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6.2.1 排列及排列数（精讲）
思维导图常见考法
考点一 排列的概念
【例1】（2021年广东汕头）（1）下列问题是排列问题的是( )
A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？
B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？
C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？
D．从1,2,3,4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？
（2）从3个不同的数字中取出2个：①相加；②相减；③相乘；④相除；⑤一个为被开方数，一个为根指
数．则上述问题为排列问题的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】（1）B（2）B
【解析】（1）排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有B中的问题是与顺序相关的，其他问题都与
顺序无关，所以选B.
（2）排列与顺序有关，故②④⑤是排列．
【一隅三反】
1.（2020年广东河源）判断下列问题是否为排列问题．
(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？
(2)从集合M＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程＋＝
1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程－＝1?
(3)从1,3,5,7,9中任取3个数字，有多少种方法？若这3个数字组成没有重复的三位数，又有多少种方法？
【答案】见解析
【解析】(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题与顺序有关，故选3
个座位安排三位客人是排列问题．
(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小关系一定；在双曲线－＝1中，不管a>b还是a<b，方程－＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是
不同的双曲线，故是排列问题．
(3)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．从5个数中取3个数，与顺序无关；若这3个数组成不同的
三位数，则与顺序有关．
2.（2021年河北）下列问题是排列问题的是 ( )
A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？
B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？
C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？
D．从1,2,3,4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种？
【答案】 B
【解析】 排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有B中的问题是与顺序有关的，其他问题都与顺
序无关．故选B.
考点二 排列数
【例2】（1）（2020·江苏省前黄高级中学）若 ，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
（2）（2020·永昌县第四中学）若 ，则m的值为 ( )
A．5 B．3 C．6 D．7
（3）（2021·山西省长治市第二中学校高）不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】（1）A（2）A（2）C
【解析】（1） ,化解得 解得：m= （舍）或m=5故选：A
（2）根据题意，若 ，则有m（m﹣1）（m﹣2）（m﹣3）（m﹣4）=2×m（m﹣1）（m﹣2），
即（m﹣3）（m﹣4）=2，解可得：m=5故答案为A
（3）由 ，得： ，整理得 ，解得： ，
由题可知， 且 ，则 或 ，即原不等式的解集为： .故选：C.【方法总结】
1. 要注意 中隐含了3个条件：① ， ；② ；③ 的运算结果为正整数
2.形 ， （即 ）， 的应用．
【一隅三反】
1．（2020·全国高二单元测试）对于满足 的正整数n， （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据排列数定义，要确定元素总数和选取个数，元素总数为 ，
选取个数为 ， .故选：C．
2．（2020·宁夏育才中学）已知 ，则 （ ）
A．5 B．7 C．10 D．14
【答案】B
【解析】 ，可得 ，
即 ，解得 .故选： .
3．（2020·山东莱州一中）给出下列四个关系式：
① ② ③ ④
其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】①因为 ，故正确.
② ，故正确.③ ，正确.
④因为 ，所以 ，故不正确.
故选：C
4．（1）解不等式 ；（2）证明： .
【答案】（1）x＝8；（2）详见解析.
【解析】（1）由 ，得 ，
化简得 ，解之得 ，①
又 ， ，②由①②及 得 .
（2 ,
.
考点三 排队问题
【例3】（2021·全国高二练习）有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，女生必须站在一起；
(4)全体排成一排，男生互不相邻；
(5)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；
(6)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.
【答案】（1）2520；（2）5040；（3）576；（4）1440；（5）3600；（6） 3720.
【解析】（1）从7人中选5人排列，共有 （种 ．
（2）分两步完成，先选3人站前排，有 种方法，余下4人站后排，有 种方法，按照分步乘法计数原理计算可得一共有 （种 .
（3）捆绑法，将女生看成一个整体，进行全排列，有 种，再与3名男生进行全排列有 种，共有
（种 ．
（4）插空法，先排女生，再在空位中插入男生，故有 （种 ．
（5）先排甲，有5种方法，其余6人有 种排列方法，共有 (种).
（6） 7名学生全排列，有 种方法，其中甲在最左边时，有 种方法，乙在最右边时，有 种方法，
其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有 种方法，故共有
(种).
【方法总结】
排列常用方法
1.简单问题直接法：直接利用两个计数原理，直接进行排列组合解答.
2.特殊元素(特殊位置)优先法：优先考虑一些特殊的元素和位置.
3.相邻问题捆绑法：先把相邻元素捆绑在一起，再进行排列.
