文档内容
2024 年度广东佛山市石门中学高三 1 月调研
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求．
i3
1．复数z = 在复平面内所对应的点位于（ ）
1−2i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合A={x|0≤x≤2}，B={x|ak|f（x ）－f（x ）|（k为常数）成
1 2 1 2 1 2
立，则常数k的取值范围为（ ）
∃
A．（－∞，e） B．（－∞，e] C．（－∞，2e2） D．（－∞，2e2]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
学科网（北京）股份有限公司要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．在正方体ABCD－A B C D 中，M，N，P分别是平面ABB A 、平面A B C D 、平面ADD A 的中心，则
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
下列结论正确的是（ ）
A．NP∥DC B．MN∥平面ACP
1
C．D C⊥平面MNP D．PM与BC 所成的角是60°
1 1
10．已知点O为坐标原点，直线y=x－1与抛物线C：y2=4x相交于A，B两点，则（ ）
A．|AB|=8
B．OA⊥OB
C． AOB的面积为2 2
A E
D．线段AB的中点到抛物线准线的距离为4
△
1 1
11．定义在R上的函数f（x）满足f（x＋3）＋f（x＋1）=f（2），f（2－x）=f（x＋4），若 f = ，则
2 2
（ ）
1
A．f（x）是周期函数 B． f ( 2022 )=
2
200 1
C．f（x）的图象关于直线x=1对称 D．∑ kf k − =−100
2
k=1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知单位向量a，b满足|a+b = a−2b|，则a与b的夹角为________．
x2 y2 2 5
13．已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线
a2 b2 5
y=2x＋1相切，则a=________．
14．已知正四面体A－BCD的棱长为6，P是四面体A－BCD外接球球面上的动点，Q是四面体A－BCD内切
球球面上的动点，则PQ的取值范围是________．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
2a a
15．已知数列{a }满足a =2，且 n = n−1 （n≥2，n∈N*）．
n 1
3n+1 3n−2
a
（1）证明 n 是等比数列，并求{a }的通项公式；
n
3n+1
（2）求{a }的前n项和S .
n n
2π
16.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，∠ABC = ，AB=1.
3
学科网（北京）股份有限公司（1）若AC = 7，求 ABC的面积；
π
（2）若∠ADC = ,C△D =2 3，求tan∠CAD.
3
17．为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，
每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛
后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率
3 1
均为 ，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为 ．（注：比赛结果没有平局）
4 2
（1）求甲队明星队员M在前四局比赛中不出场的前提下，甲、乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；
（2）求甲、乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；
（3）若已知甲、乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员M上场的概率．
18．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有表有广，而上有表无广刍，草也，甍，屋盖
也”．翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部有长没有宽为一条棱；刍甍为茅草屋顶”，现将一个正方形折叠成一
个“刍甍”，如图1，E，F，G分别是正方形的三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角
形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB，CG，就得到了一个“刍甍”，如图2.
（1）若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO∥平面GCF；
2π
（2）若二面角A—EF—B的大小为 ，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值．
3
19．已知各项均为正数的等比数列{a }满足a =3，a ＋a =36，数列{b }的前n项和S 满足3S ＋n2=3nb ＋n，
n 1 2 3 n n n n
2
b = .
