文档内容
高一数学试卷参考答案
题序 ! # $ % & ’ " ( ) !* !! !# !$ !%
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答案 + , , , - + . . ,+.,-.-+. !#!
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评分细则"
#!$第!"(题%凡与答案不符的均不得分!
##$第)%!*%!!题%全部选对的得’分%有选错的不得分%每选对一个得#分!
#$$第!#题%其他结果均不得分!
#%$第!$题答对第一空得#分%答对第二空得$分!
#&$第!%题答对第一空得$分%答对第二空得#分!
!!+!!解析"本题考查三角函数的定义与诱导公式#考查数学运算的核心素养!
$槡#
234&1!’51234!51 5槡#!
1$
#!,!!解析"本题考查复数的运算#考查数学运算的核心素养!
&!6槡$0’$5&1#6#槡$0’&!6槡$0’51#&!1槡$0’&!6槡$0’51#7&!6$’51(!
$!,!!解析"本题考查圆台的体积#考查数学运算的核心素养!
!
设该圆台的高为"%则 "&##6#7&’5#’!%解得"5#!
$
%!,!!解析"本题考查向量的模与基本不等式的综合#考查数学运算的核心素养!
$$# & !’# ! !
"#$"5槡"%#6 $%1 5槡!’%#6 1’%槡#槡!’%#( 1’5槡#%当且仅当!’%#
% %# %#
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5 %即%5/ 时%等号成立%所以"#$"的最小值为槡#!
%# #
&!-!!解析"本题考查三角函数的周期性与图象的对称性#考查逻辑推理的核心素养!
& !’ ! "! !
因为函数&&’’589:"’1 &"&*’的图象关于直线’5 对称%所以 1 5(!&(’
’ % % ’
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!’%解得"5 6%(&(’!’!又"&*%所以"% %则&&’’的最小正周期)5 ( 5$!%
$ $ """ #
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所以&&’’的最小正周期的最大值为$!!
’!+!!解析"本题考查平面向量的基本定理#考查直观想象与逻辑推
理的核心素养!
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如图%取*+的中点,%连接$,%则$-5 $,5 7 &$+6
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!高一数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$% !!"’()#&!"
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书书书$$# ! $$# $$# $$# !$$# #$$# $$# $$# $$# #$$# #$$#
$*’5 &#+1#$6#+’51 #$6 #+%则#-5#$6$-5 #$6 #+!
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"!.!!解析"本题考查三角恒等变换#考查数学运算与逻辑推理的核心素养!
*89:#!5%:04!89:!6#%
由题意得)
& !’
槡#:04#5:04#6 %
+ %
*89:#!1:04#!1%:04!89:! !1234#!1%234!
5 5#%
:04#!689:#! 234#!6!
得)
槡# 槡#
槡#:04#5 :04#6 89:# %
+ # #
* !
234!51!或1 %
解得) $ 当234!51!时%89:#!5*%#在.轴上%舍去!
+234#5!!
234!6234# !
故234&!6# ’5 5 !
!1234!234# #
(!.!!解析"本题考查正四面体与球#考查直观想象与数学运算的核心
素养!
记该正四面体为四面体/#$*%铁球的最大半径为0;<%当铁球的半
径最大时%把四个铁球的球心两两相连%此时构成一个棱长为#0;<
的正四面体1111 !设2为正三角形111 的中心%则125
! # $ % ! # $ %
#槡’
0;<%正四面体1111 的中心1到底面#$*的距离为
$ ! # $ %
#槡’ ! &槡’ ’
07 605 6!0; $
,! #!-
故&&’’在 % 上的值域为,!%%-! )))))))))))))))))))!!分
% $
,! #!-
&$’设:5&&’’%’’ % %由&#’可知:’,!%%-!))))))))))))))!#分
% $
,! #!-
不等式5,&&’’-#1&&’’6&5%*在 % 上恒成立%即不等式5:#1:6&5%*在,!%%-
% $
: &: ’
上恒成立%即不等式5% 在,!%%-上恒成立%即5% !)))))))!%分
:#6& :#6&
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: ! ! 槡&
因为 5 ( 5 %当且仅当:5槡&时%等号成立%))))))))))!’分
:#6& & #槡& !*
:6
:
,槡& ’
所以5的取值范围是 %6? ! )))))))))))))))))))))!"分
!*
评分细则"
第&!’问中%得到&&’’5槡$:04"’189:"’6#即可给!分!
!)!!解析"本题考查空间中垂直关系的证明以及二面角$异面直线
所成的角#考查数学建模$直观想象$逻辑推理$数学运算的核
心素养!
&!’证明"连接*+!因为矩形*++* 的周长为(%所以*+
! ! !
6++ 5%%)))))))))))))))))))!分
!
所以该长方体的体积;5#+(*+(++ 5$*+&%1*+’5
!
1$&*+1#’#6!#!))))))))))))))))#分
当*+5#时%; 取得最大值%此时*+5++ %可知矩形
!
*++* 为正方形%则*+ -*+!)))))))))))))))))))))$分
! ! ! !
易证#+-平面*++*%因为*+ 3平面*++*%所以#+-*+ %又#+.*+5+%
! ! ! ! ! ! !
所以*+ -平面#*+!))))))))))))))))))))))))))&分
! !
因为#*3平面#*+%所以*+ -#*!))))))))))))))))))’分
! ! ! !
&#’解"#取*+ 的中点<%连接,<%#%连接6=%>=%6>%则>=11*%所以>=-$+!
易证$+-平面6>=%则$+-6>%所以/6>=为二面角6?$+?*的平面角!)!*分
! $槡# 6= ! #槡# #槡#
计算可得>=5 #*5 %则234/6>=5 5 5 %则%5 !))!!分
% % >= $槡# $ $
%
$连接+@%+,%+@!易证#-1+,%则/+,@ 为异面直线#-与,@ 所成的角
! ! ! ! ! !
&或其补角’! ))))))))))))))))))))))))))))))!#分
设*@5’&*,’,$’!
! ! 槡$"
因为,为棱** 的中点%所以*,5*,5 %所以,@5槡’#6 %+,5 %
! ! # % ! #
+@5槡!*6’#!))))))))))))))))))))))))))))!$分
!
$" !
6’#6 1’#1!*
+,#6,@#1+@# % %
由 余 弦 定 理%得 89: /+,@ 5 ! ! 5
! #+ ! ,(,@ !
槡$"7槡’#6
%
!
51 % )))))))))))))))))))))))))))!%分
槡$"&%’#6!’
!
所以异面直线#-与,@所成角的余弦值为 %))))))))))!&分
!
槡$"&%’#6!’
#槡#
所以异面直线#-与,@所成角的正切值为槡$"7%’#6$’!由槡$"7%’#6$’&)7 %
! $
))))))))))))))))))))))))))))))))))!’分
) $槡$"
解得’#& !因为*,’,$%所以 ,’,$%
$" $"
&$槡$" ’
即线段*@长度的取值范围为 %$ ! )))))))))))))))))!"分
$"
评分细则"
#!$第&!’问中%未写#*3平面#*+%扣!分!
! !
##$第&#’问中%若叙述过程不完整%但作出了二面角6?$+?*的平面角%给!分!
!高一数学"参考答案!第!!!!"页#共"页$% !!"’()#&!"
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