数学361C答案_2024年2月_01每日更新_27号_2024届贵州省金太阳高三下学期联考（开学考）（24-361C）_贵州省金太阳2024届高三下学期联考（开学考）（24-361C）数学

高三联考数学参考答案
!!#!"$!%&"’#"!(")&#"则"##$$*%!
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(!#!由题意可得直线%与圆&相切!因为直线%过定原点’"点’在圆&上"所以直线%与直
线’&垂直!因为直线’&的斜率不存在"所以($’!
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+
2
得895!$ 或895!$%!!舍去#!
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取值范围为’’")&#!
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"!.!由题意可得 $(;7< "解得($ "所以-$ ;7< !令+$ ;7< "解得’$
+ (!’’ + + (!’’ + (!’’
0!’’!
0!3!要使制成的包装盒的容积最小"则该球体玩具与包装盒的上(下底面及侧面都相切!
作该圆台型包装盒的轴截面"且".$#/"01$#/!
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易知"#$#1)"0"#.$#1%"0!因为"#+$".+)#.+"所以!#1)*#+
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正确!
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* *
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令4,5))674)$槡+4,5!)) #$6"则4,5)674)$ "令函数7!6#$ $ !6% #!
* + +6 + 6
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当% ()( 时"4,5))674)$槡+4,5!)) #’’"且函数*$槡+4,5!)) #在!% " #
* * * * * *
!高三数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$% "!"#$%&’"
{#{QQABLYKAggCoAAAAAQgCUwUICECQkAAACAoOABAAMAAByRFABAA=}#}
书书书! (!
上单调递增"在! " #上单调递减!
* *
! ! ! (!
又因为7!6#在!’")&#上单调递增"所以,!)#在!% " #上单调递增"在! " #上单调
* * * *
!
递减"所以,!)#的图象不关于直线)$ 对称":错误!
+
! (! ! 槡+
,!)#在!% " #上有最大值"且最大值为,! #$ "3正确!
* * * *
4,5)674) 槡+4,5+)
,!)#$ $ "
4,5))674) !
+4,5!)) #
*
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槡+4,5+! ))# 槡+4,5+! %)# 槡+4,5! )+)#
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,! ))#),! %)#$ ) $ )
* * (! ! (! ! +4,5!!))#
+4,5! ))) # +4,5! %)) #
* * * *
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槡+4,5! %+)#
+ 槡+ %674+) %674+) (!
$ ! ) #$’"所以,!)#的图象关于点! "’#中心对称"
+4,5!!%)# + %4,5) 4,5) *
.正确!
(!2! 2!"! ! "!
由对称性可得,!)#在! " #上单调递减"在! " #上单调递增"所以,!)#在!% " #
* * * * * *
上不具有周期性!
4,5!))+!#674!))+!# 4,5)674)
又因为,!))+!#$ $ $,!)#"所以,!)#的最小正周
4,5!))+!#)674!))+!# 4,5))674)
期为+!"#正确!
!!!.#3!由题意可知"8$+"所以)+$**"1!’"!#!
作9#$%"垂足为#!图略#",9&1的周长为+91+)+9&+)+&1+$+9#+)+9&+)
+&1+)*)+&1+$*)槡2":错误!
.*$())!"
若直线9:过点1"可设直线9:的方程为*$())!"由- 得)+%*()%*$’!设
/)+$**"
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若;!’"%!#"则 $ + + $ + + "令6$*)!)!"’( *!"
+:1+ *)! *)! + 6
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+:;+ 槡6+)*6%* 6+)*6%* ! ! +:;+
所以 $ $槡 $槡%*! % #+)+"可得 %’!"槡+)"#正确!
+:1+ 6 6+ 6 + +:1+
若,9’1的外接圆与准线%相切"设,9’1的圆心为<"则+<1+$+<’+"所以圆心<的纵
’)! ! ! ( 1!
坐标*$ $ "则其半径=$ )!$ "面积为 "3正确!
+ + + + *
!+!!+’’!先确定甲的位置"再确定乙的位置及其他同学的位置"则有2:+:2$!+’’种不同的
+ 2
!高三数学"参考答案!第!!!!+页#共"页$% "!"#$%&’"
{#{QQABLYKAggCoAAAAAQgCUwUICECQkAAACAoOABAAMAAByRFABAA=}#}排列方式!
