全国甲卷四川省大数据精准教学联盟2021级(2024届)高三年级第二次统一监测(大数据二统)(5.17-5.18)理科数学试题答案_2024年5月_01按日期_20号

四川省大数据精准教学联盟2021级高三第二次统一监测
理科数学参考答案与详细解析
1．【答案】D
【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计集合运算与元素属性问题，主要考查集合
的交集、并集、补集运算，集合元素与集合的从属关系等基础知识；考查数学抽象、逻辑推理等
数学核心素养。
【解析】由U=-2,-1,0,1,2  ，A∩B=-1,1  ，A∪B=-2,-1,1,2  知，-1∈A，-1∈B；2
不同时在集合 A，B中，-2必在集合 A，B之一中，集合 A，B中都不含0，选项D正确．
2．【答案】A
【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计复数运算问题，主要考查复数的概念，复数
的加减运算，两个复数相等的条件等基础知识；考查方程思想，应用意识；考查数学抽象、数学
运算等数学核心素养。

【解析】令复数 z=a+bi，a∈R，b∈R，则 z-2z=a+bi-2a-bi  =-a+3bi=2-3i，根据
-a=2， a=-2，
 
两个复数相等的条件有

解得

所以z=-2-i．
3b=-3， b=-1，
3．【答案】B
【命题意图】本小题设置生活实践情境，主要考查统计图的识别、统计量的意义等基础知识，
考查直观想象、数学建模等数学核心素养。
【解析】根据图表可知，甲、乙命中环数的众数均为7环，故Z =Z ；甲运动员命中的环数比
甲 乙
较分散，乙运动员命中的环数比较集中，故s2 >s2 ．
甲 乙
4．【答案】C
【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计简易逻辑问题，主要考查等比中项的概念、
命题的判断等基础知识；考查数学抽象、逻辑推理等数学核心素养。
【解析】当 b2=ac 时，若 a = b = 0，b 不是 a，c 的等比中项；当 b为a，c的等比中项 时，
b2=ac．所以“b2=ac”是“b为a，c的等比中项”的必要不充分条件．
5．【答案】B
【命题意图】本题考查三视图、立体图形的体积求法等基本知识；考查运算、依据三视图画出
立体图形的能力．
【解析】根据三视图可以观察出该几何体为一个平放的半圆锥体，其中圆锥的高为4，底面
1 1 8π
半径为2，根据圆锥的体积公式可以计算出该立体图形的体积为V= × ×4π×4= ．
2 3 3
6．【答案】A
【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计平面向量的几何
运算问题，主要考查三角形法则，平面向量加减的几何意义等基础知识；考查数形结合等数学
思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。
   
