内蒙古呼和浩特市2024届高三下学期二模考试数学（理）含答案(1)_2024年4月_024月合集_2024届内蒙古呼和浩特市高三下学期二模考试

2024 年呼和浩特市高三年级第二次质量数据监测
理科数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前考生务必将自己的姓名、
考生号、座位号涂写在答题卡上．本试卷满分 150分，考试时间 120分钟．
2．回答第Ⅰ卷时选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．答题Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4，考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
2．已知复数z满足z  1i 2i，则 z （ ）
10 5
A． 2 B． C． D． 5
2 2
2．已知集合A  3a,2a  ，集合B  a,1 ，且AB  1 ，则a （ ）
A．0或1 B．1 C．0或1 D．0
3．已知中心在坐标原点，焦点在 y轴上的双曲线离心率为 5，则其渐近线方程为（ ）
1
A．y x B． y2x C． y  5x D．y  x
2
4．已知南方某个地区的居民身高X 大致服从正态分布N  158,2 ，单位cm．若身高在 150,166 的概率
为0.6，则从该地区任选一人，其身高高于166的概率为（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.35 D．0.15
5．函数 f  x 的部分图象大致如图所示，则 f  x 的解析式可能为（ ）
sinx
A． f  x  B． f  x ex ex sinx
ex ex
ex ex
C． f  x  D． f  x ex ex sinx
sinx  1 2sin2sin2
6．已知tan    ，则 （ ）
 4 2 1sin2
1 1 1
A． B．0 C． D．
2 2 3
         
7．已知向量a,b 满足 a 2,b  1,2 2 ，且ab 3，则向量a,b 的夹角为（ ）
2  5 
A． B． C． D．
3 3 6 6
8．1024的所有正因数之和为（ ）
A．1023 B．1024 C．2047 D．2048
 
9．如图所示的曲线为函数 f  x  Acos x A0,0,  的部分图象，将 y  f  x 图象上
 2
3 
所有点的横坐标伸长到原来的 倍，再将所得曲线向左平移 个单位长度．得到函数 y  g  x 的图象，则
2 8
g  x 的解析式为（ ）
9x   
A．g  x 2cos   B．g  x 2cos2x 
 2 8  8
C．g  x 2sin2x D．g  x 2cos2x
10．设a log 15,blog 20,clog 2024，则a、b、c的大小关系为（ ）
6 8 2012
A．abc B．acb C．bac D．cba
1 5 c2 1
11．在△ABC 中，角A、B、C 的对边分别为a、b、c，若   ，则tanA 的最小值
b2 4a2 a2b2 tanC
为（ ）
1 2 2 1
A． B． C． D．
3 3 9 9
exe
12．若 elnax在x 0,上恒成立，则a的最大值为（ ）
ae2e 1
e 1
1
e
A． B．2e2 C．e1e D．e e
2
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第 13题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第 22
题-第23题为选考题，考生根据需求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题 5分，共 20分．
  1x2,1 x0 
13．设 f  x  ，则 f  x  dx ______．
cosx,x 0 1
14．若 2xm  (x1)5的展开式中x2的系数为40，则实数m______．
15．在平面直角坐标系 xOy 内，若直线 l:x ym0 绕原点 O 逆时针旋转 90 后与圆
C:(x1)2 (y2)2 1有公共点，则实数m的取值范围是______．
16．《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如下图，羡
除 ABCDEF 中，底面 ABCD是正方形， EF∥平面 ABCD,△ADE 和△BCF 均为等边三角形，且
EF 2AB12，则该几何体外接球的体积为______．
三、解答题：共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（一）必考题：共 60分．
17．已知数列 a 是首项为1的等差数列， b 是公比为3的等比数列，且a b a b b a ．
n n 2 2 3 3 4 4
（1）求
a
和
b
的通项公式；
n n
1
（2）记S 为数列 a 的前n项和，c b  ，求 c 的前n项和T ．
n n n n n n
S S
n n1
18．对于函 数 f  x  ，若实 数 x 满足 f  x  x ，则 x 称为 f  x  的不动 点．已知函 数
0 0 0 0
f  x ex 2xaex x0 ．
（1）当a 1时，求证： f  x 0；
（2）当a 0时，求函数 f  x 的不动点的个数．
19．如图，在三棱柱ABCABC 中，AB AC  5,BC 2，侧面BBCC 是正方形，D为BC的中
1 1 1 1 12
点，二面角ABCB 的大小是 ．
1 3
（1）求证：平面AAD 平面ABC；
1
3 3
（2）线段BC上是否存在一个点E，使直线C E 与平面ACC A 所成角的正弦值为 ．若存在，求出BE
1 1 1 10
的长；若不存在，请说明理由．
20．某游戏公司设计了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表：
关卡x 1 2 3 4 5 6
平均过关时间 y（单位：秒） 50 78 124 121 137 352
6 6
计算得到一些统计量的值为： 28.5,x 106.05，其中 lny ．
i i i i i
i1 i1
（1）若用模型 y aebx拟合 y与x的关系，根据提供的数据，求出 y与x的回归方程；
（2）制定游戏规则如下：玩家在每关的平均过关时间内通过，可获得3分并进入下一关，否则获得-1分且
3
该轮游戏结束．甲通过练习，前3关都能在平均时间内过关，后面3关能在平均时间内通过的概率均为 ，
4
若甲玩一轮此款益脑游戏，求“甲获得的积分X”的分布列和数学期望．
参考公式：对于一组数据 x ,y  i 1,2,3,,n ，其回归直线 y b  xa 的斜率和截距的最小二乘法估计
i i
n
x y nxy
i i
分别为b ˆ i1 ,aˆ y b ˆ x ．
n
x2 nx2
i
i1
x2
21．已知 A、B分别是椭圆C:  y2 1的左、右顶点，过点P  0,2 且斜率为k 的直线l交椭圆C于
4
M、N 两个不同的点(M、N 与A、B不重合)．
（1）求椭圆C的焦距和离心率；
（2）若点B在以线段MN 为直径的圆上，求k的值；
   