&
!(!槡+!如图"设1>为双曲线/的右焦点"连接"1>"#1>!由"1$#1
及双曲线的对称性得四边形"1#1>是矩形"+"#+$+11>+$+?"则 $
! ! #
+"1+$+"#+&6740#"1$+?674
!+
"+"1>+$+#1+$+"#+&
!! %
"
! !
4,50#"1$+?&4,5 "由双曲线定义得+"1+%+"1>+$+?!674
!+ !+
! ! ! ?
%4,5 #$+?&槡+674! ) #$++"即槡+?$++"所以离心率@$ $槡+!
!+ !+ * +
!*!+槡(!如图!"过点9作9:$"#"垂足为:"过点:作:A$"/"垂足为A"连接9A!
因为平面9"#$平面"#/"所以9:$平面"#/"9:$A:" (
9:$"/!
因为:A$"/"所以"/$平面9:A""/$9A"
# $ ’
所以09A:为二面角9B"/B#的平面角! ! &
"
"9+)"#+%9#+ !
在,9"#中"67409"#$ $ " %
+"9&"# +
图!
所以09"#$-’?"
则9:$"9&4,509"#$槡("":$"9&67409"#$!!
9: 槡(
在,"#/中"A:$":&4,50#"/$4,50#"/"所以89509A:$ $ !
:A 4,50#"/
如图+"在平面"#/内"过点/作/;$/&交直线"#于点
;"所以点/在以&;为直径的圆上运动!设&;的中点为’"
连接’/!因为0/";$0;&/%0"/&"0#/’$0&/’% ! " # $ %
0&/#"所以0/";$0#/’!因为0"’/$0/’#"所以
,"’/1,/’#"所以 ’# $ ’/ "即 ’/%! $ ’/ "解得’/ &
’/ ’" ’/ ’/)+
图+
$+"’"$*!
当直线"/与圆’相切时"0#"/最大"因此89509A:最小!
’/ !
!4,50#"/# $ $ "!89509A:# $+槡(!故二面角9B"/B#的平面角的正切值的
=9@ ’" + =,5
最小值为+槡(!
注*"在求点/的轨迹时"也可在平面"#/内建立平面直角坐标系"用解析几何的方法求解!
#在求4,50#"/的最大值时"也可用如下方法*
"#+)"/+%#/+ ( #/ 槡( !
由题意可得""/$+#/"6740#"/$ $ ) ) "所以4,50#"/* !
+"#&"/ *#/ * + +
槡( 槡(
!2!解*!!#因为?$674") +"C$!"所以?$C674") +!………………………………!分
+ +
!高三数学"参考答案!第!!!!(页#共"页$% "!"#$%&’"
{#{QQABLYKAggCoAAAAAQgCUwUICECQkAAACAoOABAAMAAByRFABAA=}#}槡(
由正弦定理得4,5/$4,5#674") 4,5""……………………………………………+分
+
槡(
则4,5!")##$4,5#674") 4,5""……………………………………………………(分
+
槡(
即4,5"674#)674"4,5#$4,5#674") 4,5""
+
槡(
所以4,5"674#$ 4,5"! ………………………………………………………………*分
+
槡(
因为4,5"’’"所以674#$ " …………………………………………………………2分
+
!
又’(#(!"所以#$ ! …………………………………………………………………-分
-
++)?+%C+ !槡(#+)?+%! 槡(
!+#674#$ $ $ "
++? +槡(? +
整理得?+%(?)+$’"解得?$!或+!……………………………………………………0分
槡( ! 槡(
当?$!时"674"$?% +$% "则4,5"$ "
+ + +
! 槡(
5 $ C?4,5"$ !……………………………………………………………………!’分
,"#/ + *
槡( ! 槡(
当?$+时"674"$?% +$ "则4,5"$ "
+ + +
! 槡(
5 $ C?4,5"$ !……………………………………………………………………!+分
,"#/ + +
槡( 槡(
综上","#/的面积为 或 !…………………………………………………………!(分
* +
!-!解*!!#由题意可得C$槡(!…………………………………………………………………!分
槡(C
因为,"11 为正三角形"所以?$ $!"+$槡?+)C+$+"…………………………(分
! + (
)+ *+
所以椭圆/的方程为 ) $!!…………………………………………………………*分
* (
!+#设直线<0与直线"1 交于点.!
