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8.3 分类变量与列联表（精练）
【题组一 列联表】
1．（2020·全国）为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，利用2×2列联表进行检验，经
计算K2的观测值k＝7.069，参考下表，则认为“性别与是否喜欢数学课程有关”犯错误的概率不超过（
）
P(K2≥k 0.05 0.01
0 0.100 0.025 0.001
) 0 0
3.84 6.63
k 2.706 5.024 10.828
0 1 5
A．0.001 B．0.01 C．0.99 D．0.999
【答案】B
【解析】k＝7.069＞6.635，对照表格，则认为“性别与是否喜欢数学课程有关”犯错误的概率不超过
0.01，
故选：B.
2．（2020·全国高二单元测试）在一次对性别与是否说谎有关的调查中，得到如下数据，说法正确的是
（ ）
不
说
说 合计
谎
谎
男 6 7 13
女 8 9 17
1
合计 14 30
6
0.1 0.0 0.0 0.0 0.0
00 50 10 05 01
2.7 3.8 6.6 7.8 10.
06 41 35 79 828
A．在此次调查中有95%的把握认为是否说谎与性别有关
B．在此次调查中有95%的把握认为是否说谎与性别无关
C．在此次调查中有99%的把握认为是否说谎与性别有关
D．在此次调查中没有充分证据显示说谎与性别有关【答案】D
【解析】由表中数据得 ≈0.002 42<3.841.
因此没有充分证据认为说谎与性别有关，
故选：D.
3．（2020·全国）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男 女 总计
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
总计 60 50 110
由K2＝ ，算得K2＝ ≈7.822.
附表：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
0
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
【答案】C
【解析】根据独立性检验的定义，由 ，可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提
下，
有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.故选：C.
4．（2020·全国高二课时练习）某中学共有5000人，其中男生有3500人，女生有1500人，为了了解该
校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及该校学生每周平均体育锻炼时间是否与性别有关，现在用分层抽
样的方法从中收集300位学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：小时），其频率分布直方图如下：已知在样本数据中，有60位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时，根据独立性检验原理，我们
（ ）
A．没有理由认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
B．有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
C．有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”
D．有99%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
【答案】B
【解析】由题意得，男生、女生各抽取的人数为 ，
又由频率分布直方图可知，每周平均体育锻炼时间超过4小时的人数的频率为0.75，
所以在300人中每周平均体育锻炼时间超过4小时的人数为 ，
又有60位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时，
所以男生每周平均体育锻炼时间超过4小时的人数为 ，
可得如下的 列联表：
男生 女生 总计
每周平均体育锻炼时间
45 30 75
不超过4小时
每周平均体育锻炼时间
165 60 225
超过4小时
总计 210 90 300结合列联表可得 ，所以有95%的把握认为“该校学生每
周平均体育锻炼时间与性别有关”，
故选：B．
5．（2020·全国高二课时练习）通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好踢毽子，得到如下的列联
表：
男 女 总计
爱好 10 40 50
不爱好 20 30 50
总计 30 70 100
附表：
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
随机变量 ，经计算 ，参照附表，下列结论正确的是
（ ）
A．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱好踢毽子与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱好踢毽子与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“是否爱好踢毽子与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“是否爱好踢毽子与性别无关”
【答案】A
【解析】 ，则参照题中附表，可得在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“是
否爱好踢毽子与性别有关”或有 以上的把握认为“是否爱好踢毽子与性别有关”.
故选：A．
6．（2020·全国高二单元测试）现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可.为了调
查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵不严重的 城市和交通拥堵严重的 城市分别随机调查了20名市民，得到如下 列联表：
总计
认可 13 5 18
不认可 7 15 22
总计 20 20 40
附： .
0.1 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
根据表中的数据，下列说法中正确的是（ ）
A．没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
B．有99%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
C．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
D．可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
【答案】D
【解析】由题意，根据 列联表中的数据，得 ，
又 ，所以可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵
情况有关”.故选：D.
