文档文本内容
2023 年南京大学计算机拔尖班二次选拔考试数学试题
第一题（20 分）
在黑板上写有2023个1，下面进行2022 次如下操作：每次操作擦掉黑板上的任
意两个数a和b，并写下(a+b)或者min{a2 +b2}，最后只剩下一个数,把这个数
的最大可能值记为r．求证：
2023 2023
2 2 <r <3 2
第二题（20 分）
设 f 是定义域为非零实数、值域为实数的函数，对于x,y,z∈ ，当xyz =1时，有
[ f(x) ]2 − f(y)f(z)= x(x+ y+z)(f(x)+ f(y)+ f(z)).
求满足上述条件的所有函数 f ．
第三题（20 分）
若定义域和值域均为S = { 1,2,,n }的函数 f 满足：当x≠ y时， f(x)≠ f(y)，则
称 f 为S的“排列函数”，{ x, f(x), f(f(x)),}( x∈S )记为 f 的一个“轨道”，
把 f 的所有不同的轨道个数记为c(f)．（例如，如果n=3, f :S →S定义为
f(1)=2, f(2)=1,
f(3)=3，则S的所有不同轨道有{
1,2
}和{
3
}，于是c(f)=2.）
设k >3,n>3, f ,, f 为S的k个排列函数，记 f(x)= f (f ((f (x))))，证明：
1 k 1 2 k
c(f )+c(f )++c(f )≤n(k−1)+c(f)
1 2 k
学科网（北京）股份有限公司第四题（20 分）
对于正整数n，可以把n的所有约数排成一列：d ,,d ．求满足存在n的所有
1 k
约数的一个排列，使得d +d ++d (i =1,2,,k)均为整数的平方的所有正整数
1 2 i
n．
2023 年南京大学计算机拔尖班二次选拔考试数学试题解答
第一题：
学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司第二题：
学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司