1 3
（1）求数列{a }和{b }的通项公式；
n n
（2）若存在正整数n，使得27b3−8Ma ≥0成立，求实数M的取值范围(3 3 ≈1.4,ln3≈1.1)．
n n
学科网（北京）股份有限公司2024 年度广东佛山市石门中学高三 1 月调研
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求．
1．答案 D
−i −i(1+2i) 1 2 2 1
解析 因为z = = = − i+ ，所以复数z在复平面内所对应的点 ,− 位于第四象
1−2i (1−2i)(1+2i) 5 5 5 5
限．故选D．
2．答案 B
解析 若 x∈A，都有x∈B，则A B，由已知可得a<0．故选B．
3．答案 A
∀ ⊆
2
解析 因为函数g（x）=x为奇函数，所以h(x)=a+ 为奇函数，所以h（0）=a＋1=0，即a=－1．故选
1+2x
A．
4．答案 D
解析 设事件A表示“从第一箱中取出1个零件”，事件B表示“取出的零件是次品”，则
1 2
×
P(AB) 4
2 5
P(A B)= = = ．故选D．
P(B) 1 2 1 3 7
× + ×
2 5 2 10
5．答案 A
π 3 3 2 4 π π α π
解析 由α∈ ,π ,sinα= ，得cosα= − 1−sin2α= − 1− = − , <α<π,∴ < < ，
2 5 5 5 2 4 2 2
4
1+
−
α α 1+cosα 5 10 α α 10
则cos >0，即cos = = = ,∴cos π− = −cos = − ．故选A．
2 2 2 2 10 2 2 10
6．答案 C
解析 因为AF =λFB，所以点A，B，F 共线，设|AF |=t，则|AF |=2a－t=4－t，所以
1 1 1 1 2
( )
t2 +(4−t)2 =(2 2)2，解得t=2，即|AF |=|AF |=2，不妨设A 0, 2 ，则直线AB的方程为y = x+ 2，联
1 2
4 2
y = x+ 2, x =0, x =− 3 , 4 2 2
立
x2
+
y2
=1,
解得
y = 2
或
2
则B
−
3
,−
3
，因为AF
1
=λF
1
B，所以
4 2 y =− ,
3
2
λ= =3．故选C．
2
3
学科网（北京）股份有限公司7．答案 C
解析 依题意，a =a =1，a =a ＋a ，有a =a －a ，于是a2 =a ( a −a )=a a −a a ，
1 2 n＋2 n＋1 n n＋1 n＋2 n n+1 n+1 n+2 n n+2 n+1 n+1 n
2023
而a2 =a a ，因此∑ a2 =a a +( a a −a a )+( a a −a a )+…+( a a −a a )=a a ，
1 2 1 n 2 1 3 2 2 1 4 3 3 2 2024 2023 2023 2022 2024 2023
n=1
a2＋a2＋…＋a2 a2＋a2＋…＋a2
则 1 E2 2023 =a ，所以 1 E2 2023是斐波那契数列的第2024项．故选C．
EAAEAAEA a 2023E A 2024 AAEAAEAAEA a 2023E A
8．答案 C
解析 显然x ≠x ，不妨设x >x ，因为f（x）=lnx，g（x）=ex在定义域上单调递增，则g（x ）－g（x ）>k[f
1 2 1 2 1 2
（x ）－f（x ）]，即g（x ）－kf（x ）>g（x ）－kf（x ）．令h（x）=g（x）－kf（x），x∈[1，2]，则h（x ）>h
1 2 1 1 2 2 1
k k
（x ），即函数h（x）在[1，2]上存在单调递增区间，又h′(x)=ex − ，则ex − >0在[1，2]上有解，则xex>k
2
x x
在[1，2]上有解．令m（x）=xex，x∈[1，2]，则m′（x）=（1＋x）ex>0，所以m（x）在[1，2]上单调递增，所
以m（x） =m（2）=2e2，所以k<2e2，即常数k的取值范围为（－∞，2e2）．故选C．
max
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选
对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．答案 ABD
解析 连接A C ，A D，则NP是 A C D的中位线，∴NP∥DC ，故A正确；连接AC，AD ，B D ，B A，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
则MN∥AD ，MN 平面ACD ，AD 平面ACD ，∴MN∥平面ACD ，即MN∥平面ACP，故B正确；平面
1 1 △1 1 1
MNP即为平面B AD ，显然D C不垂直于平面B AD ，故C错误；连接BD，∵PM∥B D ∥BD，∴∠DBC
1 1 1 1 1 1 1 1
⊄ ⊂
或其补角为PM与BC 所成的角，又∠DBC =60°，故D正确．故选ABD．
1 1