（3）若k 0，设O为坐标原点，直线AM、AN 分别交y轴于点S、T ，当PS OP且PT OP时，求的取值范围．
（二）选考题：共 10 分，请考生在第 22，23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一
题计分．
22．在平面直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线
 2
x2 t
C:sin2acos(a 0) ，过点P 2,4 的直线l的参数方程为：   2 （t为参数），直线l与
 2
y  t

 2
曲线C分别交于M、N 两点．
（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）若 PM 、MN 、PN 成等比数列，求a的值．
23．已知函数 f  x  x2  mx1 ．
（1）若m2，求不等式 f  x 6的解集；
（2）若关于x的不等式 f  x 31x 在 3,4 上恒成立，求实数m的取值范围．高三二模理数 参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B C D B A C A C D D B C
二、填空题

13． 14．3 15． 21 m 21 16．288π
4
三、解答题
17．（1）a 1,q 3,a b a b b a
1 2 2 3 3 4 4
 1d 3b   12d 9b 27b   13d 
1 1 1
1
解得d 2,b 
1 3
a 2n1,b 3n2
n n
n  a a  1 1 1
（2）S  1 n n2  
n 2 n  n1  n n1
1 1 1 1 
c 3n2 3n2 3n2



n S S n  n1  n n1
n n1
1 13n
3  1 1 1 1 1 
T   1         
n 13  2 2 3  n n1
3n 1 1 3n 5 1
 1   
6 n1 6 6 n1
18．（1）当a 1时， f  x ex 2xex  x0 
1 1
 f x ex  2 2 ex 20（当且仅当x 0，即ex 1时取等号）．
ex ex
 f  x 在 0,上单调递增
 f  x  f (x)  f  0  0
min
（2）当a 0时， f  x ex 2x
由题知 f  x ex 2x  x ，即ex 3x 0
设g  x ex 3x ，则g x ex 3x  0,ln3  ln3  ln3,
g
x

- 0 +
g  x   33ln3 
g

0
10，g 
ln3
33ln30
g  x 在 0,ln3 上有唯一零点x
1
又g  5 e5152515170
g  x 在 ln3,有唯一零点x
2
综上所述， f  x 有两个不动点x、x
1 2
19．（1）AB AC,D为BC的中点，BC  AD
又BC  BB ,AA∥BB
1 1 1
BC  AA
1
又ADAA  A  BC 平面AAD
1 1
又BC 平面ABC 平面AAD 平面ABC
1
（2）存在点E，证明如下．
以D为原点，DA为x轴，DB为 y轴，过点D且与平面ABC垂直的射线为z轴，建立如图所示的空间直
角坐标系，
   
