重庆市高2024届高三第二次质量检测
数 学 试 题
2023.10
命审单位：重庆南开中学
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要
求.
1.已知全集 ,集合 ,则 为
A.{1,2} = ={1 B , . 2 { , 1 3 , , 2 4 , , 3 5 } }, ={ | >2} C.{ 2 ∩ ,3} ( ) D.{3,4,5}
2.已知 是第三象限角,则点 位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
( , 2 )
3.“ ”是“幂函数 在 上单调递增”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
=2 = ²− −1 ²ᵐ⁺¹ (0,+∞)
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.一组数据按从小到大的顺序排列为2，4， ，13，16，17，若该组数据的中位数是极差的 ，则该组数据
的40百分位数是 3
5
A.4 B.4.5 C.5 D.9
5.已知 且 ,则
A.-3 B.-1 C.1 D.3
= eˣ−e⁻ˣ + +2 ∈ , (3)= 1 (−3)=
6.数列{ }、{ }满足: 则数列 的最大项是
∗ 9
A.第7 项 ∴ 1 =B.8第, 9 项− −1 =8 ∈ C .第≥121项, = +1 10D.第, 12项{ ₙ}
π
7.已知 ,将 向左平移 个单位长度,再将横坐标缩短为原来的 ,得到函数 若对
1
都有 成立，则实数 的取值范围是
| |≤ = ( + ) 6 2 = ( )
∀ ∈ −312 , ( )< 0
π π π 2π π2π
8.如图所示，某市拟将一个半圆形的空地改造为果园.设 且 若要在
A. −2−3 B. −20 C. 0 3 D. 2 3
扇形ABC和四边形DAFE内种满苹果，则当苹果的种植总面积最大时，∠1 BAC的大小为
∠ = ∠ = 2∠ , 0< ∠ < 4.
π π
A.24 B.12
C. D.
π π
6 8
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.
9.已知实数 ，则下列不等式中一定正确的有
A. > >0 > > B.
数学试题 第1页共4页
( − )> 0 < D.
+
10.已C.知 >函 数+ 则下列说法中正 ³确+的 有³> ² + ²
2
A. 是 f 的=一2个3周 期 +2 − 3 是 的一个对称中心
π
C.2 在 ( ) 上单调递增 BD..若−30 ( 则)
π5π 1
11.已知 (函 )数 3 6 且a≠1)，下列说法正确的有 2 =1, 2 −6 =2
2
x
A.当 f时x, = a −logax a 0 B.当 时,有 恒成立
C.当 =2 时'(，1)f(=x)0有两个零点 D.存 在=唯2一的 使( 得)> 0仅有一个零点
12.已知双
曲
>
线
2
＞ 的左、右焦点分别为 ， ，过 作直
线
( )
的垂线，垂足为 ，且
2 2
2
与 的右支交于点 2， 为坐标原点，且 则
: − 4 =1( 0) F₁ F₂ F₂ =
∠ 1 = 6, B. 的离心率为
13
A.| |= 3 3
21
三、C填. 空 题∠ ： 本 1 题 2 =共414小题，每小题5分，共20分. D. 2 =4 3−6
展开式中的常数项为 .
6
2 1
1143.若. − ,则
15.已知 若对 , 使 成立，则实数 的取值范围
( − )= 2 2 + ² = .
2 1−cos
是 .
= + , = 2+sin , ∀ ₁ ≥ 1 ∃ ₂∈ ( ₁)≤ ( ₂).
16.已知函数 ＞ 如图，直线 与
3
曲线 交于 两点, 则 = .
= sin + ( 0,||< 2). = 2
在区间 上的最大值与最小值的差的范围是 .
= ( ) , | |= 6, = ( )
+4 ∈
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)记数列{ }的前n项和为 ,且
(1)求证:数列{ ｝是等
比数列；
=2 + −3 ∈
∗
.
(2)求证:
ₙ−1
1 1 1
1+ 2+⋯+ <2.
数学试题 第2页共4页18.(本小题满分 12 分)在四棱锥 中,平面 ⊥平面 ,侧面 是等边三角形,
M在棱 上,且满足
− ∠ =
(1)求证: ;
∠ =90°, =2 =2 , =4 .
(2)求二面 角⊥ 的余弦值.
− −
19.(本小题满分12分)2023年7月28日至8月8日在成都举行的第三十一届世界大学生夏季运动会是中国西部第
一次举办世界性综合运动会。在本届成都大运会中，共有800多支城市志愿服务队139万青年志愿者参加。
现某城市志愿服务队通过报名者对某比赛项目的了解程度进行筛选，筛选规则：对报名者进行分组，每两
人一组，同组两人以抢答形式进行比赛，共7道题，抢到并回答正确得一分，答错则对方得一分，先得4分
者获胜，比赛结束.已知在这次分组中，甲乙两人被分为一组，已知甲，乙两人都参与每一次抢题，且每次
抢到的概率相同，甲和乙正确回答每道题的概率分.别是 且两人各道题是否回答正确均相互独立.
3 1
(1)在第二道题结束时，求甲：乙的比分为2：0的概率
4
；
,2,
(2)若已知在第三道题结束时甲得分以2：1领先，设到比赛结束时，两人共再继续抢答了 道题，求 的
分布列和数学期望.
20.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2acsin(B+C)+a²+c²-b²=0.
(1)若 求△ABC的面积;
(2)求 = 6, =2,的最小值，并求出此时B的大小.
2 2
4sin +3sin +2
2
sin
21.(本小题满分12分)过点 作斜率为 的直线 与抛物线 交于 两点， 为
坐标原点，当 时，
(0,2) ( >0) : ² =2 ( >0) ,
(1)求抛物线
=
的
1
方程
；
⋅ =−4.
(2)过点 作 交 轴于点 ,过点 作 交 轴于点 ,记 , 面积分别为 ， ，求
当 取得最小值时直线l的方程.
⊥ ⊥ △ △ ₁ ₂
₁+ ₂ 数学试题 第3页共4页22.(本小题满分12分)设函数
(1)当 , 时,
( )= ( ²+ +1) ( , ∈ ).
①
求
=1 =4
在 处的切线方程;
②求证 =:当 ( ) (1, 时 (,1))
(2)当 时,已知 为函数 的两个零点 为 的导数)，
∈(0,1] ( )≤ 3 ² −3;
求证：
=0 ₁ ,₂ (0<₁ <1 <₂ ) g( ) = − '( )+ ( '( ) ( )
2
2− 1 > 4−3 −4.
数学试题 第4页共4页