+
由题意可得<0为线段"1 的垂直平分线"所以+".+$!"……………………………-分
+
槡(
直线<0的斜率为 "直线<0的方程为)%槡(*)!$’!………………………………0分
(
.)%槡(*)!$’"
设<!)
!
"*
!
#"0!)
+
"*
+
#"联立-
)+ *+
得!(*+%-槡(*%1$’"
) $!"
/* (
-槡( 1
则*)*$ "**$% "……………………………………………………………!’分
! + !( ! + !(
!高三数学"参考答案!第!!!!*页#共"页$% "!"#$%&’"
{#{QQABLYKAggCoAAAAAQgCUwUICECQkAAACAoOABAAMAAByRFABAA=}#}*0
则+<0+$槡!)!槡(#++*%*+$+槡!*)*#+%***$ ! ………………………!(分
! + ! + ! + !(
! +*
故5 $ +<0+&+".+$ !…………………………………………………………!2分
,"<0 + !(
!"!!!#证明*因为四边形"#/<是菱形"所以#<$"/!……………………………………!分
因为#<$9/"9/2平面9"/""/2平面9"/"且"/#9/$/"
所以#<$平面9"/!………………………………………………………………………(分
因为#<2平面"#/<"平面9"/$平面"#/<!………………………………………2分
!+#解*过点9作90$"/"垂足为0!
9"+)9/+%"/+ 槡2 +槡2
在,9"/中"6740"9/$ $ "4,50"9/$ "
+9"&9/ 2 2
!
所以5 $ 9"&9/4,50"9/$-!
,9"/ +
!
因为5 $ "/&90"所以90$(""0$槡"9+%90+$!"’0$’"%"0$!!…"分
,9"/ +
443 443
设"/##<$’!以’为坐标原点"分别以’/"’<的方向 (
为)"*轴的正方向"建立如图所示的空间直角坐标系"则 ’
#!’"%+槡("’#"/!+"’"’#"<!’"+槡("’#"9!%!"’"(#"
443 443 443 " )
则#9$!%!"+槡("(#"<9$!%!"%+槡("(#"/9$!%(" &
#
’"(#! …………………………………………………1分
$
设平面9#<的法向量为#$!)
!
"*
!
"$
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! %
443
.#&<9$%)%+槡(*)($$’"
! ! ! *
则- 令)$("得#$!("
443 !
/#&#9$%))+槡(*)($$’"
! ! !
’"!#! ………………………………………………………………………………………!!分
设平面9/<的法向量为$$!)"*"$#"
+ + +
443
.$&<9$%)%+槡(*)($$’"
则- + + + 令)$槡("得$$!槡("!"槡(#!…………………!(分
443 +
/$&/9$%())($$’"
+ +
设二面角/B9<B#的大小为!"易得!为锐角"
+$&#+ +槡+!’
则+674!+$+674+$"#,+$ $ "
+$++#+ (2
+槡+!’
即二面角/B9<B#的余弦值为 !…………………………………………………!2分
(2
!0!!!#解*设" 表示第一天中午选择冰糖雪梨汤"" 表示第二天中午选择冰糖雪梨汤"则"
! + !
表示第一天中午选择苹果百合汤!
+ ! ! ! !
根据题意得9!"#$ "9!"#$ "9!"+"#$ "9!"+"#$!% $ !………(分
! ( ! ( + ! ( + ! + +
+ ! ! ! "
9!"#$9!"#9!"+"#)9!"#9!"+"#$ / ) / $ !………………2分
+ ! + ! ! + ! ( ( ( + !0
!高三数学"参考答案!第!!!!2页#共"页$% "!"#$%&’"
{#{QQABLYKAggCoAAAAAQgCUwUICECQkAAACAoOABAAMAAByRFABAA=}#}!+#证明*设" 表示第4天中午选择冰糖雪梨汤"则9$9!"#"9!"#$!%9"
4 4 4 4 4
! ! !
根据题意得9!" +"#$ "9!" +"#$!% $ !