4.不相邻问题插空法：先把没有位置要求的元素排列好，再排不相邻的元素.
5.定序问题缩倍法（等概率问题缩倍法）先把所有的元素安排好，再缩小一定的倍数.
6.至少问题间接法：一般先考虑全部的排法，再排除不满足题意的排法.
【一隅三反】
1．（2020·湖北高二期末）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．若老师站在正中间，
则不同站法的种数有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．60种
【答案】C
【解析】根据题意，若老师站在正中间，则站法只有1种，将甲、乙、丙、丁全排列，安排在两边4个位置，有 种情况，由分步乘法计数原理知共有 种，故选：C.
2．（2020·山东淄博·高二期末）参加完某项活动的6名成员合影留念，前排和后排各3人，不同排法的
种数为（ ）
A．360 B．720 C．2160 D．4320
【答案】B
【解析】分两步完成：
第一步：从6人中选3人排前排： 种不同排法；
第二步：剩下的3人排后排： 种不同排法，
再按照分步乘法计数原理： 种不同排法，
故选：B.
3．（2020·湖北沙市中学高二月考）某单位有8个连在一起的车位，现有4辆不同型号的车需要停放，如
果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为（ ）
A．240 B．360 C．480 D．720
【答案】C
【解析】解法一：给8个车位编号：1，2，3，4，5，6，7，8，
当1，2，3号车位停放3辆车时，有 种停放方法；
当2，3，4号车位停放3辆车时，有 种停放方法；
当3，4，5号车位停放3辆车时，有 种停放方法；
当4，5，6号车位停放3辆车时，有 种停放方法；
当5，6，7号车位停放3辆车时，有 种停放方法；
当6，7，8号车位停放3辆车时，有 种停放方法；
所以不同的停放方法的种数为 种.
解法二：先定四个车位，其中三个车位连在一起捆绑，
三个车位和另一个被四个空车位间隔开，四个空车位就1种排法，造成5个空格，排入三个捆绑车位和一个车位有 种方法，
再把4辆车停入四个车位有 种方法，
根据乘法原理共有 种停车方法.
故选：C.
考点四 数字问题
【例4】（2021·天津静海一中）现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字.
（1）可以组成多少个无重复数字的三位数？
（2）组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？
（3）可以组成多少个无重复数字的四位偶数？
【答案】（1）648；（2）156；（3）2296；
【解析】（1）由题意，无重复的三位数共有 个；
（2）当百位为1时，共有 个数；
当百位为2时，共有 个数；
当百位为3时，共有 个数，
所以315是第 个数；
（3）无重复的四位偶数，所以个位必须为0,2,4,6,8，千位上不能为0，
当个位上为0时，共有 个数；
当个位上是2,4,6,8中的一个时，共有 个数，
所以无重复的四位偶数共有 个数；
【一隅三反】
1．（2020·浙江省东阳中学）由0，1，2，3，4，5共6个不同数字组成的6位数，要求0不能在个位数，
奇数恰好有2个相邻，则组成这样不同的6位数的个数是（ ）
A．144 B．216 C．288 D．432
【答案】B【解析】先从3个奇数中选出2个捆绑内部全排共有 种排法，
再把捆绑的2个奇数看成一个整体，
因为这个整体与剩下的一个奇数不相邻，将2个非0偶数全排有 种选法，
奇数插空全排有 种选法，
最后把0插空，0不能在两端，有3种排法，
可组成这样不同的6位的个数为 种排法，
故选：B
2．（2020·福建省福州外国语学校用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶
数共有
A．144个 B．120个 C．96个 D．72个
【答案】B
【解析】根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；
分两种情况讨论：
①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A3=24
4
种情况，此时有3×24=72个，
②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A3=24
4
种情况，此时有2×24=48个，
共有72+48=120个．
故选B
3．（2021·湖北车城高中）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数.
（1）可组成多少个不同的四位数？
（2）可组成多少个不同的四位偶数？
【答案】（1）300；（2）156.
【解析】（1）根据题意分步完成任务：
第一步：排千位数字，从1，2，3，4，5这5个数字中选1个来排，有 种不同排法；
第二步：排百位、十位、个位数字，从排了千位数字后剩下的5个数字中选3个来排列，有
种不同排法；所以组成不同的四位数有 种，
（2）根据题意分类完成任务：
第一类：个位数字为0，则从1，2，3，4，5这5个数字中选3个来排在千位、百位、十位，有
种不同排法；
第二类：个位数字为2或4，则0不能排在千位，有 种不同排法；
所以组成不同的四位偶数有 种.
