华师一附中二月月考2025届高三数学答案_2024-2025高三（6-6月题库）_2025年02月试卷_0214湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期开学考试题

高三数学限时训练
时限：120 分钟 满分：150 分
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．）
1．已知集合Ax 1 x1，Bx a1 x2a1，若B A，则实数a取值范围是（ ）
A．a1 B．a1 C．0a1 D．0a1
【答案】A
2．已知m,n,p,qN*，且数列a 是等比数列，则“a a a a ”是“mn pq”的（ ）
n m n p q
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
3．设函数 f xmx2mx1，命题“x1,3, f xm2”是假命题，则实数m的取值范围为（ ）
．
 3 3 
A．,

B．,3 C． , D．3,
 7 7 
【答案】D
1 2 1 3
4．a0,b0,  1，则  的最小值为（ ）
a b a1 b2
A． 3 B．2 3 C． 6 D．6
【答案】C

5．阅读材料：空间直角坐标系Oxyz中，过点Px ,y ,z 且一个法向量为na,b,c的平面的方程为
0 0 0
axx byy czz 0，阅读上面材料，解决下面问题：直线l是两平面x3y70与
0 0 0
4y2z10的交线，则下列向量可以为直线l的方向向量的是（ ）
A．(3,1,2) B．(3,1,2) C．(2,1,3) D．(2,1,3)
【答案】B
6．已知函数 f x3x3 2 2，且 f  a2  f 3a42，则实数a的取值范围是（ ）
ex 1
A．4,1 B．,14,
C． ,41, D．1,4
【答案】C
高三年级数学试题 第1页 共4页7．设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mx ym30交于点P，点P到直线
x3y90的距离为d ，则d 的取值范围为( )
A．[0, 10) B．[0, 10] C．[0,2 10) D．[0,2 10]
【答案】A
8．在  ABC中，a2b2c2 2 3absinC，则  ABC的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【详解】  在  ABC中，a2b2c2 2 3absinC，
又由余弦定理知，b2a2c2 2abcosC，

两式相加得：2(a2b2)2ab( 3sinCcosC)4absin(C )，
6
 a2b2 2ab 
sin(C
6
)
2ab 2ab
1（当且仅当cb时取“” )，又sin(C
6
)

1，

sin(C )1（当且仅当ab时成立），C为ABC的内角，
6
  
C  ，C ，又ab，
6 2 3
 ABC的形状为等边△．故选：D．

二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．下列说法正确的是（ ）
A．在使用经验回归方程进行预测时，经验回归方程只适用于所研究的样本的总体
n
(y yˆ )2
i i
B．决定系数R2 1 i1 ，可以作为衡量一个模型拟合效果的指标，它越大说明拟合效果越好
n
y y2
i
i1
C．样本相关系数r[1,1]，当r 0时，表明成对样本数据间没有相关关系
D．经验回归方程y3x1相对于点2,6.5的残差为－0.5
【答案】ABD
10．声音中包含着正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波.每个音都是由纯音合成的，
纯音的数学模型是y Asint.其中响度与振幅有关，振幅越大，响度越大.音调与频率有关，频率低的声
高三年级数学试题 第2页 共4页1 1 1
音低沉，频率高的声音尖锐，我们平时听到的音乐函数是ysinx sin2x sin3x sin4x ，某声

2 3 4
1 1
音函数 f(x)sinx sin2x sin 3x，下列说法正确的是（ ）
2 3
 π π
A．函数 f(x)在区间 , 单调递增
 6 6
B．函数 f(x)的最小正周期为2π
C．函数 f(x)的声音比纯音g(x)sin2x的尖锐
D．函数 f(x)的响度比纯音g(x)sin2x的响度大
【答案】ABD
 π π
【详解】选项A：当x , 时，sinx,sin2x,sin3x均单调递增，
 6 6
 π π 1 1
则当x , 时， f(x)sinx sin2x sin 3x单调递增.判断正确；
 6 6 2 3
2π
选项B：ysinx,ysin2x,ysin3x的最小正周期分别为2π,π, ，
3
则函数 f(x)的最小正周期为2π. 判断正确；
1
选项C：函数 f(x)的周期为2π，频率为 ；
2π
1 1 1
函数g(x)的周期为π，频率为 ，由  ，
π 2π π
可得函数 f(x)的声音比纯音g(x)sin2x的低沉.判断错误；
选项D：g(x)sin2x的振幅为1，
π π 1  π 1  π 3 3 3 3
f( )sin  sin2  sin3    1，
3 3 2  3 3  3 2 4 4
则函数 f(x)的振幅大于g(x)的振幅，
则函数 f(x)的响度比纯音g(x)sin2x的响度大.判断正确. 故选：ABD
11．如图，在直四棱柱ABCDABCD 中，底面ABCD为菱形，BAD60,AB AA 2,P为CC 的中
1 1 1 1 1 1
点，点Q满足  D  Q    D  C    D  D 
1
 

0,1,0,1

 ，则下列结论正确的是（ ）
高三年级数学试题 第3页 共4页1
A．若 ，则四面体ABPQ的体积为定值
3 1
B．若AQ 5，则点Q的轨迹为一段圆弧
1
 
C．若△ABQ的外心为O，则ABAO为定值2
1 1 1
1
D．若1且 ，则存在点EAB，使得AEEQ的最小值为
2 1
92 10
【答案】ABD
1 1
【详解】A选项，在CD,DD上分别取F,W ，使得DF  DC，DW  DD ，
1 3 3 1
     