则D  0,0,0  ,A  2,0,0  ,A 1,0, 3 ,C  0,1,0  ,C 1,1, 3
1 1

设E  0,t,0 1t 1 ，平面ACC A 的法向量为n，
1 1
  
   
则C E  1,t1, 3 ,AA  1,0, 3 ,CA  2,1,0 
1 1 
    
n  AA,n CA,n  3,2 3,1
1
1 5
解得t  或t  （舍）
2 2
1
DE  ，即点E存在，且为BD的中点
2
20．（1）y aebxlny lnabx，即u lnabx
6
xu 6xu 106.052128.5 1
i i
b ˆ i1  6  0.36
6 2
x
i
2 6x2
916


7

i1 2
1 21
a  u0.36x 28.5 0.36 3.49lna
6 6
u 3.490.36x，即 y e3.490.36x
（2）X 可取8，11，14，18
1 3 1 3
P  X 8  ，P  X 11   
4 4 4 16
3 3 1 9 3 3 3 27
P  X 14     ，P  X 18    
4 4 4 64 4 4 4 64
故“甲获得的积分X ”的分布列为：
X 8 11 14 18
1 3 9 27
P
4 16 64 64
1 3 9 27 109
故“甲获得的积分X ”的期望为：E  X 8 11 14 18 
4 16 64 64 8
3
21．（1）a2 4,b2 1c2 3焦距2c2 3，离心率e
2
（2）令l :y kx2且M  x ,y  ,N  x ,y  ,B  2,0 
MN 1 1 2 2
y kx2

联立x2 得：  14k2 x2 16kx120

 y2 1
 4
16k 12 3
由韦达定理得：x x  ,x x  ,Δ 0k 
1 2 14k2 1 2 14k2 2
 
由题知BM BN 0  x 2,y  x 2,y 0
1 1 2 2
 x 2  x 2  y y 0
1 2 1 2
 x 2  x 2  kx 2  kx 2 0
1 2 1 2  1k2 x x 2  x  x  1k 80
1 2 1 2
  1k2 12 2 16k  1k 80
14k2 14k2
3k2 8k50
5
 k  ,k 1
1 3 2
5
又当k 1时，l 过右顶点B，故舍去，所以k 
MN 3
16k 12 3
（3）由（2）可知：x x  ,x x  ,Δ 0k 
1 2 14k2 1 2 14k2 2
  s2
PS OP 0,s2  0,2 
  2  st 4
  （*）
  t2 2
 PT OP 0,t2  0,2 
 2
 s y 2y 2  kx 2 
k k   1 s  1  1
 AS AM 2 x 2 x 2 x 2 kx x (k 1)  x x 4 1
 1 1 1  st  4 1 2 1 2 
 t y 2y 2  kx 2  x x 2  x x 4 k 1
k k   2 t  2  2 1 2 1 2
  AT AN 2 x 2 x 2 x 2
2 2 2
1 1 
代入（*）得：

4
2k1 
3  
k   2, 3
2
22．（1）C：sin2acos2sin2acos y2 ax
l: y  x2
 2
x2t
 2
（2）直线l的标准参数方程为： （t为参数）
 2
x4t

 2
代入曲线C的直线坐标方程得：t2  2  8a  t 324a 0
由韦达定理得：t t  2  8a  0,t t   324a  0
1 2 1 2
 PM 、MN 、PN 成等比数列
t t 2  t t ，即 t t 2 4t t t t ，解得：a 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 223．（1） f  x  x2  2x1 6
1 1
①当x 时，33x6 x1,1 x
2 2
1 1
②当  x2时，x16 x5,  x2
2 2
③当x2时，3x36 x3,2 x3
综上所述：x1,3 
（2）由题知 x2  mx1 31x ，即 x2  mx1 3  x1 在 3,4 上恒成立
2
 mx1 2x1，即12xmx12x1，即 2 m2在 3,4 上恒成立．
x
4
  m 2
3