高一数学试卷参考答案
题序 ! # $ % & ’ " ( ) !* !! !# !$ !%
%/槡#0!
%
答案 + , , , - + . . ,+.,-.-+. !#!
#
’*!
$
1
)
评分细则"
#!$第!"(题%凡与答案不符的均不得分!
##$第)%!*%!!题%全部选对的得’分%有选错的不得分%每选对一个得#分!
#$$第!#题%其他结果均不得分!
#%$第!$题答对第一空得#分%答对第二空得$分!
#&$第!%题答对第一空得$分%答对第二空得#分!
!!+!!解析"本题考查三角函数的定义与诱导公式#考查数学运算的核心素养!
$槡#
234&1!’51234!51 5槡#!
1$
#!,!!解析"本题考查复数的运算#考查数学运算的核心素养!
&!6槡$0’$5&1#6#槡$0’&!6槡$0’51#&!1槡$0’&!6槡$0’51#7&!6$’51(!
$!,!!解析"本题考查圆台的体积#考查数学运算的核心素养!
!
设该圆台的高为"%则 "&##6#7&’5#’!%解得"5#!
$
%!,!!解析"本题考查向量的模与基本不等式的综合#考查数学运算的核心素养!
$$# & !’# ! !
"#$"5槡"%#6 $%1 5槡!’%#6 1’%槡#槡!’%#( 1’5槡#%当且仅当!’%#
% %# %#
! ! $$#
5 %即%5/ 时%等号成立%所以"#$"的最小值为槡#!
%# #
&!-!!解析"本题考查三角函数的周期性与图象的对称性#考查逻辑推理的核心素养!
& !’ ! "! !
因为函数&&’’589:"’1 &"&*’的图象关于直线’5 对称%所以 1 5(!&(’
’ % % ’
# # #! #!
!’%解得"5 6%(&(’!’!又"&*%所以"% %则&&’’的最小正周期)5 ( 5$!%
$ $ """ #
$
所以&&’’的最小正周期的最大值为$!!
’!+!!解析"本题考查平面向量的基本定理#考查直观想象与逻辑推
理的核心素养!
$$# #$$# # ! $$#
如图%取*+的中点,%连接$,%则$-5 $,5 7 &$+6
$ $ #
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!"#$$%&
书书书$$# ! $$# $$# $$# !$$# #$$# $$# $$# $$# #$$# #$$#
$*’5 &#+1#$6#+’51 #$6 #+%则#-5#$6$-5 #$6 #+!
$ $ $ $ $
"!.!!解析"本题考查三角恒等变换#考查数学运算与逻辑推理的核心素养!
*89:#!5%:04!89:!6#%
由题意得)
& !’
槡#:04#5:04#6 %
+ %
*89:#!1:04#!1%:04!89:! !1234#!1%234!
5 5#%
:04#!689:#! 234#!6!
得)
槡# 槡#
槡#:04#5 :04#6 89:# %
+ # #
* !
234!51!或1 %
解得) $ 当234!51!时%89:#!5*%#在.轴上%舍去!
+234#5!!
234!6234# !
故234&!6# ’5 5 !
!1234!234# #
(!.!!解析"本题考查正四面体与球#考查直观想象与数学运算的核心
素养!
记该正四面体为四面体/#$*%铁球的最大半径为0;<%当铁球的半
径最大时%把四个铁球的球心两两相连%此时构成一个棱长为#0;<
的正四面体1111 !设2为正三角形111 的中心%则125
! # $ % ! # $ %
#槡’
0;<%正四面体1111 的中心1到底面#$*的距离为
$ ! # $ %
#槡’ ! &槡’ ’
07 605 6!0;<!又1也是正四面体/#$*的中心%所以1到底面#$*的距
$ % ’
#槡’ ! 槡’ &槡’ ’ 槡’ 槡’1!
离为 7 5 ;<%即 6!05 %解得05 !
$ % ’ ’ ’ &
)!,+.!!解析"本题考查复数的综合#考查数学运算的核心素养!
!10 &!10’&!1&0’ 1%1’0 # $ 0&!6&0’ 1&60 # $
35 5 5 51 1 0%35 5 %则351 6 0%
! !6&0 #’ #’ !$ !$ # #’ #’ ! !$ !$
& & !’
3 的实部与虚部之和不等于3 的实部%3 在复平面内对应的点为 1 % %该点位于第二象
! # # #’#’
限%,%.均正确%-错误!
槡!$ ! 槡#’ !
因为"3"5 5 %"3"5 5 %所以"3"&"3"%+正确!
