内蒙古呼和浩特市2024届高三下学期二模考试数学（理）含答案(1)_2024年4月_024月合集_2024届内蒙古呼和浩特市高三下学期二模考试

2024 年呼和浩特市高三年级第二次质量数据监测 理科数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前考生务必将自己的姓名、 考生号、座位号涂写在答题卡上．本试卷满分 150分，考试时间 120分钟． 2．回答第Ⅰ卷时选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．答题Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4，考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 2．已知复数z满足z  1i 2i，则 z （ ） 10 5 A． 2 B． C． D． 5 2 2 2．已知集合A  3a,2a  ，集合B  a,1 ，且AB  1 ，则a （ ） A．0或1 B．1 C．0或1 D．0 3．已知中心在坐标原点，焦点在 y轴上的双曲线离心率为 5，则其渐近线方程为（ ） 1 A．y x B． y2x C． y  5x D．y  x 2 4．已知南方某个地区的居民身高X 大致服从正态分布N  158,2 ，单位cm．若身高在 150,166 的概率 为0.6，则从该地区任选一人，其身高高于166的概率为（ ） A．0.1 B．0.2 C．0.35 D．0.15 5．函数 f  x 的部分图象大致如图所示，则 f  x 的解析式可能为（ ） sinx A． f  x  B． f  x ex ex sinx ex ex ex ex C． f  x  D． f  x ex ex sinx sinx  1 2sin2sin2 6．已知tan    ，则 （ ）  4 2 1sin2 1 1 1 A． B．0 C． D． 2 2 3           7．已知向量a,b 满足 a 2,b  1,2 2 ，且ab 3，则向量a,b 的夹角为（ ） 2  5  A． B． C． D． 3 3 6 6 8．1024的所有正因数之和为（ ） A．1023 B．1024 C．2047 D．2048   9．如图所示的曲线为函数 f  x  Acos x A0,0,  的部分图象，将 y  f  x 图象上  2 3  所有点的横坐标伸长到原来的 倍，再将所得曲线向左平移 个单位长度．得到函数 y  g  x 的图象，则 2 8 g  x 的解析式为（ ） 9x    A．g  x 2cos   B．g  x 2cos2x   2 8  8 C．g  x 2sin2x D．g  x 2cos2x 10．设a log 15,blog 20,clog 2024，则a、b、c的大小关系为（ ） 6 8 2012 A．abc B．acb C．bac D．cba 1 5 c2 1 11．在△ABC 中，角A、B、C 的对边分别为a、b、c，若   ，则tanA 的最小值 b2 4a2 a2b2 tanC 为（ ） 1 2 2 1 A． B． C． D． 3 3 9 9 exe 12．若 elnax在x 0,上恒成立，则a的最大值为（ ） ae2e 1 e 1 1 e A． B．2e2 C．e1e D．e e 2 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第 22 题-第23题为选考题，考生根据需求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题 5分，共 20分．   1x2,1 x0  13．设 f  x  ，则 f  x  dx ______． cosx,x 0 1 14．若 2xm  (x1)5的展开式中x2的系数为40，则实数m______． 15．在平面直角坐标系 xOy 内，若直线 l:x ym0 绕原点 O 逆时针旋转 90 后与圆 C:(x1)2 (y2)2 1有公共点，则实数m的取值范围是______． 16．《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如下图，羡 除 ABCDEF 中，底面 ABCD是正方形， EF∥平面 ABCD,△ADE 和△BCF 均为等边三角形，且 EF 2AB12，则该几何体外接球的体积为______． 三、解答题：共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （一）必考题：共 60分． 17．已知数列 a 是首项为1的等差数列， b 是公比为3的等比数列，且a b a b b a ． n n 2 2 3 3 4 4 （1）求 a 和 b 的通项公式； n n 1 （2）记S 为数列 a 的前n项和，c b  ，求 c 的前n项和T ． n n n n n n S S n n1 18．