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8.3 分类变量与列联表（精讲）
思维导图
常见考法考法一 列联表
【例1】（1）（2020·全国高二课时练习）某村庄对该村内 名老年人、年轻人每年是否体检的情况进
行了调查，统计数据如表所示：
每年体检 每年未体检 合计
老年人
年轻人
合计
已知抽取的老年人、年轻人各 名，则对列联表数据的分析错误的是（ ）
A． B．
C． D．
（2）．（2021·河南信阳市）疫苗是为预防、控制传染病的发生、流行，用于人体预防接种的预防性生
物制品，其前期研发过程中，一般都会进行动物保护测试，为了考察某种疫苗预防效果，在进行动物试验
时，得到如下统计数据：
未发病 发病 总计
未注射疫苗 20
注射疫苗 30
总计 50 50 100
附表及公式：
， ．
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828现从试验动物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率为 ，则下列判断错误的是（ ）
A．注射疫苗发病的动物数为10
B．从该试验未注射疫苗的动物中任取一只，发病的概率为
C．能在犯错概率不超过0．001的前提下，认为疫苗有效
D．该疫苗的有效率为75%
【答案】（1）D（2）D
【解析】（1）由题意得， ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ， ，则 .故选：D．
（2）由题知：注射疫苗动物共40只，未注射为60只，
补充列联表，
未发病 发病 总计
未注射疫苗 20 40 60
注射疫苗 30 10 40
总计 50 50 100
由此可得A、B正确．计算得： ，
故能在犯错概率不超过0．001的前提下认为疫苗有效．C正确，D错误．故选：D．
【一隅三反】
1．（2020·全国）现行普通高中学生在高一时面临着选科的问题，学校抽取了部分男､女学生意愿的一份
样本，制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（ ）
A．样本中的女生数量多于男生数量
B．样本中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量
C．样本中的男生偏爱两理一文
D．样本中的女生偏爱两文一理
【答案】D
【解析】由条形图知女生数量多于男生数量，故A正确；
有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量，故B正确；
男生偏爱两理一文，故C正确；女生中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量，故D
错误.故选：D.
2．（2021·安徽蚌埠市）某校随机调查了110名不同的高中生是否喜欢篮球，得到如下的列联表：
男 女
喜欢篮球 40 20
不喜欢篮球 20 30
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢篮球与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢篮球与性别无关”C．有99%以上的把握认为“喜欢篮球与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“喜欢篮球与性别无关”
【答案】C
【解析】由题意 ， ，因此有99%以上的把
握认为“喜欢篮球与性别有关”．故选：C．
3．（2021·江苏常州市） 年 月 日，国家药品监督管理局附条件批准国药集团中国生物北京生
物制品研究所有限责任公司的新型冠状病毒灭活疫苗( 细胞)注册申请.该疫苗是首家获批的国产新冠
病毒灭活疫苗，适用于预防由新型冠状病毒感染引起的疾病( ). 年 月 日，北京市人民
政府新闻办公室召开疫情防控第 场例行新闻发布会，表示不在 岁接种年龄段范围的人员，需
要等待进一步临床试验数据.近日专家对该年龄内和该年龄段外的 人进行了临床试验，得到如下
列联表：
能接种 不能接种 总计
岁内
岁外
总计
附： ，其中 ；
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A．在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“能接种与年龄段无关”B．在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“能接种与年龄段有关”
C．有 以上的把握认为“能接种与年龄段无关”
D．有 以上的把握认为“能接种与年龄段有关”
【答案】D
【解析】由 列联表可得
由
所以在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“能接种与年龄段有关”
即有 以上的把握认为“能接种与年龄段有关
故选：D
4．（2020·全国）随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某
机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表．
非一线 一线 总计
愿生 45 20 65
不愿生 13 22 35
总计 58 42 100
由 ，得 .
参照下表，
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
0
k 3.841 6.635 10.828
0
下列结论正确的是（ ）
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”
C．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”
【答案】C
【解析】因为 ，所以有 以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，故选：
C.
考点二 独立性检验
【例2】（2020·广西）某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n名学生进行调查，将调查
得到的学生日均课余读书时间分成 ， ， ， ， ， 六组，绘
制成如图所示的频率分布直方图，将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余
读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10
人.
（1）求p和n的值；
（2）根据已知条件和下面表中两个数据完成下面的 列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书
之星”与性别有关？
非读书之星 读书之星 总计
男
女 10 55
总计
（3）将本次调查所得到有关事件发生的频率视为其发生的概率，现从该地区大量学生中.随机抽取20名学
生参加读书与文学素养的研讨会，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X，求X的数学期望 .附： ，其中 .
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1） ， ；（2）填表见解析；没有；（3） 人.
【解析】（1） ，解得： ，
所以 .
（2）因为 ，所以“读书之星”有 ，
从而 列联表如下图所示：
非读书之星 读书之星 总计
男 30 15 45
女 45 10 55
总计 75 25 100
将 列联表中的数据代入公式计算得 ，
因为 ，所以没有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关.
