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银川一中2024届高三第一次模拟数学(理科)参考答案 当 时， ，则函数在 上单调递增，在 上单调递
1．【答案】C由 ,解得 ，
减；综上所述： 与图象相符，C正确；
又因为 ，所以 ，
对于D，由 得： ， 不存在 部分的图象，D错误.故
又由 ，可得 ，解得 ，
选：C.
所以 ，所以 ，
8.【答案】B
z 1
2．由 1+i =1− i =1+i ，得 z=(1+i) 2=2i ，则 z=−2i ，所以 |z|=2 .故选：C. 【详解】由题意，点 且满足 ，
3．A 根据双曲线的定义，可得点 的轨迹表示以 为焦点的双曲线 的右支，
4．【答案】C【解析】 由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c
其中 ，可得 ，则 ，
＝20，b＝45，选项A、B错误．根据列联表中的数据，得到K2＝≈6.109>5.024，因此有97.5%
的把握认为“成绩与班级有关系”． 可得双曲线 的渐近线方程为 ，
5.【答案】B
【解析】对于A，若 ，则有 ，所以 ，A错误； 又因为点 满足方程 ，即 ，
对于B，若 ，则有 ，所以 ，B正确；
结合双曲线的几何性质，可得 ，即 的取值范围是 .故选：B.
对于C， ，所以 ，解得 或 ，C错误；
若 与 的夹角为钝角，则 ，即 ，且 与 不能共线且反向，
9.【答案】A
解：“ ， ， ”，取 ，则 ，
由A选项可知，当 时， ，此时 与 共线且反向，
为等比数列．
所以若 与 的夹角为钝角，则 且 ，D错误，故选:B.
6．【答案】A 反之不成立， 为等比数列，设公比为 ，则 ，
，只有 时才能成立满足 ．
【详解】由点 在单位圆上，则 ，解得 ，
数列 满足 ，则“ ， ， ”是“ 为等比数列”的充分不必要
条件．
由锐角 ，即 ，则 ，故 ，
10.【答案】D
.故选A. 设切点 ．因为 ，所以 ，所以点 处的切线方程为 ，
7.【答案】C
又因为切线经过点 ，所以 ，即 .
【分析】利用基本不等式可求得 ，知A错误；由 时，
可知B错误；根据 、图象中的特殊点及函数的奇偶性、单调 令 ，则 与 有且仅有1个交点，
性可知C正确；根据函数定义域可知D错误.
，
【详解】对于A， （当且仅当 ，即
当 时， 恒成立，所以 单调递增，显然 时， ，于是符合题
时取等号）， 意；当 时，当 时， ， 递减，当 时， ， 递增，所以
在 上的最大值为 ，与图象不符，A错误； ，则 ，即 ．综上， 或 ．故选：D
11. 【答案】B
对于B，当 时， ，与图象不符，B错误；
12.【答案】C
对A选项结合勒洛三角形得到其截面图，利用扇形面积和三角形面积公
对于C， ， 当 时， ；
式即可得到答案，而A选项的截面积为C选项的最大截面积，对B选项
需要利用正四面体的高以及外接球半径与棱长的关系，得到外接球半径
又 过点 ；
为 ，再根据图形得到勒洛四面体的内切球半径，而此半径即为该勒洛
由 得： ，解得： ，即函数定义域为 ；
四面体的能够容纳的最大球的半径，即可判断D选项.
又 ，
【详解】对于A
为定义在 上的偶函数，图象关于 轴对称；
故A错误，截面示意图如下：
1
学科网（北京）股份有限公司对于B，由对称性知,勒洛四面体 内切球球心是正四面体 的内切球、外接球球心 ,
如图： 其中 ， ，
正 外接圆半径 ,正四面体 的
由于函数的图象关于 对称，所以 ，
高 ,令正四面体 的外接球半径为 ,
即 ，化简得 ，
在 中, ，解得 ,
所以 ，即 ，
此时我们再次完整地抽取部分勒洛四面体如图所示：
所以
图中取正四面体 中心为 ,连接 交平面 于点 ，交
于点 ，其中 与 共面，其中 即为正四面体外接球半径 ，设勒洛四面体内 ，
故选：C.
切球半径为 ，则由图得 ，故B错误； 17. （1） ，
对于C，显然勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体 ，且 ，
某三个顶点的截面，由对A的分析知 ，故
C正确； 数列 是以每一项均为 的常数列，则 ，即 ；
对于D，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个
弧面都相切,即为勒洛四面体内切球,所以勒洛四面体 能
（2）由（1）得 ， ，
够容纳的最大球的半径为 ，故D错误.故选：C．
.
π
13.
