全国甲卷四川省大数据精准教学联盟2021级(2024届)高三年级第二次统一监测(大数据二统)(5.17-5.18)理科数学试题答案_2024年5月_01按日期_20号

四川省大数据精准教学联盟2021级高三第二次统一监测 理科数学参考答案与详细解析 1．【答案】D 【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计集合运算与元素属性问题，主要考查集合 的交集、并集、补集运算，集合元素与集合的从属关系等基础知识；考查数学抽象、逻辑推理等 数学核心素养。 【解析】由U=-2,-1,0,1,2  ，A∩B=-1,1  ，A∪B=-2,-1,1,2  知，-1∈A，-1∈B；2 不同时在集合 A，B中，-2必在集合 A，B之一中，集合 A，B中都不含0，选项D正确． 2．【答案】A 【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计复数运算问题，主要考查复数的概念，复数 的加减运算，两个复数相等的条件等基础知识；考查方程思想，应用意识；考查数学抽象、数学 运算等数学核心素养。  【解析】令复数 z=a+bi，a∈R，b∈R，则 z-2z=a+bi-2a-bi  =-a+3bi=2-3i，根据 -a=2， a=-2，   两个复数相等的条件有  解得  所以z=-2-i． 3b=-3， b=-1， 3．【答案】B 【命题意图】本小题设置生活实践情境，主要考查统计图的识别、统计量的意义等基础知识， 考查直观想象、数学建模等数学核心素养。 【解析】根据图表可知，甲、乙命中环数的众数均为7环，故Z =Z ；甲运动员命中的环数比 甲 乙 较分散，乙运动员命中的环数比较集中，故s2 >s2 ． 甲 乙 4．【答案】C 【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计简易逻辑问题，主要考查等比中项的概念、 命题的判断等基础知识；考查数学抽象、逻辑推理等数学核心素养。 【解析】当 b2=ac 时，若 a = b = 0，b 不是 a，c 的等比中项；当 b为a，c的等比中项 时， b2=ac．所以“b2=ac”是“b为a，c的等比中项”的必要不充分条件． 5．【答案】B 【命题意图】本题考查三视图、立体图形的体积求法等基本知识；考查运算、依据三视图画出 立体图形的能力． 【解析】根据三视图可以观察出该几何体为一个平放的半圆锥体，其中圆锥的高为4，底面 1 1 8π 半径为2，根据圆锥的体积公式可以计算出该立体图形的体积为V= × ×4π×4= ． 2 3 3 6．【答案】A 【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计平面向量的几何 运算问题，主要考查三角形法则，平面向量加减的几何意义等基础知识；考查数形结合等数学 思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。     1 1 1 【解析】由题意有BE= BD= × BA+BC 3 3 2     1 = -AB+AC-AB 6    1 1 =- AB+ AC， 3 6         1 1 2 1 所以AE=AB+BE=AB- AB+ AC= AB+ AC． 3 6 3 6 7．【答案】D 【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计三角恒等变换问题，主要考查二倍角的余弦，二 倍角的正弦，两角和的余弦，特殊角的三角函数等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能 力，化归与转化等数学思想；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养。 【解析】由cos2β=4sin2α，cos22β=16sin4α；由sin2β-2sin2α=0，sin22β=16sin2αcos2α．两 式相加，得1=cos22β+sin22β=16sin2αsin2α+cos2α  1 ，所以sinα= ，从而 cos2β =4sin2α= 4 1 π 1 π π ，即sin( -2β)= ．由0<β< 有0<2β<π，又cos2β=4sin2α>0，所以0<2β< ， 4 2 4 2 2 π π 因为0<α< ，所以，α= -2β． 2 2 理科数学第1页（共8页）8．【答案】C 【命题意图】本小题设置生活实践情境，主要考查正态分布、二项分布、数学期望等基础知 识，考查概率与统计思想，考查数学运算、数学建模等数学核心素养。 【解析】柠檬单果的质量m(单位：g)服从正态分布N(65,σ2)，且P(m<50)=0.1，所以P(50 0，f(x)单调递增，则x=-2是 f(x)的极小值点，作出右图所示的函 数 f(x)的图象，函数y=[f(x)]2-a f(x)有5个不同的零点，则方程[f(x)]2-a f(x)=0即 f(x) [f(x)-a]=0有5个不相等实数根，也即是 f(x)=0和 f(x)-a=0共有5个不相等实数根，其 中 f(x)=0有唯一实数根x=-2；只需 f(x)-a=0有4个且均不为-2的不相等实数根，由图 可知16.635，3分 100×150×150×100 所以，有99%的把握认为客户对该产品评价结果与性别因素有关系．4分 （2）由题意知，选取的4人中，评价结果为“喜欢”和“不喜欢”的分别有2人． 所以ξ的所有可能取值为400，500，600，700，800．