7．（多选）（2020·全国高三专题练习）(多选)2018年12月1日，贵阳市地铁1号线全线开通，在一定
程度上缓解了市内交通的拥堵状况．为了了解市民对地铁1号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通
后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图：根据图中(35岁以上含35岁)的信息，下列结论中一定正确的是（ ）
A．样本中男性比女性更关注地铁1号线全线开通
B．样本中多数女性是35岁以上
C．样本中35岁以下的男性人数比35岁以上的女性人数多
D．样本中35岁以上的人对地铁1号线的开通关注度更高
【答案】ABD
【解析】设等高条形图对应2×2列联表如下：
35岁以上 35岁以下 总计
男性 a c a＋c
女性 b d b＋d
总计 a＋b c＋d a＋b＋c＋d
根据第1个等高条形图可知，35岁以上男性比35岁以上女性多，即a>b；35岁以下男性比35岁以下女性
多，即c>d.
根据第2个等高条形图可知，男性中35岁以上的比35岁以下的多，即a>c；女性中35岁以下的比35岁以
下的多，即b>d.
对于A，男性人数为a＋c，女性人数为b＋d，因为a>b，c>d，所以a＋c>b＋d，所以A正确；
对于B，35岁以上女性人数为b，35岁以下女性人数为d，因为b>d，所以B正确；
对于C，35岁以下男性人数为c，35岁以上女性人数为b，无法从图中直接判断b与c的大小关系，所以C
不一定正确；
对于D，35岁以上的人数为a＋b，35岁以下的人数为c＋d，因为a>c，b>d，所以a＋b>c＋d，所以D正确．
故选：ABD.
8．（多选）（2021·全国高二专题练习）因防疫的需要，多数大学开学后启用封闭式管理．某大学开学
后也启用封闭式管理，该校有在校学生9000人，其中男生4000人，女生5000人，为了解学生在封闭式管
理期间对学校的管理和服务的满意度，随机调查了40名男生和50名女生，每位被调查的学生都对学校的
管理和服务给出了满意或不满意的评价，经统计得到如下列联表：
满意 不满意
男 20 20
女 40 10
附表：
P 0.10 0.05 0.02 0.01 0.001（K
2≥ 0 5 0
k）
2.70 3 5.02 6.63 10.82
k
6 .841 4 5 8
附：
以下说法正确的有（ ）
A．满意度的调查过程采用了分层抽样的抽样方法
B．该学校学生对学校的管理和服务满意的概率的估计值为0.6
C．有99％的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性别有关系
D．没有99％的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性别有关系
【答案】AC
【解析】因为男女比例为4000︰5000，故A正确．满意的频率为 ，所以该学校学生对
学校的管理和服务满意的概率的估计值约为0.667，所以B错误．
由列联表 ，故有99％的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否
与性别有关系，所以C正确，D错误．
故选：AC.
【题组二 独立性检验】
1．（2021·安徽芜湖市）“直播带货”是指通过一些互联网平台，使用直播技术进行商品线上展示､咨询
答疑､导购销售的新型服务方式.某高校学生会调查了该校100名学生2020年在直播平台购物的情况，这
100名学生中有男生60名，女生40名.男生中在直播平台购物的人数占男生总数的 ，女生中在直播平台
购物的人数占女生总数的 .
（1）填写 列联表，并判断能否有99%的把握认为校学生的性别与2020年在直播平台购物有关？
男生 女生 合计2020年在直播平台购物
2020年未在直播平台购物
合计
（2）若把这100名学生2020年在直播平台购物的频率作为该校每个学生2020年在直播平台购物的概率，
从全校所有学生中随机抽取4人，记这4人中2020年在直播平台购物的人数与未在直播平台购物的人数之
差为 ，求 的分布列与期望.
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
附： ， .
【答案】（1）列联表答案见解析，没有99%的把握认为该校学生的性别与220年在直播平台购物有关；
（2）分布列答案见解析，数学期望： .
【解析】（1）列 列联表：
男生 女生 合计
2020年在直播平台购物 40 35 75
2020年未在直播平台购物 20 5 25
合计 60 40 100
.
故没有99%的把握认为该校学生的性别与220年在直播平台购物有关
（2）设这4人中2020年在直播平台购物的人数为 ，
则 ，且 ， ，故 ，且
，，
，
，
.
所以 的分布列为
-4 -2 0 2 4
， ，
即
2．（2021·安徽高二期末）随着新冠疫情防控进入常态化，人们的生产生活逐步步入正轨.为拉动消费，
某市发行2亿元消费券.为了解该消费券使用人群的年龄结构情况，该市随机抽取了50人，对是否使用过
消费券的情况进行调查，结果如下表所示，其中年龄低于45岁的人数占总人数的 .