10．答案 ACD
y = x−1,
解析 由 得y2－4y－4=0，所以Δ=16＋16=32>0，设A（x ，y ），B（x ，y ），则y ＋y =4，y y =
y2 =4x 1 1 2 2 1 2 1 2
学科网（北京）股份有限公司16
－4，所以x ＋x =y ＋1＋y ＋1=4＋2=6，x x = =1，则 AB = 1+k2 ⋅ ( x + x )2 −4x x = 1+1
1 2 1 2 1 2 16 1 2 1 2
× 36−4 =8，A正确；因为OA⋅OB = x x + y y = −3≠0，所以OA⊥OB不成立，B错误；因为点（0，
1 2 1 2
1 1 1 x + x
0）到直线x－y－1=0的距离为 ，所以S = × ×8=2 2，C正确；因为 1 2 =3，所以线段
2
△AOB
2 2 2
AB的中点到准线x=－1的距离为4，D正确．故选ACD．
11．答案 ACD
解析 因为 x∈R，f（x＋3）＋f（x＋1）=f（2），所以f（x＋1）＋f（x－1）=f（2），所以f（x＋3）=f（x
－1），即f（x＋4）=f（x），所以f（x）是周期为4的周期函数，A正确；在f（x＋3）＋f（x＋1）=f（2）
∀
中，令x=－1，得f（2）＋f（0）=f（2），则f（0）=0，因为f（2－x）=f（4＋x）=f（x），所以f（x）的图
象关于直线x=1对称，C正确；因为f（0）=0，所以f（2）=f（0）=0，所以f（2022）=f（2）=0，B错误；
9 1 3 1
由函数的对称性与周期性可得 f = f = f = ，因为f（x＋3）＋f（x＋1）=f（2）=0，即f（x
2 2 2 2
7 3 1 5 1 1
＋3）=－f（x＋1），所以 f =−f =− , f =−f =− ，
2 2 2 2 2 2
200 1 1 3 5 7 399
则∑ kf k − = f +2f +3f +4f +…+200f =
2 2 2 2 2 2
k=1
1 1
[(1＋2－3－4)＋(5＋6－7－8)＋…＋(197＋198－199－200)]= ×(−4×50)= −100，D正确．故选
2 2
ACD．
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
π
12．答案
3
2 2 2 2 1
解析 由题意得a +2a⋅b+b =a −4a⋅b+4b ，又|a|=|b|=1，得a⋅b= ，设向量a与b的夹角为 θ，
2
a⋅b 1 π
则cosθ= = ，因为θ∈[0，π]，所以θ= ．
|a||b| 2 3
13．答案 1
解析 以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆的方程为x2＋y2=b2，直线y=2x＋1的一般式为2x－y＋1=0，
1 1 x2 y2 2 5
根据点到直线的距离公式，得b= = ，又椭圆 + =1的离心率为 ，∴
22 +(−1)2 5 a2 b2 5
1
b= ,
5 a =1,
c 2 5 5
e= = ,解得b= ,
a 5 5
a2 −b2 =c2, 2 5
c = .
5
14．答案 [ 6,2 6]
解析 如图，AE是正四面体A－BCD的高，由对称性知其外接球与内切球的球心重合，为O，且在AE上，E
学科网（北京）股份有限公司2 3
是底面正三角形BCD的中心，BE = × ×6=2 3,AE = 62 −(2 3)2 =2 6，设外接球的半径为R，
3 2
3 6
即OA=OB=R，由OB2=OE2＋BE2，得R2 =(2 6 −R)2 +(2 3)2，解得R = ，因此内切球的半径为
2
6
r =OE = ，显然有|OP－OQ|≤PQ≤OP＋OQ，即R－r≤PQ≤R＋r，又R+r =2 6,R−r = 6，所以
2
6 ≤ PQ ≤2 6 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
2a a a 1 a 1 a
15．解 （1）当n≥2时，由 n = n−1 可得 n = × n−1 = × n−1 ，
3n+1 3n−2 3n+1 2 3n−2 2 3(n−1)+1
a 2 1
又 1 = = ，
3×1+1 4 2
a 1 1
所以 n 是首项为 ，公比为 的等比数列，
3n+1 2 2
a 1 1
n−1
1 3n+1
所以 n = × = ，即a = ．
3n+1 2 2 2n n 2n
4 7 10 3n+1
（2）S =a +a +…+a = + + +…+ ，
n 1 2 n 2 22 23 2n
1 4 7 10 3n−2 3n+1
则 S = + + +…+ + ，
2 n 22 23 24 2n 2n+
1 1 1 1 1 3n+1
两式相减得 S =2+3 + + +…+ −
22 n 22 23 24 2n 2n+1
1 1
1−
4 2n− 3n+1
=2+3× −
1 2n+1
1−
2
7 3n+7
= − ，
2 2n+
3n+7
所以S =7− .