对于函 数 f  x  ，若实 数 x 满足 f  x  x ，则 x 称为 f  x  的不动 点．已知函 数 0 0 0 0 f  x ex 2xaex x0 ． （1）当a 1时，求证： f  x 0； （2）当a 0时，求函数 f  x 的不动点的个数． 19．如图，在三棱柱ABCABC 中，AB AC  5,BC 2，侧面BBCC 是正方形，D为BC的中 1 1 1 1 12 点，二面角ABCB 的大小是 ． 1 3 （1）求证：平面AAD 平面ABC； 1 3 3 （2）线段BC上是否存在一个点E，使直线C E 与平面ACC A 所成角的正弦值为 ．若存在，求出BE 1 1 1 10 的长；若不存在，请说明理由． 20．某游戏公司设计了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表： 关卡x 1 2 3 4 5 6 平均过关时间 y（单位：秒） 50 78 124 121 137 352 6 6 计算得到一些统计量的值为： 28.5,x 106.05，其中 lny ． i i i i i i1 i1 （1）若用模型 y aebx拟合 y与x的关系，根据提供的数据，求出 y与x的回归方程； （2）制定游戏规则如下：玩家在每关的平均过关时间内通过，可获得3分并进入下一关，否则获得-1分且 3 该轮游戏结束．甲通过练习，前3关都能在平均时间内过关，后面3关能在平均时间内通过的概率均为 ， 4 若甲玩一轮此款益脑游戏，求“甲获得的积分X”的分布列和数学期望． 参考公式：对于一组数据 x ,y  i 1,2,3,,n ，其回归直线 y b  xa 的斜率和截距的最小二乘法估计 i i n x y nxy i i 分别为b ˆ i1 ,aˆ y b ˆ x ． n x2 nx2 i i1 x2 21．已知 A、B分别是椭圆C:  y2 1的左、右顶点，过点P  0,2 且斜率为k 的直线l交椭圆C于 4 M、N 两个不同的点(M、N 与A、B不重合)． （1）求椭圆C的焦距和离心率； （2）若点B在以线段MN 为直径的圆上，求k的值；     （3）若k 0，设O为坐标原点，直线AM、AN 分别交y轴于点S、T ，当PS OP且PT OP时，求的取值范围． （二）选考题：共 10 分，请考生在第 22，23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一 题计分． 22．在平面直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线  2 x2 t C:sin2acos(a 0) ，过点P 2,4 的直线l的参数方程为：   2 （t为参数），直线l与  2 y  t   2 曲线C分别交于M、N 两点． （1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； （2）若 PM 、MN 、PN 成等比数列，求a的值． 23．已知函数 f  x  x2  mx1 ． （1）若m2，求不等式 f  x 6的解集； （2）若关于x的不等式 f  x 31x 在 3,4 上恒成立，求实数m的取值范围．高三二模理数 参考答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C D B A C A C D D B C 二、填空题  13． 14．3 15． 21 m 21 16．288π 4 三、解答题 17．（1）a 1,q 3,a b a b b a 1 2 2 3 3 4 4  1d 3b   12d 9b 27b   13d  1 1 1 1 解得d 2,b  1 3 a 2n1,b 3n2 n n n  a a  1 1 1 （2）S  1 n n2   n 2 n  n1  n n1 1 1 1 1  c 3n2 3n2 3n2    n S S n  n1  n n1 n n1 1 13n 3  1 1 1 1 1  T   1          n 13  2 2 3  n n1 3n 1 1 3n 5 1  1    6 n1 6 6 n1 18．（1）当a 1时， f  x ex 2xex  x0  1 1  f x ex  2 2 ex 20（当且仅当x 0，即ex 1时取等号）． ex ex  f  x 在 0,上单调递增  f  x  f (x)  f  0  0 min （2）当a 0时， f  x ex 2x 由题知 f  x ex 2x  x ，即ex 3x 0 设g  x ex 3x ，则g x ex 3x  0,ln3  ln3  ln3, g x  - 0 + g  x   33ln3  g  0 10，g  ln3 33ln30 g  x 在 0,ln3 上有唯一零点x 1 又g  5 e5152515170 g  x 在 ln3,有唯一零点x 2 综上所述， f  x 有两个不动点x、x 1 2 19．