文档内容
重庆市高2024届高三第二次质量检测
数 学 试 题
2023.10
命审单位：重庆南开中学
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目
要求.
1.已知全集 U=R,集合A={1,2,3,4,5},B={x|x>2},则A∩(C B)为
U
A.{1,2} B.{1,2,3} C.{2,3}
D.{3,4,5}
2.已知β是第三象限角,则点Q(cosβ, sin 2β)位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
D.第四象限
3.“m=2”是“幂函数f (x)=(m²−m−1)x²ᵐ⁺¹在(0,+∞)上单调递增”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分
条件
C.充要条件 D.既不
充分也不必要条件
3
4.一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，13，16，17，若该组数据的中位数是极差的 ，则该组数
5
据的40 百分位数是
A.4 B.4.5 C.5
D.9
5.已知 f (x)=(eˣ−e⁻ˣ)cosωx+x+2(ω∈R),且f(3)=1,则f(−3)=
A. -3 B. -1 C.1
D.3
6.数列{a }、{b }满足: ∴a =8,a −a =8n(n∈N∗,n≥2),b =√a +1 ( 9 ) n ,则数列{bₙ}的最大项是
n n 1 n n−1 n n 10
A.第7项 B.第9项 C.第11项
D. 第12项
π 1
7.已知|φ|≤π,将y=sin(x+φ)向左平移 个单位长度,再将横坐标缩短为原来的 ,得到函数y=f(x)若对
6 2
( π π )
∀x∈ − , ,都有f(x)<0成立，则实数φ的取值范围是
3 12
[ π π] [ π ]
A. − ,− B. − ,0
2 3 2
[ 2π] [π 2π]
C. 0, D. ,
3 2 3
1 π
8.如图所示，某市拟将一个半圆形的空地改造为果园.设 ∠BAC=∠CAD= ∠DAE,且 0<∠BAC< .若
2 4
数学试题 第 1 页 共 5 页要在扇形 ABC 和四边形 DAFE 内种满苹果，则当苹果的种植总面积最大时，∠BAC的大小为
π
A.
24
π
B.
12
π π
C. D.
6 8
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.
全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.
9.已知实数a>b>0>c>d，则下列不等式中一定正确的有
A. ln(a−c)>0 B. ad D.
a a+b
a³+b³>a²b+ab²
10.已知函数f (x)=2√3sin2x+2sinxcosx−√3则下列说法中正确的有
A.2π是 f(x)的 一 个 周 期
( π )
B. − ,0
3
是f(x)的一个对称中心
[π 5π]
C. f(x)在 , 上单调递增 D.若
3 6
(θ) ( π) 1
f =1,则 sin 2θ− =
2 6 2
x2
11.已知函数 f (x)= −log x(a⟩0且a≠1)，下列说法正确的有
a a
A.当a=2时,f '(1)=0 B.当a=2时,有f(x)>0恒成立
a
C.当 >2e时，f(x)有两个零点 D.存在唯一的a使得
lna
f(x)仅有一个零点
x2 y2 2
12.已知双曲线 C: − =1(a＞0)的左、右焦点分别为 F₁，F₂，过F₂作直线 y= x的垂线，垂足
a2 4 a
π
为P，且与C的右支交于点 Q，O为坐标原点，且∠F PO= ,则
1 6
A.|OP|=√3 B. C的离
√13
心率为
3
√21
C.sin∠PF F =
1 2 14
D.S =4√3−6
OF Q
2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
数学试题 第 2 页 共 5 页13. ( x2− 1) 6 展开式中的常数项为 .
x
14.若 sin(π−α)=2cosα,则sin 2α+sin²α= .
1−cosx
15.已知 f (x)=ax2+x,g(x)= ,若对 ∀x₁≥1,∃x₂∈R使f(x₁)≤g(x₂). 成立，则实数a的取值
2+sinx
范围是 .
π √3
16.已知函数 f (x)=sin(ωx+)(ω＞0,||< ).如图，直线 y= 与
2 2
π
曲线y=f(x)交于A,B两点, |AB|= ,则φ= . y=f(x)
6
[ π]
在区间 t,t+ (t∈R)上的最大值与最小值的差的范围是 .
4
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)记数列{a }的前 n项和为 S ,且 S =2a +n−3(n∈N∗).
n n n n
(1)求证:数列{aₙ−1｝是等比数列；
1 1 1
(2)求证: + +⋯+ <2.
a a a
1 2 n
18.(本小题满分 12 分)在四棱锥 P−ABCD中,平面 PCD⊥平面ABCD,侧面 PCD 是等边三角形,
∠ABC=∠BCD=90°,AB=2CD=2BC,M在棱AB上,且满足AB=4BM.
(1)求证:PM⊥CD;
(2)求二面角P−CM−A 的余弦值.
19.(本小题满分12分)2023年7月28 日至8月8日在成都举行的第三十一届世界大学生夏季运动会是中国西
部第一次举办世界性综合运动会。在本届成都大运会中，共有 800多支城市志愿服务队139万青年志愿者
参加。现某城市志愿服务队通过报名者对某比赛项目的了解程度进行筛选，筛选规则：对报名者进行分组，
每两人一组，同组两人以抢答形式进行比赛，共7道题，抢到并回答正确得一分，答错则对方得一分，先
得4分者获胜，比赛结束.已知在这次分组中，甲乙两人被分为一组，已知甲，乙两人都参与每一次抢题，
3 1
且每次抢到的概率相同，甲和乙正确回答每道题的概率分.别是 , ,且两人各道题是否回答正确均相互独
4 2
数学试题 第 3 页 共 5 页立.
(1)在第二道题结束时，求甲：乙的比分为2：0的概率；
(2)若已知在第三道题结束时甲得分以 2：1领先，设到比赛结束时，两人共再继续抢答了X道题，求X
的分布列和数学期望.
20.(本小题满分 12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 2acsin(B+C)+a² +c²-b²=0.
π
(1)若 A= ,a=2,求△ABC的面积;
6
4sin2C+3sin2A+2
(2)求 的最小值，并求出此时B 的大小.
sin2B
21.(本小题满分12 分)过点 P(0,2)作斜率为 k(k>0)的直线l与抛物线 C:x²=2py(p>0) 交于A,B两点，
O为坐标原点，当k=1时， ⃗OA⋅⃗OB=−4.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)过点A作AD⊥AB交y轴于点D,过点B作BE⊥AB交y轴于点E,记△PAD,△PBE面积分别为S₁，S₂，
求当S₁+S₂取得最小值时直线l的方程.
22.(本小题满分 12分)设函数f(x)=(ax²+bx+1) lnx(a,b∈R).
(1)当a=1,b=4时,
①求y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
②求证:当x∈(0,1]时, f(x)≤3x² −3;
(2)当a=0时,已知x₁,x₂(0√(4−3b) 2−4.
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