1 1 1
【解析】由题意有BE= BD= × BA+BC
3 3 2

  
1
= -AB+AC-AB
6

 
1 1
=- AB+ AC，
3 6
       
1 1 2 1
所以AE=AB+BE=AB- AB+ AC= AB+ AC．
3 6 3 6
7．【答案】D
【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计三角恒等变换问题，主要考查二倍角的余弦，二
倍角的正弦，两角和的余弦，特殊角的三角函数等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能
力，化归与转化等数学思想；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养。
【解析】由cos2β=4sin2α，cos22β=16sin4α；由sin2β-2sin2α=0，sin22β=16sin2αcos2α．两
式相加，得1=cos22β+sin22β=16sin2αsin2α+cos2α 
1
，所以sinα= ，从而 cos2β =4sin2α=
4
1 π 1 π π
，即sin( -2β)= ．由0<β< 有0<2β<π，又cos2β=4sin2α>0，所以0<2β< ，
4 2 4 2 2
π π
因为0<α< ，所以，α= -2β．
2 2
理科数学第1页（共8页）8．【答案】C
【命题意图】本小题设置生活实践情境，主要考查正态分布、二项分布、数学期望等基础知
识，考查概率与统计思想，考查数学运算、数学建模等数学核心素养。
【解析】柠檬单果的质量m(单位：g)服从正态分布N(65,σ2)，且P(m<50)=0.1，所以P(50
<m<80)=2×(0.5-0.1)=0.8，则从该柠檬园中随机选取200个柠檬，则质量在50g~80g
的柠檬个数X~B(200,0.8)，所以柠檬个数的数学期望E(X)=200×0.8=160．
9．【答案】C
【命题意图】本小题设置探索创新情境，主要考查导数的应用，函数的性质、函数的零点等基
础知识，考查化归与转化、函数与方程、数形结合等数学思想，考查数学抽象、逻辑推理、数学运
算等数学核心素养。
【解析】
y
4
1
-2 O 3 x
2
(x+2)2 -x(x+2)
当x≤0时，f(x)= ，此时 f(x)= ，则x<-2时，f(x)<0，f(x)单调递
ex ex
减；-2<x<0时，f(x)>0，f(x)单调递增，则x=-2是 f(x)的极小值点，作出右图所示的函
数 f(x)的图象，函数y=[f(x)]2-a f(x)有5个不同的零点，则方程[f(x)]2-a f(x)=0即 f(x)
[f(x)-a]=0有5个不相等实数根，也即是 f(x)=0和 f(x)-a=0共有5个不相等实数根，其
中 f(x)=0有唯一实数根x=-2；只需 f(x)-a=0有4个且均不为-2的不相等实数根，由图
可知1<a<4．
10．【答案】B
【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查双曲线的定义、标准方程以及几何性质；
考查双曲线方程的求法以及直线与双曲线位置关系的应用，考查学生的计算能力；考查数形结
合、化归与转化等数学思想；考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。
【解析】
y
B
F O F x
1 2
A
如图，由于∣AF ∣=2∣FB∣，∣AB∣=∣BF ∣，且∣BF ∣-∣BF ∣=2a，∣AF ∣-∣AF ∣=2a，设
1 1 2 2 1 2 1
∣BF ∣=m，则∣AF ∣=2m，故∣BF ∣=3m，可得m=a，∣BF ∣=a，∣AF ∣=2a，故∣BF ∣=3a，∣
1 1 2 1 1 2
AF ∣= 4a，在 ∆BF F 与 ∆BAF 中分别对 ∠B 使用余弦定理可得到一个关于 a 的等式
2 1 2 2
a2+9a2-4 9a2+9a2-16a2 3 21
= ，解得a2= ，故a= ，又根据题意可知c=1，故离心率e=
2×a×3a 2×3a×3a 7 7
c 21
= ．
a 3
11．【答案】D
【命题意图】本小题设置探索创新情境，设计三角函数图象问题，主要考查正弦型函数的周
期，相位，对称中心，单调性，图象平移，特殊角的三角函数值等基础知识；考查运算求解能力，
推理论证能力，考查数形结合等数学思想；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养以及应用
意识。
理科数学第2页（共8页）【解析】因为函数 fx 
π
的周期为 π ，所以 ω=2 ，又图象对称中心为  ,0
6
 ，即
π
sin2× +φ
6

π π
=0，则 +φ=kπ，k∈Z，有 φ=kπ- ，k∈Z，由 0<φ<π，所以 k=1，φ=
3 3
2π
，故 fx
3

2π
=sin2x+
3
 ，此时 f0 
2π 3 π 2π
=sin = ，结论①正确；当 0<x< 时， <
3 2 3 3
2π 4π
2x+ < ，函数 fx
3 3

π
单调递减，结论②正确；将 y=cos2x的图象向左平移 个单位可得
12
π
图象对应的函数为 y=cos2x+
6

2π
，因为sin2x+
3

π π
=sin2x+ +
6 2

π
=cos2x+
6
 ，所
以结论③正确．
12．【答案】B
【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查圆与抛物线的综合应用，考查抛物线的定
义及其简单几何性质、圆的方程、圆的弦长公式、勾股定理在抛物线中的应用等基本知识；考查
数形结合、化归与转化等数学思想；考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。
【解析】
y
A M
F E D
O x
由已知，点M 6,y
0
 在抛物线上，则6=2py 即py =3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯①
0 0
p p
如图所示，过M作直线y= 的垂线，D为垂足，设圆M与直线y= 相交于点E．易知，
2 2
p   2 2 p
|DM|=y - ，由MA=2AF，可知 MA=2AF= MF= y +
0 2 3 3 0 2
 ．因为圆M被直线
p 3 3 p
y= 截得的弦长为 3MA ，所以|DE|= |MA|= y +
2 2 3 0 2
 ．由 MA= ME=r，在
1 p
Rt△MDE中， y +
3 0 2

