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6.2.2 组合及组合数（精练）
【题组一 组合的概念】
1．下列问题不是组合问题的是 ( )
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？
B．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？
C．集合{a，a，a，…，a}的含有三个元素的子集有多少个？
1 2 3 n
D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？
【答案】 D
【解析】 组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲
参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合
问题，选D.
2.给出下列问题：
(1)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？
(2)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？
(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？
(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？
(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？
(6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？
在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？
【答案】见解析
【解析】(1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题．
(2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．
(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．
(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．
(5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺序，是组合问题．
(6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题．
【题组二 组合数】
1．（2020·山东菏泽·高二期末）已知 ， （ ）
A．1 B．m C． D．0
【答案】D
【解析】 .故选：D
2．（2020·山东莱州一中高二期末）下列等式中，错误的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】通过计算得到选项A,B,D的左右两边都是相等的.对于选项C, ,所以选项C是错误的.故
答案为C.
3． （ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
所以
．故选：B
4．（2020·广东佛山·高二期末）若 ，则 （ ）
A．5 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【解析】∵ ，∴ ，
即 ，求得 ，或 （舍去），故选：A.
5．（多选）（2020·江苏连云港·高二期末）关于排列组合数，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】ABD
【解析】根据组合数的性质或组合数的计算公式 ，可知A，B选项正确；
，而 ，故C选项错误；
，
故D选项正确；故选：ABD.
6．（2020·苏州市第四中学校高二期中）计算 的值为__________．（用数字作
答）
【答案】
【解析】由组合数的基本性质可得
.故答案为： .
7．求值：（1） ；
（2） .
【答案】（1）31464；（2） .
【解析】（1）
（2）
【题组三 组合应用 】
1．（2020·北京高二期末）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取3个不同的数，其和为奇数，则不
同的取法共有（ ）
A．36种 B．40种 C．44种 D．48种
【答案】B【解析】根据题意，将9个数分为2组，
一组为奇数：1､3､5､7､9，一组为偶数：2､4､6､8，
若取出的3个数和为奇数，分2种情况讨论：
①取出的3个数全部为奇数，有 种情况，
②取出的3个数有1个奇数，2个偶数，有 种情况，
则和为奇数的情况有 种.
故选：B.
2．（2020·北京朝阳·高二期末）从3名男生和4名女生中各选2人组成一队参加数学建模比赛，则不同
的选法种数是（ ）
A．12 B．18 C．35 D．36
【答案】B
3×6=18
【解析】先从3名男生中选出2人有 种，再从4名女生中选出2人有 种，所以共有
种，故选： B
3．（2020·新疆乌鲁木齐市第70中高二期中（理））已知集合 ，则集合 各子集中元素
之和为（ ）
A．320 B．240 C．160 D．8
【答案】B
【解析】当集合 的子集为空集时，各元素之和为0；
当集合 的子集含有1个元素时，共有 个集合，1、2、3、4、5各出现1次；
当集合 的子集含有2个元素时，共有 个集合，1、2、3、4、5各出现4次；
当集合 的子集含有3个元素时，共有 个集合，1、2、3、4、5各出现6次；
当集合 的子集含有4个元素时，共有 个集合，1、2、3、4、5各出现4次；
当集合 的子集含有5个元素时，共有 个集合，1、2、3、4、5各出现1次；所以集合 各子集中，1、2、3、4、5各出现了 次，
所以集合 各子集中元素之和为 .
故选：B.
4．（2020·湖北高二月考）2020年春节期间，因新冠肺炎疫情防控工作需要， 、 两社区需要招募
义务宣传员，现有 、 、 、 、 、 六位大学生和甲、乙、丙三位党员教师志愿参加，现将他们
分成两个小组分别派往 、 两社区开展疫情防控宣传工作，要求每个社区都至少安排1位党员教师及
2位大学生，且 由于工作原因只能派往 社区，则不同的选派方案种数为（ ）
A．120 B．90 C．60 D．30
【答案】C
【解析】由于B只能派往M社区，所以分组时不用考虑B.
按照要求分步将大学生和党员教师分为两组，再分别派往两个社区.
第一步：按题意将剩余的5位大学生分成一组2人，一组3人，有 种，
第二步：按题意将3位大学生分成一组1人，一组2人，有 种，
再分别派往两个社区的不同选派种数： 种，
故选：C。
5．（2020·公主岭市第一中学校高二期末（理））已知一个不透明的袋子里共有15个除了颜色外其他质
地完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，若从口袋里一次任取2个球，则“所取得2个球中至少有
1个白球”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】据题意知，所求概率 .故选：B.