! !$ 槡!$ # #’ 槡#’ ! #
!*!,-.!!解析"本题考查诱导公式$三角函数图象的变换以及三角函数的图象与性质#考查数
学运算与逻辑推理的核心素养!
&!’
&&’’5#&1:04#’’89:#’51:04%’%& 5*%,正确!4&’’5&&’65’51:04&%’6
%
! ! (!
%5’%-正确!因为4&’’为偶函数%所以%55 6(!&(’!’%则55 6 &(’!’%又5&
# ( %
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!"#$$%&! & !’
*%所以5的最小值为 %+错误!当5取得最小值时%"&’’51:04%’6:04%’6 5
( #
& !’ ! ! !
1:04%’689:%’51槡#:04%’1 &*,’,!’%由*,’,!%得1 ,%’1 ,%!1 %
% % % %
所以"&’’5&&’’14&’’&*,’,!’的零点个数为%%.正确!
!!!-+.!!解析"本题考查线面角$面面垂直$四面体的体积与外接球的表面积#考查直观想象
与逻辑推理的核心素养!
取#*的中点,%连接+,%$,!因为#+5*+%所以+,-#*!又平
面#$*-平面#*+%平面#$*.平面#*+5#*%所以+,-平面
#$*!因为#$-$*%#$5%%$*5#%所以#*5#槡&!又#+5*+5
! !
槡!*%所以+,5槡&%所以四面体#$*+的体积为 7 7#7%7槡&
$ #
%槡&
5 %,错误!
$
!
因为$,5 #*5槡&5,#5,*5,+%所以四面体#$*+外接球的球心为点,%半径为
#
槡&%所以四面体#$*+外接球的表面积为%!7&槡&’#5#*!%+正确!
因为+,-平面#$*%所以$+与平面#$*所成的角为/+$,!因为$,5,+%所以$+
!
与平面#$*所成的角为 %-正确!
%
过点$作$6-#*%垂足为6%连接+6!因为平面#$*-平面#*+%平面#$*.平面
#*+5#*%所以$6-平面#*+%所以$+与平面#*+所成的角为/$+6%且:04/$+6
$6 #$($* ( % $6
5 !因为$65 5 5 %$+5槡+,#6$,#5槡!*%所以:04/$+65 5
$+ #* #槡& 槡& $+
#槡#
%.正确!
&
!#!!#!!!解析"本题考查圆锥的侧面积与表面积#考查数学运算的核心素养!
依题意可得圆锥,的侧面积为%!%所以圆锥-的底面半径为#%所以圆锥-的表面积为!7
#7%6%!5!#!!
#
!$!%/槡#0!1 !!解析"本题考查一元二次方程的复数根与纯虚数#考查数学运算的核心
)
素养!
由’#1(’6!(5*%得&’1%’#51#5&/槡#0’#%则’5%/槡#0!
! %/槡#0 % #
因为 5 %所以 6%5*%解得%51 !
’ !( !( )
%
!%!’*! !!解析"本题考查解三角形与三角恒等变换的综合#考查逻辑推理与数学运算的核心
$
素养!
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!"#$$%&因为$5#*%所以:04$5:04#*%则:04$5#:04*89:*%则75#889:*%所以#5#8(
#&
6%18#
) ’! #* %
%即8$1 86 5*%则’!81)8$5’*%则&$81%’&$81&’&86$’5*%解得85
& ) $ $
#7 7#
$
& & $ " & %
或 !当85 时%89:*5 %89:#*51 089:$%则$0#*%则80 %故85 !
$ $ & #& $ $
!&!!解析"本题考查平面向量的坐标运算$平行与垂直#向量的新运算以及充要条件#考查数学
运算与逻辑推理的核心素养!
&!’解"因为!5&#%’’%"5&1’%%’%且!-"%所以#7&1’’6’%5*%))))))#分
解得%5#%则"5&1’%#’% ))))))))))))))))))))))))$分
# ’ !*
所以!⊕"5 1 51 ! )))))))))))))))))))))))&分
1’ # $
&#’证明"若!1"%则’.1’.5*!))))))))))))))))))))’分
! # # !
! ’ .
又’. 0*%所以 &’.1’.’5*%即 ! 1 ! 5*%))))))))))))"分
# # ’. ! # # ! ’ .
# # # #
所以!⊕"5*! )))))))))))))))))))))))))))))(分
故!1"是!⊕"5*的充分条件!)))))))))))))))))))))))分
’ .
若!⊕"5*%则 ! 1 ! 5*%))))))))))))))))))))))))!*分
’ .