2 p
+y -
0 2

2 4 p
= y +
9 0 2

2
⇒y =p．⋯⋯⋯⋯⋯⋯②
0
p 3
由①②解得：p= 3，抛物线C的准线方程为：y=- =- ，故答案为B．
2 2
13．【答案】9
【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计线性规划问题，主要考查约束条件表示的可行
域，目标函数在约束条件下的最值等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，方程思想；
考查数学运算、直观想象等数学核心素养以及应用意识。
【解析】约束条件表示的是以三点 A1，2

，B3，-1

，C4，1

为顶点的三角形及其内部，
1 z 1
目标函数可化为 y=- x+ ，平移直线y=- x可知，当直线经过点 A1，2
4 4 4
 时，在 y轴上
的截距最大，此时z=1+4×2=9．
14．【答案】-118
【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查二项式定理的应用等基础知识，考查化归
与转化等数学思想，考查数学运算等数学核心素养。
1 1
【解析】依题意，(x- )2(2x+1)5=(x2+ -2)(1+2x)5，则其展开式中，含x3的项为
x x2
1
x2⋅C1⋅(2x)+ ⋅C5⋅(2x)5-2C3⋅(2x)3=-118x3，所以含x3的项的系数为-118．
5 x2 5 5
3
15．【答案】
16
【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计解三角形问题，主要考查两角和差的余弦公
式，二倍角的正弦，诱导公式，正弦定理，三角形面积与三角形外接圆面积等基础知识；考查运
算求解能力，化归与转换思想；查数学运算、逻辑推理等数学核心素养。
理科数学第3页（共8页）【解析】依题意，16sinC cosA-B  + 8sin2C = 16sinCcosA-B  + 16sinCcosC =
16sinC cosA-B   -cosA+B)  = 32sinCsinAsinB，即 32sinCsinAsinB=3π，△ ABC 的面积
与△ ABC 外接圆的面积之比为
1
absinC
2 absinC 2sinAsinBsinC 3π 3
= = = = ．
πR2 1 a b π 16π 16
2π ⋅ ⋅
4 sinA sinB
16．【答案】52π
【命题意图】本小题设置课程学习请进，主要考查与球体相关几何体的运算，考查线面垂
直、线线垂直及其相互转化、三棱锥外接球球心的确定、三棱锥的体积公式、基本不等式等基本
知识；考查数形结合等数学思想；考查数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素
养。
【解析】因为 PC是三棱锥 P- ABC外接球的直径，所以 PA⊥ AC，PB⊥BC．又PA⊥
BC，AC∩BC=C，所以PA⊥平面ABC，所以BC⊥PA．又PB⊥BC，PA∩PB=P，所以BC
1
⊥面PAB，故BC⊥AB．因此，三棱锥P-ABC的体积为V= ⋅PA⋅S =AB⋅BC．又AB
3 △ABC
BC2+AB2 AC2 AC2
⋅BC≤ = （当且仅当AB=BC时等号成立），所以体积的最大值为 =8，
2 2 2
故AC=4．因为AC⊥PA，所以PC2=AC2+PA2=52，所以三棱锥P-ABC的外接球的表面
积S=4πr2=52π．
17．（12分）
【命题意图】本小题设置生活实践情境，主要考查统计案例、卡方分布、离散型随机变量分布列
等基础知识；考查统计与概率思想；考查数学运算、数学建模等数学核心素养。
【解析】
250(50×50-50×100)2
（1）依题意，K2= ≈6.94>6.635，3分
100×150×150×100
所以，有99%的把握认为客户对该产品评价结果与性别因素有关系．4分
（2）由题意知，选取的4人中，评价结果为“喜欢”和“不喜欢”的分别有2人．
所以ξ的所有可能取值为400，500，600，700，800．5分
1
则P(ξ=400)=
3