5分 1 则P(ξ=400)= 3  2 1 × 2  2 1 = ，6分 36 1 2 1 P(ξ=500)=C1× × × 2 3 3 2  2 1 + 3  2 ×C1× 1 2 2  2 6 1 = = ；7分 36 6 1 2 1 P(ξ=600)=C1× × ×C1 2 3 3 2 2  2 2 + 3  2 1 × 2  2 1 + 3  2 1 × 2  2 13 = ， 8分 36 1 2 1 P(ξ=700)=C1× × × 2 3 3 2  2 2 + 3  2 ×C1× 1 2 2  2 12 1 = = ，9分 36 3 2 P(ξ=800)= 3  2 1 × 2  2 4 1 = = ．10分 36 9 则ξ的分布列为 ξ 400 500 600 700 800 1 6 1 13 12 1 4 1 P (或填 ) (或填 ) (或填 ) 36 36 6 36 36 3 36 9 11分 所以，数学期望为 1 6 13 12 4 1900 E(ξ)=400× +500× +600× +700× +800× = ． 36 36 36 36 36 3 12分 18．（12分） 【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计递推数列问题，主要考查递推数列与等差数 列的通项公式，裂项相消求和，不等式证明等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化 归与转换思想；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养。 理科数学第4页（共8页）【解析】 （1）由a -a -a a =0知，若a =0，则a =0，若a =0，则a =0． n n+1 n n+1 n+1 n n n+1 又a ≠0,所以∀n∈N*,a ≠0． 2分 1 n 1 1 由a -a -a a =0，可得 - -1=0． n n+1 n n+1 a a n+1 n 1 故{ }是首项为2，公差为1的等差数列， a n 1 所以 =2+(n-1)=n+1． 4分 a n 1 故a = ． 5分 n n+1 1 （2）由b -b = 得b -b =n+1， ① 2n 2n-1 a 2n 2n-1 n 1 由b -b = =n+1得b -b =nn≥2 2n+1 2n a 2n-1 2n-2 n  ． ② ①+②可得b -b =2n+1n≥2 2n 2n-2  ．7分 1 当n=1时，b -b = =2，则b =3． 2 1 a 2 1 所以b -b =(b -b )+(b -b )+(b -b )+⋯+(b -b )=(2×2+1)+(2×3+1)+ 2n 2 4 2 6 4 8 6 2n 2n-2 (2+n)(n-1) (2×4+1)+⋯+(2n+1)=2×(2+3+4+⋯+n)+(n-1)=2× +(n-1)= 2 (n+3)(n-1)， 所以b =b +(n+3)(n-1)=n(n+2)n≥2 2n 2  ， 当n=1时，b =3也满足上式． 2 所以b =n(n+2)．10分 2n 1 1 1 1 1 由上可知， = =  - b n(n+2) 2 n n+2 2n  ，n∈N*． 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 所以 + +⋯+ =  - + - + - +⋯+ - b b b 2 1 3 2 4 3 5 n n+2 2 4 2n  1 1 1 1 = 1+ - - 2 2 n+1 n+2  3 < ， 4 1 1 1 3 即 + +⋯+ < ．12分 b b b 4 2 4 2n 19．（12分） 【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查立体几何中线面平行的性质定理、线面垂直 的判定定理、面面垂直的判定定理以及空间直角坐标系的运用计算线面角的三角函数值；考查 空间想象、化归转化等思想方法；考查数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素 养。 【解析】 （1） 连接C B， 1 因为DE⎳平面BCC B ，DE⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面BCC B =C B， 1 1 1 1 1 1 1 所以DE∥C B．2分  1 因为AE=2EB，   所以AD=2DC ， 1 1 所以A C = AC．…………4分 1 1 2 1 1 因此A B = AB，B C = BC， 1 1 2 1 1 2 S 所以 △A 1 B 1 C 1 = 1 ．…………6分 S 4 △ABC 理科数学第5页（共8页）1 （2）由(1)可知，A C = AC， 1 1 2 所以AC=2 13． 依题意，AC2=AB2+BC2， 所以AB⊥BC，BB ⊥平面ABC． 7分 1    因此，可以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所 1 示空间直角坐标系B-xyz． 则A6,0,0  ，C0,4,0  ，B 0,0,2 1  ，A 3,0,2 1  ，C 0,2,2 1  ．  所以B A =3,0,0 1 1   ，B C=0,4,-2 1   ，CC =0,-2,2 1  ．8分 设平面A B C的法向量为n=x,y,z 1 1  ，  n⋅B A =3x=0， 由 11  n⋅B C=4y-2z=0， 1 取y=1，则x=0，z=2，所以n=0,1,2  ．10分 设CC 与平面A B C所成角为θ， 1 11 n⋅CC 1 则 sinθ=  n   CC 1  2 10 = = ． 5×2 2 10 10 即直线CC 与平面A B C所成角的正弦值为 ． 12分 1 1 1 10 20．