文档内容
试卷类型：A
山东新高考联合质量测评 10 月联考试题
高三数学
考试用时120分钟，满分150分
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在
本试卷上无效。
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知集合 ， ，则 =（ ）
A． B． C． D．2
2．合题“ R， 是偶函数”的否定是（ ）
A． R， 不是偶函数 B． R， 是奇函数
C． R， 不是偶函数 D． R， 是奇函数
3．我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，是过去官员或私人签署
文件时代表身份的信物。图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱
和一个正四棱锥组成的几何体，如图2．已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且正四棱锥的底面边长为4，侧
棱长为 ，则该几何体的体积是（ ）
A．32 B． C． D．64
学科网（北京）股份有限公司4．已知 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知实数 满足 ，则 的最小值是（ ）
A．9 B．3 C．2 D．6
6．已知 满足 ，且 在 处的切线方程为 ，则 =（
）
A．0 B．1 C．-1 D．-2
7．已知正方体 的棱长为3，点P在 内运动，且满足PB=2，则点P的轨迹长度为（
）
A． B． C． D．
8．设数列 的前 项和为 ， ，且 ，若存在 ，使得
成立，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．8
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的是2分，有选错的得0分。
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．函数 的图象过点 ，则
B．函数 的零点是（-3，0）,（1，0）
C．函数 的定义域为R，若 是奇函数 是偶函数，则
D．函数 的零点所在区间可以是（2，3）
10．已知数列 满足 ， ，则下列结论正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． 为等差数列 B． 为递减数列
C． 的通项公式为 D． 的前 项和
11．如图，在正四棱柱 中， ，E，F，N分别是棱 ， ， 的中点，
则（ ）
A．
B． 平面BDE
C．直线BE与 是异面直线
D．直线NC与平面BDE的交点是△BDE的外心
12．已知函数 若存在实数 使得方程 有四个互不相等的实数根，分别为
，且 ，则下列说法正确的有（ ）
A． B． C．D．
C． D． 的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数 ，则 =______。
14．如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂
直于棱AB，AB=2，AC=3，BD=4，CD=4。则这个二面角的余弦值为______。
学科网（北京）股份有限公司15．已知数列 ， ，满足 ， ，则 的前
项和 =______。
16．已知 ， ，若存在 ， ，使得 ，则称函数
与 互为“ 阶逼近函数”。若 与 互为“1阶逼近函数”，则
实数 的取值范围为______。
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知函数 图象的对称中心到对称轴的最小距离为 。
（1）求函数 的单调递减区间；
（2）求函数 在区间 上的值域。
18．（12分）已知数列 为递增的等差数列， 为 的前 项和， ， ，
。
（1）若数列 为等差数列，求非零常数 的值；
（2）在（1）的条件下， ，求 的前 项和 。
19．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形， ， ，
平面ABEF， ，AD=AB=2BC=2BE=2。
（1）已知点G为AF上一点，AG=AD，求证：BG与平面DCE不平行；
（2）已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为 ，求点F到平面DCE的距离。
学科网（北京）股份有限公司20．（12分）随着经济的不断发展，环境污染物别是水污染日益加剧，已经成为不可否认的客观事实。某企
业通过对我国城市自来水水质现状以及对水质污染解决途径的分析，可以预见，使用净水设备是解决水质污
染问题的有效途径，在我国有着巨大的潜在市场。该企业为抓住机遇，决定开发生产一款新型净水设备。生
产这款设备的年固定成本为200万元，每生产 台 需要另投入成本 （万元），当年产量 不
足35台时， （万元），当年产量 不少于35台时， （万
元）。若每台设备的售价与销售量的关系式为 ，经过市场分析，该企业生产的净水设备能全部售完。
（1）求年利润 （万元）关于年产量 （台）的函数关系式、
（2）年产量 为多少台时，该企业在这一款新型净水设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？
21．（12分）已知定义在R上的函数 满足 ，且当 时， 。
（1）求 的值，并证明 为奇函数；
（2）求证 在R上是增函数；
（3）若 ，解关于 的不等式 。
22．（12分）已知函数 ， ， 。
（1）讨论函数 的单调性；
（2）证明：当 时， 。
学科网（北京）股份有限公司山东高考联合质量测评高三数学参考答案
1．C 2．A
3．C解：∵底面边长为4，∴底面的对角线长为 。
设正四棱柱和正四棱锥的高为 ，因正四棱锥的侧棱长为 ，
则根据题意可得 ，
解得 ，故该几何体的体积为 ，故选C。
4．B
5．B解：由 得 ，变形得 。
因为 ，所以 ，故选B
6．D解：函数 的定义域为R，因为 ，所以函数 是R上的奇函数，
所以 ，解得 ，所以 ，则 ，所以
