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泸县五中高 2021 级高三上学期开学考试
文科数学参考答案
1．A 2．A 3．D 4．D 5．C 6．B 7．D 8．D 9．D 10．A 11．B 12．B
13． （答案不唯一） 14．110 15． 或 或 16．
17．解：（1）依题意可得：
又∵ 成等差数列，
∴ 且 ，
解得：
（2）估计中位数设为t，而 的频率为0.41， 的频率为0.71,则 ，
∴ ，
解得： ，即中位数估计为73，
估计平均数为：
．
（3）5人中，将甲、乙分别编号为1,2，其余3人编号 ，
从这5人中选3人帮助A的所以可能结果有：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），
（1，3，4），（1，3，5）（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5），共10个
基本事件，
其中满足条件的有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），共3个，故满足条件的概率为 .
18．解：（1）证明：∵ ， ， ， 平面
∴ 平面 又 平面 ，∴
， 平面 ，
∴ 平面
平面
由 ， 知
又 平面 ，
平面 又 平面 ，∴平面 平面
1
学科网（北京）股份有限公司（2）∵ 为 中点∴ ，
点 ， 到平面 的距离之比为 ∴
19解：（1）解： .
选择①②：因为 ，所以 ，
又因为 的最小正周期为 ，所以 ，所以 ；
选择②③：因为 的最小正周期为 ，所以 ，则 ，
又因为 ，所以 ，所以 ；
选择①③：因为 ，所以 ，所以 ．
又因为 ，所以 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，所以 ．
（2）解：依题意，令 ， ，
解得 ， ，
所以 的单调递增区间为 ， .
20．解：（1）解法一：由 ，得 ，
又 ，所以 是 的极小值点，
2
学科网（北京）股份有限公司故 ，而 ，故 ，若 ，则 ，
当 ；当 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
故 是 唯一的极小值点，也是最小值点，
由 ，所以当且仅当 时 ，
解法二：由 ，得 ，又 ，
当 时，有 恒成立，所以 在 上单调递减，
又 ，则 不成立，
当 时，令 ，得 ，
则 时，有 时，有 ，
即 在 单调递减，在 单调递增，
所以 的最小值为 ，
，
函数 在 单调递减， 单调递增，
，当且仅当 取等号，
故 ；
（2）当 时， ，设 ，
当 时， ，又由（1）知 ，故 ，
3
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，
设 ，则 ，
则 在 单调递增， ，
所以 ，则 在 单调递增， ，
综上， ，即当 时，
.21．解：（1）由题意，设 ，又 ，则 ，又
因为点 在圆 上，所以 ，故曲线 的方程为 ；
（2）由题意， ，设 ，则 ，易得 斜率必然存在，所以
，
设 ，由图象易知，直线 斜率不存在时不符合题意，设直线 的方程为 ，
联立曲线 的方程 ，得 ，
得 ，
所以 ，由题意知，直线 均不过原点，所以 ，从而 ，
所
，
4
学科网（北京）股份有限公司解得 ，满足 ，所以直线 的方程为 ，恒过定点 .
22．解：（1）由直线 的参数方程，得直线 的普通方程为 ．
将 代入曲线 的极坐标方程，
化简得曲线 的直角坐标方程为 ．
（2）由（1），设点 ，
由题知 的最小值为点 到直线 的距离的最小值．
又点 到直线 的距离 ，其中 ．
当 时， 的最小值为 ．
的最小值为 ．
23．解：（1）当 时， ，解得 ，所以 ，成立．
当 时， ，恒成立，所以 成立．
当 时， ，解得 ，所以 ，成立
综上，原不等式的解集为
（2）
， ，
.
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