年龄(单位：岁)
调查人数 5 m 15 10 n 5
使用消费券人数 5 10 12 7 2 1
（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面 列联表，并判断是否有 的把握认
为是否使用消费券与人的年龄有关.
年龄低于45岁的人数 年龄不低于45岁的人数 合计使用消费券人数
未使用消费券人数
合计
参考数据：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
，其中 .
（2）从使用消费券且年龄在 与 的人中按分层抽样方法抽取6人，再从这6人中选取2名，
记抽取的两人中年龄在 的人数为X，求X的分布列与数学期望.
【答案】（1）列联表答案见解析，有 的把握认为是否使用消费券与人的年龄有关；（2）分布列答案
见解析，数学期望： .
【解析】（1）由题意得 解得 ；
由以上统计数据填写下面 列联表，如下
年龄低于45岁的人数 年龄不低于45岁的人数 合计
使用消费券人数 27 10 37
未使用消费券人数 3 10 13
合计 30 20 50
根据公式计算 ，所以有 的把握认为是否使用消费券与人的年龄有关：
（2）由题意知抽取的6人中年龄在 的有2人，年龄在 的有4人，
所以X的可能取值为 .
且 ，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
.
3．（2021·江西新余市·高二期末（文））推进垃圾分类处理，是落实绿色发股理心的必然选择.为加强
社区居民的垃圾分类意识，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，
号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，为此需要征集一部分垃圾分类志愿者.
（1）某垃圾站的日垃圾分拣量 （千克）与垃圾分类志愿者人数 （人）满足回归直线方程 ，
数据统计如下：
志愿者人数 （人） 2 3 4 5 6
日垃圾分拣量 （千克） 25 30 40 45
已知 ， ， ，根据所给数据求 和回归直线方程. .
附： ， .
（2）为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关，现随机选取了一部分社区居民进行调查，其中被调查的男性居民和女性居民人数相同，男性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占男性居民的 ，女
性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的 .
①若被调查的男性居民人数为 人，请完成以下2×2列联表：
性别
喜欢垃圾分类志愿者 不喜欢垃圾分类志愿者 合计
类型
男性
女性
合计
②若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下，认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关，则被
调查的女性居民至少多少人?
附 ， ，
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1） ， ；（2）①2×2列联表见解析；②20
【解析】（1）根据表中数据可知 ，解得 ，
，
，，
所以回归直线方程为 ；
（2）①根据题意可得2×2列联表如下：
喜欢垃圾分类志愿者 不喜欢垃圾分类志愿者 合计
男性
女性
合计
② 在犯错误概率不超过0.010的前提下，认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关，
，
解得 ，故 的最小值为20，
所以被调查的女性居民至少20人.
4（2021·云南曲靖市）移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为
调查曲靖市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到 列联表如下：
35岁以下（含35岁） 35岁以上 合计
使用移动支付 40 50
不使用移动支付 40
合计 100
（1）将上 列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄是
否有关？
（2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出
3人颁发参与奖励，设年龄都低于35岁（含35岁）的人数为 ，求 的分布列及期望.0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式： ）（其中 ）
【答案】(1)列联表见解析，在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为支付方式与年龄有关.；(2)分布
列见解析， .
【解析】(1)根据题意及 列联表可得完整的 列联表如下:
35岁以下(含35岁) 35岁以上 合计
使用移动支付 40 10 50
不使用移动支付 10 40 50
合计 50 50 100
根据公式可得 ，
所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为支付方式与年龄有关.
(2)根据分层抽样，可知35岁以下(含35岁)的人数为 人，35岁以上的有2人，
所以获得奖励的35岁以下(含35岁)的人数为 ，
则 的可能为1，2，3，且
，
其分布列为
1 2 3.
