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6.2.1 排列及排列数（精练）
【题组一 排列数】
1（2020·新疆）已知 ，则 （ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【解析】∵ ，∴ ，整理，得， ；
解得 ，或 (不合题意，舍去)；∴ 的值为12.
故选：B.
2．设m∈N*，且m＜25，则（20﹣m）（21﹣m）…（26﹣m）等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，（20﹣m）（21﹣m）…（26﹣m） ，故选：A．
3．（2021·江苏常州·高二期末）（多选）由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成无重复数
字的五位数，其中偶数的个数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A，如果个位是0，则有 个无重复数字的偶数；如果个位不是0，则有 个无重
复数字的偶数，所以共有 个无重复数字的偶数，故A正确；
对于B，由于 ，所以 ，故B正确；
对于C，由于 ，所以 ，故C错误；对于D，由于 ，故D正确.
故选：ABD.
4．（2020·山东莱州一中）下列等式中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】通过计算得到选项A,B,D的左右两边都是相等的.对于选项C, ,所以选项C是错误的.故
答案为C.
5．（2020·靖远县第四中学）若 ，则 的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解析】由 ，得 ，且
所以 即 或 舍去）.
故选：A
6．（2020·海南枫叶国际学校）设 ， ，则等式 中
______ ．
【答案】
【解析】 ， ，解得： .
故答案为： .
7．（2020·江苏宿迁·高二期中）已知 ，那么 ________.
【答案】7【解析】∵ ，∴ ， ，
化为： ，解得 ，故答案为：7.
8．（2021·江苏）已知 ，则 为__________.
【答案】77
【解析】 已知 ， ， ， ，
，
则 .故答案为：77．
9．（2021·浙江余姚中学）已知则 ，则 ________；计算 ________.
【答案】12 726
【解析】(1) ，即 ，所以 ；
(2)由题可知， ，
所以
故答案为：(1). 12 (2). 726
12．（1）解不等式 ；
（2）解方程 .
【答案】（1）8(2)3
【解析】（1）由 ，得 ，
化简得x2－19x＋84<0，解之得7<x<12，①
又 ∴2<x≤8，②
由①②及x∈N*得x＝8.（2）因为 所以x≥3， ，
由 得(2x＋1)2x(2x－1)(2x－2)＝140x(x－1)(x－2).
化简得，4x2－35x＋69＝0，解得x＝3， (舍去).
1
所以方程的解为x＝3.
【题组二 排队问题】
1．（2020·江西九江一中）5人随机排成一排，其中甲、乙不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将5人随机排成一列，共有 种排列方法；
当甲、乙不相邻时，先将5人中除甲、乙之外的3人排成一列，然后将甲、乙插入，
故共有 种排列方法，
则5人随机排成一排，其中甲、乙不相邻的概率为 .
故选：C.
2．（2020·灵丘县豪洋中学）5名同学合影，其中3位男生，2位女生，站成了一排，要求3位男生不相
邻的排法有（ ）
A．12种 B．10种 C．15种 D．9种
【答案】A
【解析】首先排女生，再排男生，然后再根据插空法可得：
.
故选：A
3．（2021·河南））三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两
名女生相邻，则不同的站法共有( )
A．72种 B．108种 C．36种 D．144种【答案】D
【解析】：先将男生甲与男生乙“捆绑”，有 种方法，
再与另一个男生排列，则有 种方法，
三名女生任选两名“捆绑”，有 种方法，
再将两组女生插空，插入男生3个空位中，则有 种方法，
利用分步乘法原理，共有 种.
故选：D．
4．（2020·渝中·重庆巴蜀中学高三月考）在新冠肺炎疫情防控期间，某记者要去武汉4个方舱医院采访，
则不同的采访顺序有（ ）
A．4种 B．12种 C．18种 D．24种
【答案】D
【解析】由题意可得不同的采访顺序有 种，故选：D.