2 1
×
2

2 1
= ，6分
36
1 2 1 P(ξ=500)=C1× × ×
2 3 3 2
 2 1 +
3
 2 ×C1× 1
2 2
 2 6 1 = = ；7分
36 6
1 2 1 P(ξ=600)=C1× × ×C1
2 3 3 2 2
 2 2 +
3
 2 1 ×
2
 2 1 +
3
 2 1 ×
2
 2 13 = ， 8分
36
1 2 1 P(ξ=700)=C1× × ×
2 3 3 2
 2 2 +
3
 2 ×C1× 1
2 2
 2 12 1 = = ，9分
36 3
2
P(ξ=800)=
3

2 1
×
2

2 4 1
= = ．10分
36 9
则ξ的分布列为
ξ 400 500 600 700 800
1 6 1 13 12 1 4 1
P (或填 ) (或填 ) (或填 )
36 36 6 36 36 3 36 9
11分
所以，数学期望为
1 6 13 12 4 1900
E(ξ)=400× +500× +600× +700× +800× = ．
36 36 36 36 36 3
12分
18．（12分）
【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计递推数列问题，主要考查递推数列与等差数
列的通项公式，裂项相消求和，不等式证明等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化
归与转换思想；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养。
理科数学第4页（共8页）【解析】
（1）由a -a -a a =0知，若a =0，则a =0，若a =0，则a =0．
n n+1 n n+1 n+1 n n n+1
又a ≠0,所以∀n∈N*,a ≠0． 2分
1 n
1 1
由a -a -a a =0，可得 - -1=0．
n n+1 n n+1 a a
n+1 n
1
故{ }是首项为2，公差为1的等差数列，
a
n
1
所以 =2+(n-1)=n+1． 4分
a
n
1
故a = ． 5分
n n+1
1
（2）由b -b = 得b -b =n+1， ①
2n 2n-1 a 2n 2n-1
n
1
由b -b = =n+1得b -b =nn≥2
2n+1 2n a 2n-1 2n-2
n
 ． ②
①+②可得b -b =2n+1n≥2
2n 2n-2
 ．7分
1
当n=1时，b -b = =2，则b =3．
2 1 a 2
1
所以b -b =(b -b )+(b -b )+(b -b )+⋯+(b -b )=(2×2+1)+(2×3+1)+
2n 2 4 2 6 4 8 6 2n 2n-2
(2+n)(n-1)
(2×4+1)+⋯+(2n+1)=2×(2+3+4+⋯+n)+(n-1)=2× +(n-1)=
2
(n+3)(n-1)，
所以b =b +(n+3)(n-1)=n(n+2)n≥2
2n 2
 ，
当n=1时，b =3也满足上式．
2
所以b =n(n+2)．10分
2n
1 1 1 1 1
由上可知， = =  -
b n(n+2) 2 n n+2
2n
 ，n∈N*．
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以 + +⋯+ =  - + - + - +⋯+ -
b b b 2 1 3 2 4 3 5 n n+2
2 4 2n

1 1 1 1
= 1+ - -
2 2 n+1 n+2

3
< ，
4
1 1 1 3
即 + +⋯+ < ．12分
b b b 4
2 4 2n
19．（12分）
【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查立体几何中线面平行的性质定理、线面垂直
的判定定理、面面垂直的判定定理以及空间直角坐标系的运用计算线面角的三角函数值；考查
空间想象、化归转化等思想方法；考查数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素
养。
【解析】
（1）
连接C B，
1
因为DE⎳平面BCC B ，DE⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面BCC B =C B，
1 1 1 1 1 1 1
所以DE∥C B．2分
 1
因为AE=2EB，
 
所以AD=2DC ，
1
1
所以A C = AC．…………4分
1 1 2
1 1
因此A B = AB，B C = BC，
1 1 2 1 1 2
S
所以 △A 1 B 1 C 1 = 1 ．…………6分
S 4
△ABC
理科数学第5页（共8页）1
（2）由(1)可知，A C = AC，
1 1 2
所以AC=2 13．
依题意，AC2=AB2+BC2，
所以AB⊥BC，BB ⊥平面ABC． 7分
1   
因此，可以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所
1
示空间直角坐标系B-xyz．
则A6,0,0  ，C0,4,0  ，B 0,0,2
1
 ，A 3,0,2
1
 ，C 0,2,2
1
 ．