6．（2020·全国高三二模）中央电视台总台推出的《中国诗词大会》节目以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为宗旨，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识竞赛，现组委会要
从甲、乙等五位候选参赛者中随机选取2人进行比拼，则甲、乙二人至少有一人被选上的概率为（ ）
A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9
【答案】B
【解析】总的基本事件个数为 ，
甲、乙二人都没有被选上的基本事件有 ，
甲、乙二人都没有被选上的概率为 ，
则甲、乙二人至少有一人被选上的概率为 ，
故选：
7．（2020·浙江高三其他模拟）现准备将6本不同的书全部分配给5个不同的班级，其中甲乙两个班级每
个班至少2本，其他班级允许1本也没有，则不同的分配方案有________种.(用数字作答)
【答案】1220
【解析】由题可知，分配方式可分为以下情况：
甲分2本，乙分4本，则有 种，
甲分3本，乙分3本，则有 种，
甲分4本，乙分2本，则有 种，
甲分2本，乙分3本，剩下的1本分给其它3个班的1个班，则有 种，
甲分3本，乙分2本，剩下的1本分给其它3个班的1个班，则有 种，
甲分2本，乙分2本，剩下的2本分给其它3个班的1个班，则有 种，
甲分2本，乙分2本，剩下的2本分给其它3个班的2个班，则有 种，
则不同的分配方案共有 种.
故答案为：1220.
8．（2018·建水县第六中学高二期中）小明一家想从北京、济南、上海、广州四个城市中任选三个城市作为2018年暑假期间的旅游目的地,则济南被选入的概率是________.
【答案】
【解析】四个城市任选三个城市选择方法有 ；其中有济南入选，从另外三个城市选两个，则有 种
选法根据组合数计算公式得
9．（2020·河北秦皇岛·高二期末）袋中有3个红球，2个白球，现从中取出3个球，则取到的红球个数
为2的概率为_________.
【答案】
【解析】从 个球中取 个球的情况数有： 种，
个球中有 个红球的情况数有： 种，
所以取到的红球数为 的概率为： ，故答案为： .
10．（2020·沙坪坝·重庆南开中学高三月考）2020年国庆档上映的影片有《夺冠》，《我和我的家乡》，
《一点就到家》，《急先锋》，《木兰·横空出世》，《姜子牙》，其中后两部为动画片．甲、乙两位同
学都跟随家人观影，甲观看了六部中的两部，乙观看了六部中的一部，则甲、乙两人观看了同一部动画片
的概率为________．
【答案】
【解析】甲观看了六部中的两部共有 种，
乙观看了六部中的一部共有 种，
则甲、乙两人观影共有 种，
则甲、乙两人观看同一部动画片共有 种，所以甲、乙两人观看了同一部动画片的概率为 ，
故答案为：
11．（2020·湖南长沙一中）已知7件产品中有5件合格品，2件次品.为找出这2件次品，每次任取一件
检验，检验后不放回，则“恰好第一次检验出正品且第五次检验出最后一件次品”的概率为______.
【答案】
【解析】由题意，7件产品中有5件合格品，则两件次品的位置，共有 种取法，
因为恰好第五次取出最后一件次品，可得另一件次品只能排2，3，4位，
共有 种取法，所以概率为 .故答案为： .
12．（2020·浙江温州）一个盒子里装有7个大小､形状完成相同的小球，其中红球4个，编号分别为1，
2，3，4，黄球3个，编号分别为1，2，3，从盒子中任取4个小球，其中含有编号为3的不同取法有
________种.
【答案】30
【解析】从反面考虑，总数为 ,不含有编号为3的总数为 ,所以含有编号为3的总数为 .
故答案为：30.
13．（2020·河南高三其他模拟）非典和新冠肺炎两场疫情告诉我们：应坚决杜绝食用野生动物，提倡文
明健康，绿色环保的生活方式.在我国抗击新冠肺炎期间，某校开展一次有关病毒的网络科普讲座.高三年
级男生60人，女生40人参加.按分层抽样的方法，在100名同学中选出5人，则男生中选出________人.
再从此5人中选出两名同学作为联络人，则这两名联络人中男女都有的概率是________.（第1空2分，第
2空3分）
【答案】3
【解析】按分层抽样的方法，在100名同学中选出5人，则男生中选 人，女生中选2人；从此5人中选出两名同学作为联络人，设这两名联络人中男女都有为事件A，
则 .
故答案为：3；