5．（2020·湖南永州·高三月考）某县政府为了加大对一贫困村的扶贫力度，研究决定将6名优秀干部安
排到该村进行督导巡视，周一至周四这四天各安排1名，周五安排2名，则不同的安排方法共有（ ）
A．320种 B．360种 C．370种 D．390种
【答案】B
【解析】由题意分步进行安排：
第一步：从6名优秀干部中任选4人，并排序到周一至周四这四天，有 种排法；
第二步：剩余两名干部排在周五，只有1种排法.
故不同的安排方法共有 种.
故选：B.
6．（2020·重庆）6月，也称毕业月，高三的同学们都要与相处了三年的同窗进行合影留念.现有4名男
生、2名女生照相合影，若女生必须相邻，则有（ ）种排法.
A．24 B．120 C．240 D．140
【答案】C【解析】将2名女生捆绑在一起，当作1个元素，与另4名男生一起作全排列，有 种排法，而2
个女生可以交换位置，所以共有 排法，故选：C.
7．（2021·河南）某校迎新晚会上有 个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须
排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】A
【解析】先考虑将丙、丁排在一起的排法种数，
将丙、丁捆绑在一起，与其他四人形成五个元素，排法种数为 ，
利用对称性思想，节目甲放在前三位或后三位的排法种数是一样的，
因此，该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有 种，故选A.
8．（2020·莒县教育局教学研究室高二期中）3名男生､3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相
邻的排法种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意男生一起有 排法，女生一起有 排法，一共有 种排法，
故选：C.．
9．（2021·甘肃兰州一中）有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新
员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案．(用数字作答)
【答案】
【解析】将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为
从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有 ＝5×4×3＝60(种)．
10（2020·北京高二期末）某年级举办线上小型音乐会，由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲
必须排在前两位，节目丙必须排在节目乙的下一个，则该小型音乐会节目演出顺序的编排方案共有______种.(用数字作答)
【答案】42
【解析】由题意知，甲的位置影响乙的排列，
∴①甲排在第一位共有 种，
②甲排在第二位共有 种，
∴故编排方案共有 种.
故答案为：42.
11．（2020·江苏省太湖高级中学）已知4名学生和2名教师站在一排照相，求：
（1）两名教师必须排中间，有多少种排法？
（2）两名教师必须相邻且不能排在两端，有多少种排法？
【答案】（1）48种；（2）144种.
【解析】解：（1）先排教师有 种方法，再排学生有 种方法，
则 ，
答：两名教师必须排中间，共有48种排法.
（2） ，
答：两名教师必须相邻且不能排在两端，共有144种排法.
12．（2021·防城港市防城中学）5个男同学和4个女同学站成一排
（1）4个女同学必须站在一起，有多少种不同的排法？
（2）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
（3）其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？
（4）男生和女生相间排列方法有多少种？
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） .
【解析】（1）4个女同学必须站在一起，则视4位女生为以整体，
可得排法为 ；
（2）先排5个男同学，再插入女同学即可，所以排法为：
；（3）根据题意可得排法为： ；
（4）5个男生中间有4个空，插入女生即可，
故有排法 .
13．（2020·吉林油田第十一中学高三月考（理））一场小型晚会有 个唱歌节目和 个相声节目，要求
排出一个节目单．
（1） 个相声节目要排在一起，有多少种排法？
（2）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？
（3）前 个节目中要有相声节目，有多少种排法？
（要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示）
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】（1）把两个相声节目捆绑在一起作为一个节目与其他节目排列共有排法 ；
（2）选两个唱歌节目排在首尾，剩下的3个节目在中间排列，排法为 ；
（3）5个节目全排列减去后两个都是相声的排法，共有 ．
14（2020·江苏省前黄高级中学高二期中）3男3女共6个同学排成一行．
（1）女生都排在一起，有多少种排法？
（2）任何两个男生都不相邻，有多少种排法？
（3）男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2名女生，女生又不能排在队伍的两端，有多少种排法？
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】（1）将3名女生看成一个整体，就是 个元素的全排列，有 种排法，
又3名女生内部有 种排法，所以共有 种排法.