所以B A =3,0,0
1 1


，B C=0,4,-2
1


，CC =0,-2,2
1
 ．8分
设平面A B C的法向量为n=x,y,z
1 1
 ，

n⋅B A =3x=0，
由 11

n⋅B C=4y-2z=0，
1
取y=1，则x=0，z=2，所以n=0,1,2

．10分
设CC 与平面A B C所成角为θ，
1 11
n⋅CC 1
则 sinθ=

n 

CC
1

2 10
= = ．
5×2 2 10
10
即直线CC 与平面A B C所成角的正弦值为 ． 12分
1 1 1 10
20．（12分）
【命题意图】本小题设置探索创新情境，主要本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位
置关系等基础知识，考查学生的计算能力，韦达定理的灵活运用能力，考查学生数形结合、函数
与方程、化归转化等思想方法；考查数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养。
【解析】
（1）由已知，2c=4 2，
所以c=2 2．1分
b
而P(3, )在E上，
2
b2
9 4
所以 + =1．
a2 b2
于是，a2=12． 2分
则b2=a2-c2=4，
x2 y2
故椭圆E的方程为 + =1． 4分
12 4
x2 y2
（2）可知P(3,1)，将y=kx+m代入 + =1，得
12 4
1+3k2

x2+6kmx+3m2-12=0． 5分
由Δ=36k2m2-41+3k2

3m2-12

>0，
有m2-12k2-4<0．
设Mx ,y
1 1
 ，Nx ,y
2 2
 ，易知 x ≠x ．
1 2
6km 3m2-12
则 x +x =- ，x x = ． 7分
1 2 1+3k2 1 2 1+3k2
因为直线PM与直线PN关于直线l 对称，
1
则直线PM与PN存在斜率，且斜率互为相反数．9分
y -1 y -1
所以k +k = 1 + 2 =0，
PM PN x -3 x -3
1 2
即(y -1)(x -3)+(y -1)(x -3)=0，
1 2 2 1
即x y +x y -(x +x )-3(y +y )+6=0，
1 2 2 1 1 2 1 2
所以2kx x +(m-1-3k)(x +x )+6-6m=0，
1 2 1 2
理科数学第6页（共8页）3m2-12 6km
则2k⋅ +(m-1-3k)(- )+6-6m=0，
1+3k2 1+3k2
即3k2+(m-4)k-m+1=0，
所以，k=1或m=1-3k．11分
当m=1-3k时，MN的方程为y=k(x-3)+1，经过P点，与题意不符，故舍去．
故直线PM与直线PN能够关于直线l 对称，此时直线l 的斜率为k=1，同时应有m∈
1 2
-4，4  ． 12分
21．(12分)
【命题意图】本小题设置探索创新情境，主要考查导数几何意义、极值，函数与导数、不等式等
知识的综合应用，考查化归与转化、函数与方程、数形结合等数学思想，考查数学抽象、逻辑推
理、数学运算等数学核心素养。
【解析】
a
（1）由 f(x)=ex- x3-1，得 f(x)=ex-ax2，
3
1 x2
由 f(x)存在极值，则 f(x)=ex-ax2=0，知a≠0，则 = 有3个不相等实数根，
a ex
x2 2x-x2 -x(x-2)
令g(x)= ，则g(x)= = ，
ex ex ex
当x<0时，g(x)<0，g(x)单调递减；当0<x<2时，g(x)>0，g(x)单调递增；当x>2时，
g(x)<0，g(x)单调递减．
4
则g(x)在x=0时取极小值g(0)=0，g(x)在x=2处取得极大值g(2)= ，
e2
又x→-∞时，g(x)→+∞；x→+∞时，g(x)→0，又g(x)>0．
1 4 e2
所以，f(x)=0有3个不相等实数根时，0< < ，即a> ，
a e2 4
e2
所以，f(x)有3个极值点时，a的取值范围是 ,+∞
4
 ．4分
a
（2）由 f(x)≥ax2+x，得ex- x3-ax2-x-1≥0，
3
a
令h(x)=ex- x3-ax2-x-1，得h(x)=ex-ax2-2ax-1，知h(0)=0，h(0)=0，
3
令u(x)=h(x)=ex-ax2-2ax-1，则u(x)=ex-2ax-2a，
又令v(x)=u(x)=ex-2ax-2a，则v(x)=ex-2a，知v(0)=1-2a，v(0)=1-2a，
6分
1
当v(0)=1-2a≥0时，即a≤ 时，
2
由于v(x)=ex-2a单调递增，则v(x)≥v(0)≥0，