5．（2021·江西高二期末）某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A，B实验地分别用甲、
乙方法培育该品种花苗．为观测其生长情况，分别在A，B试验地随机抽选各50株，对每株进行综合评分，
将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗．
（1）求图中a的值，并求综合评分的中位数；
（2）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A，B两块实验地随机抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的
优质花苗数的分布列和数学期望；
（3）填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关．
优质花苗 非优质花苗 合计
甲培育法 20
乙培育法 10
合计
附：下面的临界值表仅供参考．
0． 0． 0．
0．15 0．10 0．05 0．001
025 010 005
2． 2． 3． 5． 6． 7． 10．
072 706 841 024 635 879 828
（参考公式： ，其中 ．）
【答案】（1） ，82.5；（2）分布列见解析， ；（3）列联表见解析，有90%的把握认
为优质花苗与培育方法有关系.【解析】（1）由 ，
解得 ．
令得分中位数为x，由 ，
解得 ．
故综合评分的中位数为82.5．
（2）由（1）与频率分布直方图 ，
优质花苗的频率为 ，即概率为 ，
设所抽取的花苗为优质花苗的颗数为X，则 ，
； ；
； ．
其分布列为：
X 0 1 2 3
P
所以，所抽取的花苗为优质花苗的数学期望 ．
（3）结合（1）与频率分布直方图，
优质花苗的频率为 ，
则样本中，优质花苗的颗数为60棵，列联表如下表所示：
优质花苗 非优质花苗 合计
甲培育法 20 30 50
乙培育法 40 10 50合计 60 40 100
可得 ．
所以，有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关系．
6.（2020·四川成都市）一网络公司为某贫困山区培养了 名“乡土直播员”，以帮助宣传该山区文化
和销售该山区的农副产品，从而带领山区人民早日脱贫致富．该公司将这 名“乡土直播员”中每天直
播时间不少于 小时的评为“网红乡土直播员”，其余的评为“乡土直播达人”．根据实际评选结果得到
了下面 列联表：
网红乡土直播员 乡土直播达人 合计
男 10 40 50
女 20 30 50
合计 30 70 100
（1）根据列联表判断是否有 的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系？
（2）在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取 人，在这 人中选 人作为“乡土直播推广大使”．
设被选中的 名“乡土直播推广大使”中男性人数为 ，求 的分布列和期望．
附： ，其中 ．
【答案】（1）有 的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系；（2）分布列见解析；期望为 ．【解析】（1）由题中 列联表，
可得 ．
∴有 的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系．
（2）在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取6人，
男性人数为 人；女性人数为 人．
由题，随机变量 所有可能的取值为 ， ， ．
， ， ，
∴ 的分布列为
0 1 2
∴ 的数学期望 ．
7．（2020·山东济南市）2019年6月25日，《固体废物污染环境防治法(修订草案)》初次提请全国人大
常委会审议，草案对“生活垃圾污染环境的防治”进行了专章规定.草案提出，国家推行生活垃圾分类制
度.为了了解人民群众对垃圾分类的认识，某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类网络知识问卷调
查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人(其中450人为女性)的得
分(满分：100分)数据，统计结果如表所示：
得分
男性人
15 90 130 100 125 60 30
数
女性人
10 60 70 150 100 40 20
数
（1）由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分 服从正态分布 ， 近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表)，请利用正态分布的知识求 ；
（2）把市民分为对垃圾分类“比较了解”(不低于60分的)和“不太了解”(低于60分的)两类，请完成如
下 列联表，并判断是否有 的把握认为市民对垃圾分类的了解程度与性别有关？
比较了
不太了解 合计
解
男性
女性
合计
（3）从得分不低于 分的被调查者中采用分层抽样的方法抽取 名.再从这 人中随机抽取 人，求抽
取的 人中男性人数的分布列及数学期望.
参考数据：① ；②若 ，则 ，
， ；
③
，
【答案】（1） ；（2）列联表答案见解析，有 的把握认为学生对垃圾分类的了解程度与性别
有关；（3）分布列详见见解析，数学期望： .
【解析】（1）由题意知： ，
又 ， ，
所以 .
（2）由题意得列联表如下：
不太了解 比较了解 合计
男性 235 315 550
女性 140 310 450
合计 375 625 1000
，
所以有 的把握认为学生对垃圾分类的了解程度与性别有关.
（3）不低于 分的被调查者的男女比例为 ，所以采用分层抽样的方法抽取 人中，男性为 人，女
性为 人.
