#{QQABbYIs4gAYgAaACB5KQQVOC0kQkIAhLcoMBUCXKAwCAZNAFIA=}#} y2 x2  1 联立直线l与双曲线E的方程，得 3 ，  ykx+2   化简整理，得 3k2 x2 4kx70， 4k 7   所以x x  ，x x  ，且Δ16k2 28 3k2 8412k2 0， 3 4 3k2 3 4 3k2 直线l与E在y轴的右侧交于不同的两点P，Q， Δ=8412k2 0  k2 7 3k2 0   k2 3  4k 0  ，解得 7 k  3．········································ 9分 3k2 k2 3    7 0 k 0 3k2     TP SP 设点S的坐标为x ,y ，由TPSQ  PSTQ，得  ， 0 0 TQ SQ x x x 2x x 7 则 3  0 3 ，变形得到2x x (x x )x ， x  3 4  ， x x x 3 4 3 4 0 0 x x 2k 4 4 0 3 4 3 代入 ykx2中，解得y  ，························································ 12分 0 2 3 设过点T与双曲线E右支相切的直线为l ，l 与y 的交点为S ， 1 1 1 2 3 过点T与双曲线E的渐近线y 3x平行的直线为l ，l 与y 的交点为S ， 2 2 2 2 S 点的轨迹为线段S S （不含端点），·····················································14分 1 2 y 7x2 y 3x2  7 3  7 3 3 由 3 解得S ( , )， 由 3 解得S ( , )， y 1 2 2 y 2 6 2  2  2  SM 2  SF 2 t，x 12 x 22 2y2 t， 0 0 0  3 2 2t1 1 整理得 x    y2  ，t  ，  0 2 0 4 2 3 2t1 即S点的轨迹为以( ,0)为圆心， 为半径的圆与线段S S 的交点， 1 2 2 4 7 3 7 3 9 2t1 7 3 3 3 53    ， ≤ (  )2（ ）2，解得5≤t 7 3 ， 2 2 6 4 4 6 2 2 3  53  t 的范围是  5, 7 3 ．······························································ 17分  3  湖北省黄冈中学2025届高三第二次模拟考试数学答案 第 10 页（共 13 页） {#{QQABbYIs4gAYgAaACB5KQQVOC0kQkIAhLcoMBUCXKAwCAZNAFIA=}#}19．【答案】（1）证明见解析 （2）2，5 （3）n!e2n4 n lnx1 【解析】（1）设h  x  f(x)g(x)(ex 1) ,x 0,， x 易证得ex≥x1（当且仅当x0时取等号）， lnx1 1 1 h  x (ex 1)  xex  xlnx1  exlnx  xlnx1      x x x 1 ≥  xlnx1xlnx1  0，当且仅当xlnx0时取等号， x  f x≥g(x). （当且仅当xlnx0时等号成立）··········································5分 （2）设h(x) f x1a(x2)ex a(x2)， 对函数xex,xex ，设x上一点为  x ,ex0  ，过点  x ,ex0  的切线方程为yex 0 ex 0  xx ， 0 0 0 将2,0代入上式得ex0 ex0 2x x 1， 0 0 1 1 1 2 过2,0的x的切线方程为y  x1，整理得y x ， e e e e 1 要使yex与ya(x2)有两个交点，则a . e ex1 ax 2a0 ex1 ax 2a x 2 由题意可知2 x 1 x ，由 1 , 1  2 ex2 x1， 1 2 ex2 ax 2a0 ex2 ax 2a x 2 2 2 1 x 2 令t  2 ，则t1,，etx1 x1 2t2 t， x 2 1 lnt tlnt (t1)lnt tx x 2t2lnt，即x 2 ,x 2 ，x x  4， 1 1 1 t1 2 t1 1 2 t1 1 令 mt (t1)lnt 4,mt  t2lnt t ，令 ntt2lnt 1 ,nt 1 2  1  t12  0 ， t1 t12 t t t2 t2 nt在1,上递增. 因为n10，所以nt0在1,上恒成立. 所以mt0在1,上恒成立. mt在1,上递增. 3ln5  3ln5  又m23ln24,m5 4，当m(t)  3ln24， 4  时，t2，5， 2  2  x 2  2 的取值范围是2，5 . ···························································· 11分 x 2 1 （3）易证得xlnx1≥0（当且仅当x1时取等号）， 1 1 1 1 1 取x （其中tN），有 ln 1≥0，有 lnt1≥1 ， t1 t1 t1 2 t1 又由4t24t14t24t，有2t12 4tt1，有2t12 tt1， 湖北省黄冈中学2025届高三第二次模拟考试数学答案 第 11 页（共 13 页） {#{QQABbYIs4gAYgAaACB5KQQVOC0kQkIAhLcoMBUCXKAwCAZNAFIA=}#}1 1   有2t12 tt11，有2 t12 t  ，有 2 t1 t ， t1 t1 可得 1 lnt1≥1 1 12  t1 t  ，有 1 n1 lni1n2  n1  i1 i  n2 n， 2 t1 2 i0 i0 1 有 ln1ln2lnnn2 n ，有lnn!2n4 n ， 2 当n≥2且 nN*时， n!e2n4 n．······················································ 17分 湖北省黄冈中学2025届高三第二次模拟考试数学答案 第 12 页（共 13 页） {#{QQABbYIs4gAYgAaACB5KQQVOC0kQkIAhLcoMBUCXKAwCAZNAFIA=}#}附件二 试题双向细目表 科目 数 学 难易度 试题 题号 题型 分值 考点（知识点） 能力点 （难、中、易） 来源 1 单选 5 复数的概念与运算 数学运算 易 原创 2 单选 5 集合的运算、集合的关系 数学运算 易 原创 3 单选 5 等差数列综合 数学运算 易 原创 空间几何体的表面积与体 4 单选 5 数学运算 易 改编 积 平面向量的数量积、平 5 单选 5 数学运算 易 改编 面向量基本定理 6 单选 5 条件概率、计数原理 数学建模 中 原创 7 单选 5 三角函数的图象与性质 数学运算 中 改编 数学运算 8 单选 5 函数的单调性、零点 难 改编 数据处理 9 多选 6 统计综合 数据处理 易 原创 直线与抛物线的几何性质 数学运算 10 多选 6 中 原创 综合 数据处理 数学运算 11 多选 6 数列新定义问题 难 改编 逻辑推理 12 填空 5 二项式定理 数学运算 易 原创 13 填空 5 三次函数的单调性与最值 数学运算 中 改编 球的切接问题、直线与圆 数学运算 14 填空 5 难 改编 的综合 逻辑推理 15 解答题 13 三角函数与解三角形 数学运算 易 改编 数学运算 16 解答题 15 立体几何与空间向量 中 改编 直观想象 数学运算 17 解答题 15 分布列、统计概率综合 中 改编 逻辑推理 数学运算 18 解答题 17 直线与双曲线综合 难 改编 数据处理 数学运算 19 解答题 17 导数综合 难 改编 逻辑推理 说明：试题来源应注明自创，改编，移用（改编和移用要注明出处） 湖北省黄冈中学2025届高三第二次模拟考试数学答案 第 13 页（共 13 页） {#{QQABbYIs4gAYgAaACB5KQQVOC0kQkIAhLcoMBUCXKAwCAZNAFIA=}#}