3 18.（1）证明：菱形 中， ，设 ， 交于点 ，连接 ， ，
14.54 则 ， ，又 ， 平面 ， 平面 ，
由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，
所以 平面 ；又 平面 ，所以 ；
先排乙，有第二、三、四名3种情况，
再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有3种情况，
（2）因为菱形 边长为 ， ，所以 ，则
其他三名同学排在三位置全排列有 种，
由分步乘法计数原理可知共有 种，故答案为： . ，
15. 【详解】设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），M（x 0 ，y 0 ），则 又 两式相 又 ，所以 ，则 ，
减得 ，则 .设圆心为C（5，0），则kOM= 所以 ；在 中， ， ，
，因为直线l与圆相切，所以 ，解得 ，代入 得 则 ，
所以 ，
所以 ；
16．先对函数化简变形，然后由题意可得 ，求得 ，再由
设点 到平面 的距离为 ，由题意，
可得 ，再利用诱导公式和二倍角公式可求得结果
即 ，
【详解】因为 ，
2
学科网（北京）股份有限公司则 . 设 ，则 ， ，
由 ，解得 ．
19.【详解】（1）设每件产品的销售利润为 元，则 的所有可能取值为1.5，3.5，5.5， 根据弦长公式可得
由直方图可得， ， ， 三类产品的频率分别为0.15、0.45、0.4，
所以， ， ， ，所以随机变量 的分布列为：
1.5 3.5 5.5
．
0.15 0.45 0.4
因为 的面积为 的面积为 ，
所以， ，故每件产品的平均销售利润为4元；
设点 到直线 的距离为 ，根据点到直线的距离公式可得 ，
（2）（i）由 得， ，
令 ， ， ，则 ，
所以 ，
由表中数据可得， ，
因此 ，
则 ，所以， ，
因为 ，所以 ，则 ，
即 ，因为 ，所以 ，
从而 ，
故所求的回归方程为 ；
所以 的取值范围是 ．
（ii）设年收益为 万元，则 ，设 ， ，
则 ，当 时， ， 在 单调递增，
21．【解析】（1）由 有两个零点，得方程 有两个解，
当 时， ， 在 单调递减，
所以，当 ，即 时， 有最大值为768， 设 ，则 ，
即该厂应投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大768万元.
由 ，可得 ， 单调递增，由 ，可得 ， 单调递减，
20.【小问1详解】
因为 的焦点坐标为 ，所以 ， 所以 的最大值为 ，当 时 ，当 时， ，
所以可得函数 的大致图象，
所以 ．因为 ，所以 ，化简可得 ，
所以 ，解得 ，
又 ，解得 ，所以椭圆 的标准方程为 ． 所以， 有两个零点时， 的取值
【小问2详解】由（1）可知 ，可知过点 的直线 的斜率存在且不为0， 范围是 ；
设直线 的方程为 ，
（2）设 ，
（3）即 ，则 恒成立，
由 ，化简可得 ，
3
学科网（北京）股份有限公司，要证 ，只要证 ，
由 ， ，可得 ，
由柯西不等式得 ，
下面证明当 时， ，即证 ，
当且仅当 时取等号， ．
令 ，则证 ， ，
（2）由基本不等式得 ，
令 为开口向上的二次函数，对称轴为 ，
以上三式当且仅当 时同时取等号，将以上三式相加得
由（1）可知 ，故 在 时单调递增，
，即 ．
则 ，
下面只需证明 即可，即证 ，
令 ，则 ，
令 ，则
，
所以函数 单调递减，且 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，即 ，从而不等式 得证，
综上， 的取值范围是 ．
22.【答案】解：(1)依题意，曲线C :(x−2) 2+ y2=4，即x2+ y2−4x=0,故ρ2−4ρcosθ=0，
1
即ρ=4cosθ,
ρ2=
4
ρ2+3ρ2sin2α=4 x2+4 y2=4
x2
+ y2=1
因为 1+3sin2α ，故 .即 ，即 4 .
4 4
将θ=θ 代入ρ2= 得， ρ2 = .
0 1+3sin2α Q 1+3sin2θ
0
将θ=θ 代入ρ=4cosθ得，ρ =4cosθ .
0 P 0
由|OQ|=|PQ|，得ρ =2ρ ，即(4cosθ ) 2= 16 .解得sin2θ = 2 ，则cos2θ = 1
P Q 0 1+3sin2θ 0 3 0 3
0
π √ 4 2√3 4√3
又0<θ < ，故ρ = = ，ρ =4cosθ =
0 2 Q 1+3sin2θ 3 P 0 3
0
1 1 2√3 √6 √2
故△PMQ的面积S =S −S = ⋅|OM|⋅(ρ −ρ )⋅sinθ = ⋅ ⋅ =
△PMQ △OMP △OMQ 2 P Q 0 2 3 3 3
.
23. 【详解】（1） ，
，
当且仅当 时取等号，
4
学科网（北京）股份有限公司