4)! 4 ( 4)! 4 + +
! !
由全概率公式得9!" #$9!"#9!" +"#)9!"#9!" +"#$ 9) !!%9#$
4)! 4 4)! 4 4 4)! 4 ( 4 + 4
! ! ! !
% 9) "即9 $% 9) !………………………………………………………0分
- 4 + 4)! - 4 +
! ! !
不妨设9 )"$% !9)"#"即9 $% 9% "%""
4)! - 4 4)! - 4 -
! ! (
所以% "%"$ "解得"$% "
- + "
( ! ( ( 2
则9 % $% !9% #"又9% $ &’"
4)! " - 4 " ! " +!
( 2 !
所以$9% %是以 为首项"% 为公比的等比数列!…………………………………!+分
4 " +! -
( 2 !
!(#解*由!+#得"9$ ) /!% #4%!!
4 " +! -
!
由题意"只需9’!%9"即9’ !4$!"+"-"!’#"
4 4 4 +
( 2 ! ! ! (
则 ) /!% #4%!’ "即!% #4%!’ !4$!"+"-"!’#!………………………!*分
" +! - + - !’
显然4必为奇数"偶数不成立!
! ! (
当4$!"("2"""1时"有!% #4%!$! #4%!’ !………………………………………!2分
- - !’
当4$!时"显然成立!
! (
当4$(时"! #+% (’"所以当4$(时不成立!
- !’
!
因为*$! #4%!单调递减"所以4$2"""1也不成立!…………………………………!-分
-
综上"该同学只有!天中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤的概率!…………!"分
!1!!!#解*,>!)#$+A))+! ……………………………………………………………………!分
当+)’时",>!)#’’在!上恒成立"即,!)#在!上单调递增!………………………+分
+ +
当+(’时"由,>!)#’’"得)’;5!% #"由,>!)#(’"得)(;5!% #"
+ +
+ +
所以,!)#在!;5!% #")&#上单调递增"在!%&";5!% ##上单调递减!
+ +
综上"当+)’时",!)#在!上单调递增.
+ +
当+(’时",!)#在!;5!% #")&#上单调递增"在!%&";5!% ##上单调递减! …*分
+ +
!+#证明*由!!#得"当+)’时",!)#$3至多有一个根"不符合题意!…………………2分
+ +
当+(’时",!)#在!;5!% #")&#上单调递增"在!%&";5!% ##上单调递减"且
+ +
!高三数学"参考答案!第!!!!-页#共"页$% "!"#$%&’"
{#{QQABLYKAggCoAAAAAQgCUwUICECQkAAACAoOABAAMAAByRFABAA=}#}+
,>!;5!% ##$’!
+
+ +
不妨设’()(;5!% #()"要证明,>!槡))#(’"即证槡))(;5!% #!
! + + ! + ! + +
))) +
又槡))( ! +"所以只需要证明)))(+;5!% #!………………………………0分
! + + ! + +
令函数D!)#$,!)#%,!+;5!% + #%)#$+A))+)%+A+;5!%+ + #%)%++;5!% + #)+)$+A)%
+ +
++A%) + +
)++)%++;5!% #"’()(;5!% #!……………………………………………!’分
+ + +
++A%) ++A%)
D>!)#$+A)) )++)+槡+A)& )++$’"
+ +
+
所以D!)#在!’";5!% ##上单调递增"…………………………………………………!+分
+
+ +
所以D!)#(D!;5!% ##$’"即,!)#(,!+;5!% #%)#"
+ +
+
所以,!)#(,!+;5!% #%)#!…………………………………………………………!*分
! + !
+
又因为,!)#$,!)#"所以,!)#(,!+;5!% #%)#!………………………………!2分
! + + + !
+ + + +
因为)’;5!% #"+;5!% #%)’;5!% #"而,!)#在!;5!% #")&#上单调递增"
+ + + ! + +
+ +
所以)(+;5!% #%)"即)))(+;5!% #"
+ + ! ! + +
故,>!槡))#(’!…………………………………………………………………………!"分
! +
!高三数学"参考答案!第!!!!"页#共"页$% "!"#$%&’"
{#{QQABLYKAggCoAAAAAQgCUwUICECQkAAACAoOABAAMAAByRFABAA=}#}