（1）AB AC,D为BC的中点，BC  AD 又BC  BB ,AA∥BB 1 1 1 BC  AA 1 又ADAA  A  BC 平面AAD 1 1 又BC 平面ABC 平面AAD 平面ABC 1 （2）存在点E，证明如下． 以D为原点，DA为x轴，DB为 y轴，过点D且与平面ABC垂直的射线为z轴，建立如图所示的空间直 角坐标系，     则D  0,0,0  ,A  2,0,0  ,A 1,0, 3 ,C  0,1,0  ,C 1,1, 3 1 1  设E  0,t,0 1t 1 ，平面ACC A 的法向量为n， 1 1        则C E  1,t1, 3 ,AA  1,0, 3 ,CA  2,1,0  1 1       n  AA,n CA,n  3,2 3,1 1 1 5 解得t  或t  （舍） 2 2 1 DE  ，即点E存在，且为BD的中点 2 20．（1）y aebxlny lnabx，即u lnabx 6 xu 6xu 106.052128.5 1 i i b ˆ i1  6  0.36 6 2 x i 2 6x2 916   7  i1 2 1 21 a  u0.36x 28.5 0.36 3.49lna 6 6 u 3.490.36x，即 y e3.490.36x （2）X 可取8，11，14，18 1 3 1 3 P  X 8  ，P  X 11    4 4 4 16 3 3 1 9 3 3 3 27 P  X 14     ，P  X 18     4 4 4 64 4 4 4 64 故“甲获得的积分X ”的分布列为： X 8 11 14 18 1 3 9 27 P 4 16 64 64 1 3 9 27 109 故“甲获得的积分X ”的期望为：E  X 8 11 14 18  4 16 64 64 8 3 21．（1）a2 4,b2 1c2 3焦距2c2 3，离心率e 2 （2）令l :y kx2且M  x ,y  ,N  x ,y  ,B  2,0  MN 1 1 2 2 y kx2  联立x2 得：  14k2 x2 16kx120   y2 1  4 16k 12 3 由韦达定理得：x x  ,x x  ,Δ 0k  1 2 14k2 1 2 14k2 2   由题知BM BN 0  x 2,y  x 2,y 0 1 1 2 2  x 2  x 2  y y 0 1 2 1 2  x 2  x 2  kx 2  kx 2 0 1 2 1 2  1k2 x x 2  x  x  1k 80 1 2 1 2   1k2 12 2 16k  1k 80 14k2 14k2 3k2 8k50 5  k  ,k 1 1 3 2 5 又当k 1时，l 过右顶点B，故舍去，所以k  MN 3 16k 12 3 （3）由（2）可知：x x  ,x x  ,Δ 0k  1 2 14k2 1 2 14k2 2   s2 PS OP 0,s2  0,2    2  st 4   （*）   t2 2  PT OP 0,t2  0,2   2  s y 2y 2  kx 2  k k   1 s  1  1  AS AM 2 x 2 x 2 x 2 kx x (k 1)  x x 4 1  1 1 1  st  4 1 2 1 2   t y 2y 2  kx 2  x x 2  x x 4 k 1 k k   2 t  2  2 1 2 1 2   AT AN 2 x 2 x 2 x 2 2 2 2 1 1  代入（*）得：  4 2k1  3   k   2, 3 2 22．（1）C：sin2acos2sin2acos y2 ax l: y  x2  2 x2t  2 （2）直线l的标准参数方程为： （t为参数）  2 x4t   2 代入曲线C的直线坐标方程得：t2  2  8a  t 324a 0 由韦达定理得：t t  2  8a  0,t t   324a  0 1 2 1 2  PM 、MN 、PN 成等比数列 t t 2  t t ，即 t t 2 4t t t t ，解得：a 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 223．（1） f  x  x2  2x1 6 1 1 ①当x 时，33x6 x1,1 x 2 2 1 1 ②当  x2时，x16 x5,  x2 2 2 ③当x2时，3x36 x3,2 x3 综上所述：x1,3  （2）由题知 x2  mx1 31x ，即 x2  mx1 3  x1 在 3,4 上恒成立 2  mx1 2x1，即12xmx12x1，即 2 m2在 3,4 上恒成立． x 4   m 2 3