（12分） 【命题意图】本小题设置探索创新情境，主要本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位 置关系等基础知识，考查学生的计算能力，韦达定理的灵活运用能力，考查学生数形结合、函数 与方程、化归转化等思想方法；考查数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养。 【解析】 （1）由已知，2c=4 2， 所以c=2 2．1分 b 而P(3, )在E上， 2 b2 9 4 所以 + =1． a2 b2 于是，a2=12． 2分 则b2=a2-c2=4， x2 y2 故椭圆E的方程为 + =1． 4分 12 4 x2 y2 （2）可知P(3,1)，将y=kx+m代入 + =1，得 12 4 1+3k2  x2+6kmx+3m2-12=0． 5分 由Δ=36k2m2-41+3k2  3m2-12  >0， 有m2-12k2-4<0． 设Mx ,y 1 1  ，Nx ,y 2 2  ，易知 x ≠x ． 1 2 6km 3m2-12 则 x +x =- ，x x = ． 7分 1 2 1+3k2 1 2 1+3k2 因为直线PM与直线PN关于直线l 对称， 1 则直线PM与PN存在斜率，且斜率互为相反数．9分 y -1 y -1 所以k +k = 1 + 2 =0， PM PN x -3 x -3 1 2 即(y -1)(x -3)+(y -1)(x -3)=0， 1 2 2 1 即x y +x y -(x +x )-3(y +y )+6=0， 1 2 2 1 1 2 1 2 所以2kx x +(m-1-3k)(x +x )+6-6m=0， 1 2 1 2 理科数学第6页（共8页）3m2-12 6km 则2k⋅ +(m-1-3k)(- )+6-6m=0， 1+3k2 1+3k2 即3k2+(m-4)k-m+1=0， 所以，k=1或m=1-3k．11分 当m=1-3k时，MN的方程为y=k(x-3)+1，经过P点，与题意不符，故舍去． 故直线PM与直线PN能够关于直线l 对称，此时直线l 的斜率为k=1，同时应有m∈ 1 2 -4，4  ． 12分 21．(12分) 【命题意图】本小题设置探索创新情境，主要考查导数几何意义、极值，函数与导数、不等式等 知识的综合应用，考查化归与转化、函数与方程、数形结合等数学思想，考查数学抽象、逻辑推 理、数学运算等数学核心素养。 【解析】 a （1）由 f(x)=ex- x3-1，得 f(x)=ex-ax2， 3 1 x2 由 f(x)存在极值，则 f(x)=ex-ax2=0，知a≠0，则 = 有3个不相等实数根， a ex x2 2x-x2 -x(x-2) 令g(x)= ，则g(x)= = ， ex ex ex 当x<0时，g(x)<0，g(x)单调递减；当00，g(x)单调递增；当x>2时， g(x)<0，g(x)单调递减． 4 则g(x)在x=0时取极小值g(0)=0，g(x)在x=2处取得极大值g(2)= ， e2 又x→-∞时，g(x)→+∞；x→+∞时，g(x)→0，又g(x)>0． 1 4 e2 所以，f(x)=0有3个不相等实数根时，0< < ，即a> ， a e2 4 e2 所以，f(x)有3个极值点时，a的取值范围是 ,+∞ 4  ．4分 a （2）由 f(x)≥ax2+x，得ex- x3-ax2-x-1≥0， 3 a 令h(x)=ex- x3-ax2-x-1，得h(x)=ex-ax2-2ax-1，知h(0)=0，h(0)=0， 3 令u(x)=h(x)=ex-ax2-2ax-1，则u(x)=ex-2ax-2a， 又令v(x)=u(x)=ex-2ax-2a，则v(x)=ex-2a，知v(0)=1-2a，v(0)=1-2a， 6分 1 当v(0)=1-2a≥0时，即a≤ 时， 2 由于v(x)=ex-2a单调递增，则v(x)≥v(0)≥0， 故当x≥0时，v(x)即u(x)单调递增，则u(x)≥u(0)=1-2a≥0， 所以，当x≥0时，u(x)即h(x)单调递增，则h(x)≥h(0)=0， 故当x≥0时，h(x)单调递增，则h(x)≥h(0)=0， 1 所以，当x≥0，h(x)≥0恒成立．则a≤ 时满足条件．9分 2 1 当v(0)=1-2a<0时，即a> 时， 2 由于v(x)=ex-2a单调递增，由于v(ln(1+2a))=eln(1+2a)-2a=1>0， 故∃t ∈(0，ln(1+2a))，使得v(t )=0， 0 0 当01， 函数 f(x)与g(x)的图象无公共点，只需方程 f(x)=g(x)在x>1时无解． 所以x-2=-2x2+8x+m，即2x2-7x-2=m在x>1时无解， 所以m<(2x2-7x-2) ，x∈(1,+∞)，3分 min 7 65 65 因为2x2-7x-2=2(x- )2- ，当x∈(1,+∞)时，(2x2-7x-2) =- ， 4 8 min 8 65 所以，m<- ， 8 65 故函数 f(x)与g(x)的图象无公共点时，m的取值范围是(-∞,- )． 5分 8 （2）由（1）可知，函数 f(x)的最小值T=-1．6分 所以，只需证明不等式a2+b2-ab-a-b≥-1即a2+b2-ab-a-b+1≥0即可． 1 a2+b2-ab-a-b+1= (2a2+2b2-2ab-2a-2b+2) 2 1 = [(a2+b2-2ab)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1)] 2 1 = [(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2] 2 ≥0， 当且仅当a=b=1时等号成立． 所以a2+b2-ab-a-b≥T．10分 理科数学第8页（共8页）