n 2n
学科网（北京）股份有限公司2π
16．解 （1）因为∠ABC = ,AB =1,AC = 7 ，
3
由余弦定理得AC2=AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC，
所以7=1＋BC2＋BC，即BC2＋BC－6=0，解得BC=2，
1 1 3 3
所以S = AB⋅BCsin∠ABC = ×1×2× = ．
△ABC
2 2 2 2
（2）设∠CAD=θ，
在 ACD中，由正弦定理得
AC CD
△ = ，
sin∠ADC sin∠CAD
AC 2 3
所以 = ， ①
π sinθ
sin
3
π π
在 ABC中，∠BAC = −θ,∠BCA=θ− ，
2 6
△ AC AB
由正弦定理，得 = ，
sin∠ABC sin∠BCA
AC 1
即 = . ②
2π π
sin sin θ−
3 6
2 3 1
由①②得 = ，
sinθ π
sin θ−
6
π
即2 3sin θ− =sinθ，
6
3 1
所以2 3 sinθ− cosθ=sinθ，
2 2
3
整理得2sinθ= 3cosθ，所以tan∠CAD = ．
2
17．解 （1）事件B为“甲、乙两队比赛4局，甲队最终获胜”，
事件A 为“甲队第j局获胜”，其中j=1，2，3，4，A 相互独立．
j j
又甲队明星队员M前四局不出场，
( ) 1
故P A = ，j=1，2，3，4，
j 2
B = AA A A + AA A A + AA A A ，
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
4
1 3
所以P(B)=C = ．
3 2 16
（2）设事件C为“甲队3局获得最终胜利”，事件D为“前3局甲队明星队员M上场比赛”，
因为每名队员上场顺序随机，
学科网（北京）股份有限公司3
C2A3 3 3 2
所以P(D)= 4 = ,P(D)=1− = ，
3 5 5 5
A5
5
2 3
1 3 3 1 1
P(C D)= × = ,P(C∣D)= = ，
2 4 16 2 8
3 3 2 1 13
由全概率公式，知P(C)= P(D)P(C∣D)+P(D)P(C∣D)= × + × = ．
5 16 5 8 80
3 3
×
P(CD) P(D)P(C∣D) 9
5 16
（3）由（2），得P(D C)= = = = ．
P(C) P(C) 13 13
80
18．解 （1）证明：取线段CF的中点H，连接OH，GH，如图，
1
由题图1可知，四边形EBCF是矩形，AG = EF，
2
∴O是线段CE的中点，
1
∴OH∥EF且OH = EF，
2
1
又AG∥EF且AG = EF，
2
∴AG∥OH且AG=OH，
∴四边形AOHG是平行四边形，
∴AO∥HG，
又AO 平面GCF，HG 平面GCF，
∴AO∥平面GCF.
⊄ ⊂
（2）由题图1可知，EF⊥AE，EF⊥BE，折起后在题图2中仍有EF⊥AE，EF⊥BE，
∴∠AEB即为二面角A－EF－B的平面角，∴∠AEB=120°，
以E为原点，EB,EF 的方向分别为x轴、y轴正方向建立空间直角坐标系Exyz，如图，
设CB=2EB=2EA=4，则B（2，0，0），F（0，4，0），A(−1,0, 3)，
1
∴FG = FE+EA+ AG = FE+EA+ EF =(−1,−2, 3),BA=(−3,0, 3),FC = EB =(2,0,0)．
2
设平面GCF的法向量为n =(x,y,z)，
n⋅FC =0, 2x =0,
由 得
n⋅FG =0 −x−2y+ 3z =0,
学科网（北京）股份有限公司
取 y = 3，则z=2，故n =(0, 3,2)，
n⋅BA 2 3 7
∴cos n,BA = = = ，
|n||BA| 7×2 3 7
7
∴直线AB与平面GCF所成角的正弦值为 ．
7
19．解 （1）设数列{a }的公比为q，则3q＋3q2=36，即q2＋q－12=0，
n
解得q=3或q=－4（舍去），
所以a =3·3n－1=3n.
n
因为3S ＋n2=3nb ＋n，
n n
所以当n≥2时，3S ＋（n－1）2=3（n－1）b ＋n－1，
n－1 n－1
两式作差得（3n－3）b =3（n－1）b ＋2n－2，
n n－1
2
所以b −b = ，
n n−1 3
2 2
即数列{b }是首项为 ，公差为 的等差数列，
n
3 3
2 2 2
所以b = +(n−1)× = n.
n 3 3 3
n3 n3
（2）27b3−8Ma ≥0⇔ M ≤ ，设c = ，
n n 3n n 3n
则M小于等于数列{c }的最大项．
n
(n+1)3 n3 (n+1)3−3n3
因为c −c = − = ，
n+1 n 3n+1 3n 3n+1
由（n＋1）3>3n3，
得n+1> 3 3n，
1
解得n< ≈2.5，
3 3−1
由（n＋1）3<3n3，
得n+1< 3 3n，
1
解得n> ≈2.5，
3 3−1
33
故数列{c
n
}的最大项是c = =1，
3 33
即M≤1，即实数M的取值范围是（－∞，1]．
学科网（北京）股份有限公司