# #
整理得’.1’.5*%所以!1"!)))))))))))))))))))))!!分
! # # !
故!1"是!⊕"5*的必要条件! )))))))))))))))))))))!#分
综上所述%!1"是!⊕"5*的充要条件!))))))))))))))))))!$分
评分细则"
#!$第&!’问中%解得%5#但未写*"5&1’%#’+%不扣分!
##$第&#’问中%证明过程中未写*!1"是!⊕"5*的充分条件+和*!1"是!⊕"5*的必
要条件+%扣#分!
!’!!解析"本题考查线面平行$垂直的证明#考查空间想象$推理论证能力!
证明"&!’如图%取/#的中点-%连接$-%6-!
!
因为6是/+的中点%所以6-1#+%6-5 #+! ))))#分
#
又底面#$*+为菱形%,是$*的中点%所以6-1$,%6-5$,%
)))))))))))))))))))))))))$分
则四边形$,6-为平行四边形%从而,61$-!))))))&分
因为,62平面/#$%$-3平面/#$%所以,61平面/#$! )
)))))))))))))))))))))))))"分
&#’因为底面#$*+为菱形%/#$*5’*=%,是$*的中点%所以#,-$*%则#,-#+!
))))))))))))))))))))))))))))))))))))分
又/#-平面#$*+%#,3平面#$*+%所以#,-/#! )))))))))))!*分
因为#+./#5#%所以#,-平面/#+! )))))))))))))))))!!分
!高一数学"参考答案!第!!!!%页#共"页$% !!"’()#&!"
!"#$$%&因为/+3平面/#+%所以#,-/+!)))))))))))))))))))!#分
因为#/5#$5#+%6是/+的中点%所以#6-/+!))))))))))))!$分
又#,.#65#%所以/+-平面#,6! ))))))))))))))))))!&分
评分细则"
第&!’问中%未写*,62平面/#$+%扣!分!未写*$-3平面/#$+%扣!分!
!"!!解析"本题考查解三角形与三角恒等变换的综合#考查逻辑推理与数学运算的核心素养!
槡" $
解"&!’因为89:*5 %所以:04*5 !)))))))))))))))))))!分
% %
#槡$ #槡$ $ 槡$
又因为$55#槡$8%所以:04#5 :04*5 7 5 !)))))))))))$分
$ $ % #
!
因为#为锐角%所以#5 !))))))))))))))))))))))))%分
$
槡#!6$
&#’由&!’知:04$5:04*’5:04#89:*6:04*89:#5 ! ))))))’分
(
7:04* ’
由正弦定理得85 5 %)))))))))))))))))))))(分
:04$ 槡#!6$
! ! ’ 槡$ $&槡"1槡$’
所以9 5 78:04#5 7!7 7 5 !)))))))))!*分
4#$* # # 槡#!6$ # (
&#槡$8’# %8#
&$’由余弦定理得5#57#68#1#7889:#57#68#1785 5 %
$ $
整理得$7#1$7818#5*%)))))))))))))))))))))))))!$分
&7’# $7
所以$ 1 1!5*!)))))))))))))))))))))))))!%分
8 8
7 7 $6槡#!
因为 &*%所以 5 !)))))))))))))))))))))))!&分
8 8 ’
评分细则"
#!$第&#’问中%还可以这样解答"
&#槡$8’#
由余弦定理得5#57#68#1#7889:#%则 5!68#18% )))))))))’分
$
槡#!1$
解得85 %)))))))))))))))))))))))))))))(分
#
! $&槡"1槡$’
所以9 5 78:04#5 ! )))))))))))))))))))!*分
4#$* # (
##$第&$’问中%还可以这样解答"
槡#!6$
由&!’知:04$5:04*’5:04#89:*6:04*89:#5 % )))))))!$分
(
7 :04$ $6槡#!
所以 5 5 ! ))))))))))))))))))))))))!&分
8 :04* ’
!高一数学"参考答案!第!!!!&页#共"页$% !!"’()#&!"
!"#$$%&!(!!解析"本题考查相互独立事件的概率#考查逻辑推理与数学运算的核心素养以及应用意识!
& !’
解"&!’由题意可得&&’’5槡$:04"’189:"’6#5#:04"’1 6#!))))))$分
’
#!
因为"’1’"的最小值是!%且"&*%所以 5!%解得"5#!))))))))))&分
! # "
,! #!- ! ,! "!-
&#’因为’’ % %所以#’1 ’ % !))))))))))))))))’分
% $ ’ $ ’
! "! #! &#!’