，则 ，因为 在 处的切线方程为
，所以 ，解得 ，所以， 。故答案为：D。
7．C解：设点B到平面 的距离为 ，
因为 ，所以 。
因为正方体 的棱长为3，
学科网（北京）股份有限公司所以等边 的边长为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以点B为球心，2为半径的球面与平面 的内切圆半径为 为半径的圆。又因为等边
的内切圆半径为 ，所以交线长为 ，故选C。
8．D解：由已知 ，所以 A-2A，所以数列 是常数列。
又 ，所以 ，从而 ，
所以数列 是以2为首项，1为公差的等差数列，故 。
由存在 使得 成立可知，
存在 使得 成立，即 。
设 ，则 ，从而 。
记 ，由对勾函数性质可知， 在 上单调递减，在 上单调递增，又
，所以 ， ，
学科网（北京）股份有限公司所以 的最小值是8.故选：D。
9.ACD解：选项A：设幂函数 ，由 得 ，故选项A正确；
选项B： 得 或1，所以 的零点为-3和1，故选项B不正确；
选项C：因为 是偶函数，所以 ，
因为 是奇函数，所以 ，
因此函数 的周期为4，所以 ，故选项C正确；
选项D：因为函数 在 时单调递增，而 ， ，
故选项D正确，故选ACD。
10．BD解因为 ，所以 ，所以 ，且 ，所以
是以4为首项，2为公比的等比数列，即 ，可得 ，故选A，C错误；
因为 单调递增，所以 单调递减，即 为递减数列，故选项B正确； 的前
项和 ，
故选项D正确，故选BD。
11．ABD解．对A，以点D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，不妨设 ，则AB=1，
由题意可知B（1，1，0），N（1，0，1），C（0，1，0），则 , ，
=-1+1=0， ，即 ，故A正确；
对B， ， ，
即 。
学科网（北京）股份有限公司又 ， ， 平面BDE。
所以 平面BDE，B正确；
对C，连接EF， ，由已知得 ，所以 ，所以 四点共面，
∴直线BE与 是共面直线，C错误；
对D，设直线NC与平面BDE的交点为O，
由正方体知ND=NB=NE=DB=BE=DE= ，则四面体N-BDE为正四面体。
∵CN⊥平面BDE，则O为正三角形BDE的中心，故D正确。
故选ABD。
12．BD解：作出 在 上的图象，如图所示：
因为 ，
又因为方程 有四个互不相等的实数根，所以 ，故A错误；
对于B，由题意可得 ，且有 ， ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以 ，当 ，即 时，
等号成立，故正确；
对于C，由题意可得 ，由A可知
所以 ，故错误；
对于D，由题意可知： 与 关于直线 对称，且 ， ，所以 ，所以
。
因为 ，所以 。
又因为 ，
所以 ，单调递减，
所以 。
所以 ， ，所以 。
因为 ，所以 ，单调递增，
所以 ，所以
所以 的取值范围为 故D正确，故选BD。
13．3
14． 解： ， ，
设二面角C-AB-D为0,
则 ，又 ，
学科网（北京）股份有限公司则 ，
即 ，所以 。故答案为： 。
15． 解：由 得
则 ，
所以 。
16. 解：由题意可知 ，且 在R上单调递减，
所以函数 只有一个零点2，
由 ，得 ，
所以函数 在区间 上存在零点。
由 ，得
令 ，则 ，
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
且 ， ， ，
要使函数 在区间 上存在零点，只需 。
17．解（１）由已知 图象的对称中心到对称轴的最小距离为 ，则 ，
， ，解得 。
学科网（北京）股份有限公司∴函数 的解析式是 。
令 ， ，
解得 ， 。
所以函数的减区间为 ， 。
（2）由（1）知，函数在区间 上为增函数，在区间 上为减函数。
因为 ， ， ，
故函数 在区间 上的值域为 。
18．解（1）由 为递增的等差数列， ， ，解得 ， ，所以
，公差 ，所以 ，
所以 。若 为等差数列，且 ，则 。
（2）由（1）知 ，所以 。
因此 。
又 ，
两式相减得 ，
所以 。
学科网（北京）股份有限公司19．（1）证明：因为 平面ABEF，AB， 平面ABEF，所以 ， 。
又 ，所以以A为坐标原点，AF，AB，AD分别为 轴，建立空间直角坐标系，则 ，
， ， , ，
所以 ， ， ，
设平面DCE的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，所以 ，
因为 ，即不存在 使得 与 垂直，
所以BG与平面DCE不平行。
（2）设 且 ，则 ，所以 。
∵直线BF与平面DCE所成角的正弦值为 ，
，化简得 ，
解得 或 （舍去），故 。
,由（1）知平面DCE的一个法向量 ，
F到平面DCE的距离
所以
学科网（北京）股份有限公司20．解：（1）当 ， 时，
；
当 ， 时，
。
综上所述，
（2）当 ， 时， ，则当 时， 的最大值为650；
当 时，
（当且仅当 ，即 时等号成立）。
∴当年产量为39台时，该企业在这款新型净水设备的生产中获利最大，最大为721万元。
21．（1）解：令 ，得 。
，所以函数 为奇函数；
（2）证明：在R上任取 ，则 ，所以 。
又 ，
所以函数 在R上是增函数。
（3）解：由 ，得 ， 。
由 得 。
因为函数 在R上是增函数，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得 或 。
故原不等式的解集为 或 。
22．解：（1）函数 的定义域为 ，
，
当 时， 恒成立， 在 上单调递减。
当 时， ， 恒成立， 单调递增。
， 恒成立， 单调递减。
综上所述，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减。
（2）当 时， ，则
由（1）可知， ，
所以 ，
即
令
，可知 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 。
恒成立，故 在 上单调递增，
学科网（北京）股份有限公司，
因为 ，所以 ，
所以当 时，
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