设从这 人中随机抽取的 人中男性人数为 ，则 的取值为
， ，
， ，
所以随机变量 的分布列为所以其期望
8．（2020·四川师范大学附属中学）新冠肺炎疫情期间，各地均响应“停课不停学，停课不停教”的号
召开展网课学习．为检验网课学习效果，某机构对 名学生进行了网上调查，发现有些学生上网课时
有家长在旁督促，而有些没有网课结束后进行考试，根据考试结果将这 名学生分成“成绩上升”和
“成绩没有上 升”两类，对应的人数如下表所示：
成绩上升 成绩没有上升 合计
有家长督促的学生 500 800
没有家长督促的学生 500
没有家长督促的学生 2000
（1）完成以上列联表，并通过计算（结果精确到 ）说明，是否有 的把握认为家长督促学生
上网课与学生的成绩上升有关联
（2）从有家长督促的 名学生中按成绩是否上升，采用分层抽样的方法抽出 人，再从 人中 随机抽
取 3人做进一步调查，记抽到 名成绩上升的学生得 分，抽到 名成绩没有上升的学生得 分，抽到
名生的总得分用 表示，求 的分布列和数学期望．
附：【答案】（1）列联表见解析，有 的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联；（2）分
布列见解析，数学期望为 ．
【解析】（1）
成绩上升 成绩没有上升 合计
有家长督促的学生 500 300 800
没有家长督促的学生 700 500 1200
没有家长督促的学生 1200 800 2000
有 的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联．
（2）从有家长督促的 名学生中按成绩是否上升，采用分层抽样的方法抽出 人，其中成绩上升的有
人，成绩没有上升的有 人，再从 人中随机抽取 人，随机变量 所有可能的取值为
的分布列如下：-3 -1 1 8
9．（2020·全国高二专题练习）景泰蓝（ ），中国的著名特种金属工艺品之一，到明代景泰年
间这种工艺技术制作达到了最巅峰，因制作出的工艺品最为精美而闻名，故后人称这种瓷器为“景泰蓝”．
其制作过程中有“掐丝”这一环节，某大型景泰蓝掐丝车间共有员工10000人，现从中随机抽取100名对
他们每月完成合格品的件数进行统计．得到如下统计表：
每月完成合
格品的件数
频数 10 45 35 6 4
女员工人数 3 22 17 5 3
（1）若每月完成合格品的件数超过18件，则车间授予“工艺标兵”称号，由以上统计表填写下面的
列联表，并判断是否有95%的把握认为“工艺标兵”称号与性别有关；
非“工艺标
“工艺标兵” 总计
兵”
男员工人数
女员工人数
合计
（2）为提高员工的工作积极性，该车间实行计件工资制：每月完成合格品的件数在12件以内（包括12
件），每件支付员工200元，超出 的部分，每件支付员工220元，超出 的部分，每件支付员工
240元，超出4件以上的部分，每件支付员工260元，将这4段频率视为相应的概率，在该车间男员工中随
机抽取2人，女员工中随机抽取1人进行工资调查，设实得计件工资超过3320元的人数为 ，求 的分布
列和数学期望．附： ，其中 ．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）表格见解析，有95%的把握认为“工艺标兵”称号与性别有关；（2）分布列见解析， .
【解析】（1） 列联表如下：
非“工艺标兵” “工艺标兵” 总计
男员工人数 48 2 50
女员工人数 42 8 50
合计 90 10 100
，
所以有95%的把握认为“工艺标兵”称号与性别有关．
（2）若员工实得计件工资超过3320元，则每月完成合格品的件数需超过16件，由题中统计表数据可得，
男员工实得计件工资超过3320元的概率 ，女员工实得计件工资超过3320元的概率 ．
设随机抽取的男员工中实得计件工资超过3320元的人数为 ，随机抽取的女员工中实得计件工资超过
3320元的人数为 ，则 ．
由题意可知， 的所有可能取值为0，1，2，3，
，，
，
，
所以随机变量 的分布列为
0 1 2 3
所以 .