当#’1 5 %即’5 时%&&’’取得最小值%&&’’ 5& 5!!)))))))(分
’ ’ $ <04 $
! ! ! &!’
当#’1 5 %即’5 时%&&’’取得最大值%&&’’ 5& 5%! ))))))!*分
’ # $ <3> $
,! #!-
故&&’’在 % 上的值域为,!%%-! )))))))))))))))))))!!分
% $
,! #!-
&$’设:5&&’’%’’ % %由&#’可知:’,!%%-!))))))))))))))!#分
% $
,! #!-
不等式5,&&’’-#1&&’’6&5%*在 % 上恒成立%即不等式5:#1:6&5%*在,!%%-
% $
: &: ’
上恒成立%即不等式5% 在,!%%-上恒成立%即5% !)))))))!%分
:#6& :#6&
<3>
: ! ! 槡&
因为 5 ( 5 %当且仅当:5槡&时%等号成立%))))))))))!’分
:#6& & #槡& !*
:6
:
,槡& ’
所以5的取值范围是 %6? ! )))))))))))))))))))))!"分
!*
评分细则"
第&!’问中%得到&&’’5槡$:04"’189:"’6#即可给!分!
!)!!解析"本题考查空间中垂直关系的证明以及二面角$异面直线
所成的角#考查数学建模$直观想象$逻辑推理$数学运算的核
心素养!
&!’证明"连接*+!因为矩形*++* 的周长为(%所以*+
! ! !
6++ 5%%)))))))))))))))))))!分
!
所以该长方体的体积;5#+(*+(++ 5$*+&%1*+’5
!
1$&*+1#’#6!#!))))))))))))))))#分
当*+5#时%; 取得最大值%此时*+5++ %可知矩形
!
*++* 为正方形%则*+ -*+!)))))))))))))))))))))$分
! ! ! !
易证#+-平面*++*%因为*+ 3平面*++*%所以#+-*+ %又#+.*+5+%
! ! ! ! ! ! !
所以*+ -平面#*+!))))))))))))))))))))))))))&分
! !
因为#*3平面#*+%所以*+ -#*!))))))))))))))))))’分
! ! ! !
&#’解"#取*+ 的中点<%连接,<%#<!易证,<1#$%则# %$%,%<四点共面%
! ! ! ! !
所以点6与点<重合! ))))))))))))))))))))))))))"分
因为*+5$++ %所以*+5$%++ 5!%所以#+5*+!连接#*%交$+于点1%则#*-
! !
!高一数学"参考答案!第!!!!’页#共"页$% !!"’()#&!"
!"#$$%&$+! ))))))))))))))))))))))))))))))))))(分
分别取*+%1+的中点=%>%连接6=%>=%6>%则>=11*%所以>=-$+!
易证$+-平面6>=%则$+-6>%所以/6>=为二面角6?$+?*的平面角!)!*分
! $槡# 6= ! #槡# #槡#
计算可得>=5 #*5 %则234/6>=5 5 5 %则%5 !))!!分
% % >= $槡# $ $
%
$连接+@%+,%+@!易证#-1+,%则/+,@ 为异面直线#-与,@ 所成的角
! ! ! ! ! !
&或其补角’! ))))))))))))))))))))))))))))))!#分
设*@5’&*,’,$’!
! ! 槡$"
因为,为棱** 的中点%所以*,5*,5 %所以,@5槡’#6 %+,5 %
! ! # % ! #
+@5槡!*6’#!))))))))))))))))))))))))))))!$分
!
$" !
6’#6 1’#1!*
+,#6,@#1+@# % %
由 余 弦 定 理%得 89: /+,@ 5 ! ! 5
! #+ ! ,(,@ !
槡$"7槡’#6
%
!
51 % )))))))))))))))))))))))))))!%分
槡$"&%’#6!’
!
所以异面直线#-与,@所成角的余弦值为 %))))))))))!&分
!
槡$"&%’#6!’
#槡#
所以异面直线#-与,@所成角的正切值为槡$"7%’#6$’!由槡$"7%’#6$’&)7 %
! $
))))))))))))))))))))))))))))))))))!’分
) $槡$"
解得’#& !因为*,’,$%所以 ,’,$%
$" $"
&$槡$" ’
即线段*@长度的取值范围为 %$ ! )))))))))))))))))!"分
$"
评分细则"
#!$第&!’问中%未写#*3平面#*+%扣!分!
! !
##$第&#’问中%若叙述过程不完整%但作出了二面角6?$+?*的平面角%给!分!
!高一数学"参考答案!第!!!!"页#共"页$% !!"’()#&!"
!"#$$%&