故当x≥0时，v(x)即u(x)单调递增，则u(x)≥u(0)=1-2a≥0，
所以，当x≥0时，u(x)即h(x)单调递增，则h(x)≥h(0)=0，
故当x≥0时，h(x)单调递增，则h(x)≥h(0)=0，
1
所以，当x≥0，h(x)≥0恒成立．则a≤ 时满足条件．9分
2
1
当v(0)=1-2a<0时，即a> 时，
2
由于v(x)=ex-2a单调递增，由于v(ln(1+2a))=eln(1+2a)-2a=1>0，
故∃t ∈(0，ln(1+2a))，使得v(t )=0，
0 0
当0<x<t 时，v(x)<0，则0<x<t 时，v(x)即u(x)单调递减，
0 0
故u(x)<u(0)=1-2a<0，
故当0<x<t 时，u(x)即h(x)单调递减，
0
所以h(x)<h(0)=0，此时h(x)单调递减，h(x)<h(0)=0,不满足条件．
1
综上所述，当x≥0，f(x)≥ax2+x恒成立时，a的取值范围是(-∞, ]． 12分
2
理科数学第7页（共8页）22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
【命题意图】本小题设置探索创新情境，主要考查椭圆的极坐标方程与直角方程的相互转化；
考查解析几何与代数运算求解、数据分析、逻辑推理等能力；考查数形结合、化归转化等思想方
法；考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。
【解析】
（1）由C 的极坐标方程为ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ-4=0，
2
可知，其直角方程为x2+4y2-4=0，
x2
即 +y2=1．2分
4
（2）易知点P(1, 3)在图形C 上，
1
x2
将其代入 +y2=1 ，得13t2+52t+36=0． 6分
4
36
设A，B，Q所对应参数分别为t ，t ，t ，则t +t =-4，t t = ．7分
1 2 0 1 2 1 2 13
|AP| |AQ|
由 = ，得|t |⋅|t -t |=|t |⋅|t -t |，
|BP| |BQ| 1 0 2 2 0 1
即|t t -t t |=|t t -t t |． 8分
0 1 1 2 0 2 1 2
所以t t -t t =t t -t t 或t t -t t =t t -t t ，
0 1 1 2 0 2 1 2 0 1 1 2 1 2 0 2
即t t =t t 或t (t +t )=2t t ．
0 1 0 2 0 1 2 1 2
2t t 18
易知t ≠t ，t ≠0，所以t = 1 2 =- ，9分
1 2 0 0 t +t 13
1 2
4 4 3
所以点Q的直角坐标为 ,
13 13
 ．10分
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
【考查意图】本小题设置探索创新情境情境，主要考查均值不等式、不等式证明方法等基础知
识；考查化归与转化等思想方法，考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养。
【解析】
-5x+2,x<0，

（1）依题意，f(x)=-3x+2,0≤x≤1，1分
x-2,x>1，
函数 f(x)与g(x)的图象无公共点，只需方程 f(x)=g(x)在x>1时无解．
所以x-2=-2x2+8x+m，即2x2-7x-2=m在x>1时无解，
所以m<(2x2-7x-2) ，x∈(1,+∞)，3分
min
7 65 65
因为2x2-7x-2=2(x- )2- ，当x∈(1,+∞)时，(2x2-7x-2) =- ，
4 8 min 8
65
所以，m<- ，
8
65
故函数 f(x)与g(x)的图象无公共点时，m的取值范围是(-∞,- )． 5分
8
（2）由（1）可知，函数 f(x)的最小值T=-1．6分
所以，只需证明不等式a2+b2-ab-a-b≥-1即a2+b2-ab-a-b+1≥0即可．
1
a2+b2-ab-a-b+1= (2a2+2b2-2ab-2a-2b+2)
2
1
= [(a2+b2-2ab)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1)]
2
1
= [(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2]
2
≥0，
当且仅当a=b=1时等号成立．
所以a2+b2-ab-a-b≥T．10分
理科数学第8页（共8页）