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长郡中学 2024 年下学期高一期中考试
数学
命题人：陈家烦､谭泽阳 审题人：毛水 审核人：陈家烦
时量：120分钟 满分：150分
得分__________
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）
1.已知 ，若集合 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.下列命题是全称量词命题且为真命题的是（ ）
A. B.菱形的两条对角线相等
C. D.一次函数的图象是直线
3.设全集 ，集合 ，则下图中的阴影部分表示的集合是（
）
A. B. C. D.
4.若函数 在 上是单调函数，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.已知关于 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为（
）
A. B. 或
C. D.6.已知关于 的不等式 在区间 上恒成立，则实数 的最小值为（ ）
A.1 B. C.2 D.
7.17世纪初，约翰•纳皮尔为了简化计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把
笛卡尔的坐标系､纳皮尔的对数､牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明.我们知道，任
何一个正实数 可以表示成 的形式，这便是科学记数法，若两边取常用对数，
则有 .现给出部分常用对数值（如下表），则可以估计 的最高位的数值为（ ）
真
2 3 4 5 6 7 8 9 10
数
（
近
0.30103 0.47712 0.60206 0.69897 0.77815 0.84510 0.90309 0.95424 1.000
似
值
）
A.6 B.7 C.8 D.9
8.已知函数 是 上的奇函数，且当 时， ，函数 若
，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.已知 ，且 ，函数 与 的图象可能是（ ）
A. B.C. D.
10.已知函数 ，则（ ）
A. 的定义域为
B. 在定义域内单调递减
C. 的最大值为
D. 的图象关于直线 对称
11.已知函数 是定义在 上的函数，其中 是奇函数， 是偶函数，且
，若对于任意 ，都有 ，则实数 可以为（ ）
A.1 B. C.2 D.3
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.若幂函数 满足 ，则 的值为__________.
13.某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过最初含量 的 .已知在过滤过程
中废气中的污染物含量 （单位：毫克/升）与过滤时间 （单位：小时）之间的函数关系为 （
均为正常数）.如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了 ，那么排放前至少还需要过滤的
时间是__________小时.
14.已知函数 的定义域为 为偶函数，对任意的 ，当 时，
，则关于 的不等式 的解集为__________.（用区间表示）
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15.（本小题满分13分）（1）计算 ；
（2）若 ，求 的值.
16.（本小题满分15分）
已知集合 .
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求 的取值范围.
17.（本小题满分15分）
已知函数 是定义在 上的奇函数，且 .
（1）求 的值；
（2）判断函数 在 上的单调性并加以证明；
（3）解不等式 .
18.（本小题满分17分）
已知函数 .
（1）若 ，求函数 在区间 上的值域；
（2）若 ，求证： ，并求
的值；
（3）令 ，则 ，已知函数 在区间 上有零点，求实
数 的取值范围.
19.（本小题满分17分）
我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.如果一个数列的项是
有限个，那么称这样的数列为有穷数列.已知有穷数列 .若数列 中各项都是集合 的元素，则称该数列为 数
列.对于 数列 ，定义如下操作过程 ：从 中任取两项 ，将 的值添在 的最后，然后删
除 ，这样得到一个 项的新数列 （约定：一个数也视作数列）.若 还是 数列，可继续实施
操作过程 ，得到的新数列记作 ，如此经过 次操作后得到的新数列记作 .
（1）设 数列 ，请写出 的所有可能的结果；
（2）求证：对于一个 项的 数列 实施操作过程 ，总共可以实施 次；
（3）设 数列 ，求 的可能结果，并说明理由.长郡中学 2024 年下学期高一期中考试
数学参考答案
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C B C B D A
7.D 【解析】设 ，因为
，所以 0.98369.由表格可知，
，所以 的最高位的数值为9.故选D.
8.A 【解析】 函数 是 上的奇函数，且当 时， ，
当 时 ，则 ，
又 ，即又
当 时， ，则 在 上单调递增，
当 时， ，则 在 上单调递增，
的图象如图所示，
函数 在区间 上单调递增，
，
即 ，
.
故选A.
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
题号 9 10 11
答案 BC AD ACD
10.AD 【解析】 ，定义域为 .令
，
则 .因为二次函数 的图象的对称轴为直线 ，又 的定义域为 ，
所以 的图象关于直线 对称，且在 上单调递增，在 上单调递减.
当 时， 有最大值，所以 .故选AD.11.ACD 【解析】根据题意， ，则 ，
两式相加可得 ，
又因为 是定义在 上的奇函数， 是定义在 上的偶函数，所以 ，
若对于任意 ，都有 ，则变形可得 ，
即 ，
令 ，则 在区间 上单调递增，
若 ，则 在 上单调递减，不满足题意；
若 ，则 是对称轴为 的二次函数，
若 在区间 上单调递增，则只需 解得 ，
所以 的取值范围为 ，则 可以取 .故选ACD.
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.16
13.5 【解析】依题意，过滤5小时，污染物数量 ，于是得 ，解得
，
排放污染物时， ，即 ，解得 ，
所以排放前至少还需要过滤的时间是5小时.故答案为5.
14. 【解析】 为偶函数，其图象关于 轴对称， 关于 对称，
又当 时， 在 上为增函数，故不等式 可等价为 ，即 ，
当 时，不等式为 ，即 ，无解，
当 时，不等式为 ，即 ，
即 ，解得 .故答案为 .
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15.【解析】（1）原式
.
（2）由题意得 ，得 ，
同理 ，故 .
16.【解析】（1） 或 ，当 时，
或 ， .
（2）当 时，满足条件 ，
此时有 ，无解，故 ；
由 得 解得 .
所以 的取值范围是 .
17.【解析】（1）由题意可知 .得 ，经检验成立.（2）由（1）可知 ，设 ，
则 ，
，
，即 ，
在 上单调递减.
（3）由题易知 ，又 ，
由（2）可知 在 上单调递减，
解得 ，
不等式 的解集为 .
18.【解析】（1）
，
易知当 时，函数 为增函数，
则函数 的最大值为 ，函数 的最小值为 函数 的值域为 .
（2）若 ，则 ，
，
设 ，则 ，
两式相加得 ，即 ，则 ，
故 .
（3） ，设 ，当 时， ，
则函数 等价于 ，
若函数 在区间 上有零点，则等价于 在 上有零点，
即 在区间 上有解，
在区间 上有解，1
，
设 ，则 ，
又 在区间 上单调递增，
当 时， ，当 时， ，
，即 .
实数 的取值范围是 .
19.【解析】（1） 有如下的三种可能结果： .（2）因为 ，有 且 ，
所以 ，即每次操作后新数列仍是 数列.
又因为每次操作中都是增加一项，删除两项，所以对 数列 每操作一次，项数就减少一项，所以对 项
的 数列 总共可进行 次操作（最后只剩下一项）.
（3）由（2）可知 中仅有一项.
对于满足 的实数 定义运算： ，下面证明这种运算满足交换律和结
合律：因为 ，且 ，所以 ，即该运算满足交换律；
又因为 ，
且 ，
所以 ，即该运算满足结合律.
所以 中的项与实施的具体操作过程无关.
选择如下操作过程求 ：
由（1）可知 ；
易知
所以 的其中一种结果为 ；易知 经过4次操作后剩下一项为 .
综上可知： .