10．（2020·广东广州市）某学校高三年级数学备课组的老师为了解新高三年级学生在假期的自学情况，
在开学初进行了一次摸底测试，根据测试成绩评定“优秀”、“良好”、“要加油”三个等级，同时对相
应等级进行量化：“优秀”记10分，“良好”记5分，“要加油”记0分．现随机抽取年级120名学生的
成绩，统计结果如下所示：
等级 优秀 良好 要加油
得分
频数 12 72 36
（1）若测试分数90分及以上认定为优良．分数段在 ， ， 内女生的人数分别为
4人，40人，20人，完成下面的 列联表，并判断：是否有 以上的把握认为性别与数学成绩优良
有关？
是否优良
优良 非优良 总计
性别
男生女生
总计
（2）用分层抽样的方法，从评定为“优秀”、“良好”、“要加油”的三个等级的学生中选取10人进行
座谈，现再从这10人中任选2人，所选2人的量化分之和记为 ，求 的分布列及数学期望 ．
附表及公式： ，其中 ．
P（ ） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
【答案】（1）表格见解析，没有 以上的把握认为性别与数学成绩优良有关；（2）分布列见解析，8.
【解析】（1）解：依题意，完成下面的 列联表：
是否优良
优良 非优良 总计
性别
男生 40 16 56
女生 44 20 64
总计 84 36 120
.
故没有 以上的把握认为性别与数学成绩优良有关.
（2）解：按照分层抽样，评定为“优秀”、“良好”、“要加油”三个等级的学生分别抽取1人，6人，
3人.现再从这10人中任选2人，所选2人的量化分之和 的可能取值为15，10，5，0.
，
，所以 的分布列为：
15 10 5 0
所以 .
11．（2020·湖南高三月考）某公司有1400名员工，其中男员工900名，用分层抽样的方法随机抽取28
名员工进行5G手机购买意向调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年
以后购买5G手机的员工称为“观望者”，调查结果发现抽取的这28名员工中属于“追光族”的女员工有
2人，男员工有10人.
（1）完成下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；
属于“追光 属于“观望
族” 者” 合计
女员工
男员工
合计
（2）在抽取的属于“追光族”的员工中任选4人，记选出的4人中男员工有 人，女员工有 人，求随
机变量 的分布列与数学期望.
附： ，其中 .
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）列联表答案见解析，没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；
（2）分布列答案见解析，数学期望： .【解析】1）由题意得：2×2列联表如下：
属于“追光 属于“观望
合计
族" 者"
女员工 2 8 10
男员工 10 8 18
合计 12 16 28
，
故没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；
（2）由（1）知在样本里属于“追光族"的员工有12人.其中男员工10人，女员工2人，
所以 可能的取值有 ，
， ，
，
的分布列为：
0 2 4
的期望 .
12．（2020·全国高三专题练习）某电商平台为提升服务质量，从用户系统中随机选出300名客户，对该
平台售前服务和售后服务的评价进行统计，得到一份样本数据，并用以估计所有用户对该平台服务质量的
满意度.其中售前服务的满意率为 ，售后服务的满意率为 ，对售前服务和售后服务都不满意的客户有
20人（1）完成下面 列联表，并分析是否有97.5%的把握认为售前服务满意度与售后服务满意度有关；
对售后服务满意人数 对售后服务不满意人数 合计
对售前服务满意人数
对售前服务不满意人数
合计
（2）若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对售前服务和售后服务两项都满意的客户保有率
为95%，只对其中一项不满意的客户保有率为66%，对两项都不满意的客户保有率为1%，从该运营系统中
任选3名客户，求在业务服务协议终止时保有客户人数 的分布列和期望，
附： ， .
0.10 0.05 0.025 0.010
2.706 3.841 5.024 6.635
【答案】（1）列联表见解析，有97.5%的把握认为售前服务满意与售后服务满意有关；（2）分布列见解
析，数学期望为 .
【解析】（1）
由题意知对售前服务满意的有 人，对服务不满意的有 人，
所以，补全 列联表如下：
对售后服务满意人数 对售后服务不满意人数 合计
对售前服务满意人数 180 80 260
对售前服务不满意人数 20 20 40
合计 200 100 300经计算得 ，
所以有97.5%的把握认为售前服务满意与售后服务满意有关.
（2）在业务服务协议终止时，对售前服务和售后服务都满意的客户保有的概率为 ，
只有一项满意的客户保有的概率为 ，
对二者都不满意的客户保有的概率为 .
所以，从系统中任选一名客户保有的概率为 ，
故 ， ，
，
，
，
所以 的分布列为：.
【点睛】此题考查独立性检验、二项分布、独立重复试验以及离散型随机变量的分布列与数学期望，考查
分析问题的能力.本题第二问解题的关键在于根据保有率计算得到系统中任选一名客户保有的概率为
，进而得到 ，属于中档题