（2）女生先排，女生之间以及首尾共有 个空隙，
任取其中 个安插男生即可，
所以任何两个男生都不相邻的排法共有 种排法.（3）先选 个女生排在男生甲、乙之间，有 种排法，
又甲、乙有 种排法，这样就有 种排法，
然后把他们 人看成一个整体（相当于一个男生），
这一元素以及另 名男生排在首尾，有 种排法，
最后将余下的女生排在中间，有 种排法，
故总排法为 种排法，
【题组三 数字问题】
1．（2020·江苏高二期中）由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是（
）
A．36 B．72 C．600 D．480
【答案】D
【解析】根据题意将 进行全排列，再将 插空得到 个.故选： .
2．（2021·龙港市第二高级中学）用1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数，三个奇数中仅有两
个相邻的五位数有________.
【答案】72
【解析】用1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数，共有 个；
三个奇数中仅有两个相邻；其对立面是三个奇数都相邻或者都不相邻；
当三个奇数都相邻时，把这三个奇数看成一个整体与2和4全排列共有 个；
三个奇数都不相邻时，把这三个奇数分别插入2和4形成的三个空内共有 个；
故符合条件的有 ；
故答案为： ．
3．（2020·上海浦东新·华师大二附中高二期中）由0，1，2，3组成的没有重复数字的四位数有
________个；
【答案】18；
【解析】因为第一个数字不能为0，所以先排第一个数字，再把剩下的三个数字排列，则一共有种排法.故答案为：18.
4．（2020·南开大学附属中学高三月考）由 组成没有重复数字且 都不与 相邻的六位偶数
的个数是________
【答案】108
【解析】先确定个位数为偶数，有3种方法，再讨论：若5在首位或十位，则1，3有三个位置可选，其排
列数为 ;若5在百位、千位或万位，则1，3有两个位置可选，其排列数为 ;从而所
求排列数为
5．（2021·康保衡水一中联合中学）用数字 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为
____ ．
【答案】
【解析】要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排 中的一个数，共有3种排法，然后还剩 个数，
剩余的 个数可以在十位到万位 个位置上全排列，共有 种排法，
由分步乘法计数原理得，由 组成的无重复数字的五位数中奇数有 个.故答案为： .
6（2020·湖北武汉为明学校）用0，1，2，3这4个数字组成是偶数的四位数，这样的数共有_____个.
【答案】
【解析】解：个位是0，有 个；个位不是0，有 个，故共有 个．故答案为： .
7．（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）把1､2､3､4､5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们
按由小到大的顺序排成一个数列.
（1）45312是这个数列的第几项？
（2）这个数列的第71项是多少？
（3）求这个数列的各项和.
【答案】（1）第95项；（2）第71项是3开头的五位数中第二大的数；（3） .
【解析】（1）先考虑大于45312的数，分为以下两类：第一类5开头的五位数有：
第二类4开头的五位数有：45321一个
∴不大于45312的数有： (个)
即45312是该数列中第95项.
（2）1开头的五位数有：
2开头的五位数有：
3开头的五位数有：
共有 (个).
所以第71项是3开头的五位数中第二大的数，即35412.
（3）因为1，2，3，4，5各在万位上时都有 个五位数，
所以万位数上的数字之和为
同理，它们在千位，百位，十位，个位上也都有 个五位数，
所以这个数列的各项和为 .
8．（2021·黄梅国际育才高级中学高二期中（理））用 、 、 、 、 这五个数字组成无重复数字的
自然数．
（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
（2）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹
数”，如 、 等都是“凹数”，试求“凹数”的个数．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）偶数分为二类：
若个位数 ，则共有 个；若个位数是 或 ，则首位数不能为 ，则共有 个；
所以，符合条件的三位偶数的个数为 ；
（2）“凹数”分三类：
若十位是 ，则有 个；
若十位是 ，则有 个；
若十位是 ，则有 个；
所以，符合条件的“凹数”的个数为 ．