（3）将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为 .
由题意可知 ，所以 （人）.
【一隅三反】
1．（2021·江苏南通市）习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民美好生活的向往作为
奋斗目标.在这一号召下，全国人民积极工作，健康生活.当前，“日行万步”正式成为健康生活的代名词.某地一研究团队统计了该地区 位居民的日行步数，得到如下表格：
日行步数（单位：千步）
人数
（1）为研究日行步数与居民年龄的关系，以日行步数是否超过 千步为标准进行分层抽样，从上述
位居民中抽取 人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有 的把握认为
日行步数与居民年龄超过 岁有关；
日行步数 千步 日行步数 千步 总计
岁以上
岁以下（含 岁）
总计
（2）以这 位居民日行步数超过 千步的频率，代替该地区 位居民日行步数超过 千的概率，每位居
民日行步数是否超过 千相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了 位居民，其中日行步数超过
千的最有可能（即概率最大）是多少位居民?
附：
，其中 .
【答案】（1）列联表见解析，没有 的把握认为日行步数与居民年龄超过 岁有关；（2）最有可能
是 位居民.【解析】（1） 人中，步数不超过 千步的有 人，超过 千步有 人，
按分层抽样，抽取的人数中不超过 千步的有 人，超过 千步的有 人，列联表如下：
日行步数 千步 日行步数 千步 总计
岁以上
岁以下（含 岁）
总计
故没有95%的把握认为日行步数与居民年龄超过40岁有关.
（2）每位居民步数超过 千的概率为 ，
设步数超过 千的最有可能是 位居民，
， ， ，
，即最有可能是 位居民.
2．（2021·江苏南通市·高二期末）为了解使用手机是否对学生的学习有影响，某校随机抽取 名学生，
对学习成绩和使用手机情况进行了调查，统计数据如表所示（不完整）：
使用手机 不使用手机 总计
学习成绩优秀
学习成绩一般
总计
（1）补充完整所给表格，并根据表格数据计算是否有 的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；（2）现从上表不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出 人，再从这 人中随机抽取 人，
记这 人中“学习成绩优秀”的人数为 ，试求 的分布列与数学期望.
参考公式： ，其中 .
参考数据：
【答案】（1）没有 的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；（2）分布列见解析， .
【解析】（1） 列联表如下表所示：
使用手机 不使用手机 总计
学习成绩优秀
学习成绩一般
总计
假设学生的学习成绩与使用手机无关，
，
所以，没有 的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；
（2） 人中学习成绩优秀的人有 人，学习成绩一般的有 人，
可能的取值有 、 、 、 ，
， ， ， .
所以，随机变量 的分布列为.
3．（2021·安徽）随着新冠疫情防控进入常态化，人们的生产生活逐步步入正轨.为拉动消费，某市发行
亿元消费券.为了解该消费券使用人群的年龄结构情况，该市随机抽取了 人，对是否使用过消费券的
情况进行调查，结果如下表所示，其中年龄低于 岁的人数占总人数的 .
年龄（单位：岁）
调查人数
使用消费券人数
（1）求 、 值；
（2）若以“年龄 岁为分界点”，由以上统计数据完成下面 列联表，并判断是否有 的把握认
为是否使用消费券与人的年龄有关.
年龄低于 岁的人数 年龄不低于 岁的人数 合计
使用消费券人数
未使用消费券人数
合计
参考数据：
，其中 .【答案】（1） ， ；（2）列联表答案见解析，有 的把握认为是否使用消费券与人的年龄
有关.
【解析】（1）由题意得 ，解得 ， ；
（2）由以上统计数据填写下面 列联表，如下
年龄低于 岁的人数 年龄不低于 岁的人数 合计
使用消费券人数
未使用消费券人数
合计
根据公式计算 ，
所以有 的把握认为是否使用消费券与人的年龄有关.
4.（2021·安徽六安市·六安一中）某士特产超市为预估2021年元旦期间游客购买土特产的情况，对
2020年元且期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表．
购买金额（元）
人数 10 15 20 15 20 10
（1）根据以上数据完成 列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关．
不小于60元 小于60元 合计
男 40
女 18
合
90
计
（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为P（每
次抽奖互不影响，且P的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次
减10元，中奖3次减15元若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X（元）的分布列并求其
数学期望．参考公式及数据：
，
附表：
0.10
0.150 0.050 0.010 0.005
0
2.70
2.072 3.841 6.635 7.879
6
【答案】（1）列联表见解析，有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关；（2）分布列见解析，
.
【解析】（1） 列联表如下：
不少于60元 少于60元 合计
男 12 40 52
女 18 20 38
合
30 60 90
计
，
因此有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关．
（2）X可能取值为65，70，75，80，且 ．
由题意知：
， ，
， ，
所以X的分布列为
X 65 70 75 80.