因为DQDCDD ，所以DQ3DF3DW，
1
1   
因为 ，所以331，即DQ3DF13DW，
3
     
故DQDW 3DF3DW ，即WQ3WF，
所以W,Q,F 三点共线，
因为WF//CD ，AB//CD，所以WF//AB ，
1 1 1 1
故WF//平面PAB，故点Q为平面PAB的距离为定值，
1 1
又S 为定值，故四面体ABPQ的体积为定值，A正确；
PA1B 1
B选项，取AB的中点R，因为底面ABCD为菱形，BAD60，故DR⊥DC，
以D为坐标原点，以DR，DC,DD 分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
1
故A  3,1,2  ，设Q0,2,2，则AQ 3212 222  5，
1 1
化简得212222 2，点Q满足  D  Q    D  C    D  D 
1
 

0,1,0,1

 ，
即点Q在正方形CDDC 内，包括边界，
1 1
故Q点的轨迹为以S1,2为圆心， 2为半径的圆，落在正方形CDDC 内的部分，
1 1
高三年级数学试题 第4页 共4页如图所示：
因为SH  2，SD 1，故DH  211，
1 1
π
故

SD
1
H为等腰直角三角形，S 
4
，
π 2π
故点Q的轨迹长度为  2  ，B正确；
4 4
C选项，取AB的中点T，因为△ABQ的外心为O，所以OT ⊥AB，
1 1 1
   
又题意得AB AA2AB2 2 2，则ABAO AB  AT 2 2 2 4，C错误；
1 1 1 1 1 1
1   1
D选项，若1且 ，DQDC DD ，
2 2 1
 1
即DQ0,2,0 0,0,20,2,1，即Q0,2,1，
2
又A  3,1,2  ，B  3,1,0  ，设Ex,y,z ，
1 1 1 1
设  E  B  a  A  B  0,2a,2a,a0,1，即  3x,1y ,z  0,2a,2a，
1 1 1 1
 
解得x  3,y 12a,z 2a，即E 3,12a,2a ，AEEQ 22a2 4a2  32a12 12a2
1 1 1
 2 
 1 1 5
 8a28a4 8a25 2 2 a    a2 ，
  2 4 8
 
如图所示，
1 10 1
设KJ  ,GV  ,JG ，且KJ ⊥JG，JG⊥GV ，
2 4 2
1
在线段JG上取一点L，设GLa，则LJ  a，
2
 1 2 1 5
故KLVL a    a2 ，
 2 4 8
显然，直接连接KV ，此时KLVL取得最小值，最小值即为KV ，
2
1 10 1 9 10
由勾股定理得KV        ，
2 4  4 8 4
 
 2 
故AEEQ2 2  a 1   1  a2 5 的最小值为2 2 9  10  92 10 ，D正确.
  2 4 8 8 4
 
故选：ABD
高三年级数学试题 第5页 共4页三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知a 1,2，b  x,4，若a与b  的夹角是钝角，则实数x的取值范围是 ．
【答案】,22,8
x2 y2
13．设A为双曲线Γ:  1a0,b0的一个实轴顶点，B,C为Γ的渐近线上的两点，满足
a2 b2
 
BC 4AC， AC a，则Γ的渐近线方程是 ．
【答案】 2x y 0
14．一只口袋装有形状、大小完全相同的3只小球，其中红球、黄球、黑球各1只．现从口袋中先后有
X，X为奇数
放回地取球2n次
 nN*
，且每次取1只球，X 表示2n次取球中取到红球的次数，Y  ，
0，X为偶数
则X 的数学期望为 （用n表示），Y的数学期望为 （用n表示）．
2n n n
【答案】 
3 3 32n
 1 2n
【详解】由题知X B2n, ,Y 0,1,0,3,

0,2n1,0，则EX
 3 3
1 1 2 2n1 1 3 2 2n3 1 2n1 2 1
EY1C1 2n  3    3   3C3 2n  3    3     2n1C 2 2 n n1  3    3  
1
 C1 22n13C3 22n3 2n1C2n121
32n  2n 2n  2n 
2n
kCk 2nCk1 ,EY  C0 22n1C2 22n3 C2n221 ，
 2n 2n1 32n 2n1 2n1  2n1
(21)2n1 C0 22n1C1 22n2C2 22n3 C2n221C2n120，
 2n1 2n1 2n1  2n1 2n1
(21)2n1 C0 22n1C1 22n2 C2 22n3 C2n221C2n120，
2n1 2n1 2n1  2n1 2n1
32n11 2n 32n11 n n
C0 22n1C2 22n3 C2n221 ,EY    .
2n1 2n1  2n1 2 32n 2 3 32n
n n
故答案为：  .
3 32n
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知函数 f xx3ax2bxa2(a,bR)
（1）若函数 f x在x1处有极值为10，求b的值；
高三年级数学试题 第6页 共4页（2）对任意a[1,)， f x在区间0,2单调递增，求b的最小值；
16
【答案】（1）b＝－11 （2）
3
【详解】解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
f132ab0
于是，根据题设有{ ，
f 11aba2 10
a4 a3
解得{ 或{ .
b11 b3
a4
当{ 时，f′(x)＝3x2＋8x－11，Δ＝64＋132>0，所以函数有极值点；
b11
a3
当{ 时，f′(x)＝3(x－1)2≥0，所以函数无极值点．
b3
所以b＝－11.
(2)由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋b≥0对任意的a∈[－1，＋∞)，x∈(0,2)都成立，
所以F(a)＝2xa＋3x2＋b≥0对任意的a∈[－1，＋∞)，x∈(0,2)都成立．
因为x>0，所以F(a)在a∈[－1，＋∞)上为单调递增函数
F(a) ＝F(－1)＝－2x＋3x2＋b≥0，
min
即b≥(－3x2＋2x) 对任意x∈(0,2)都成立，
max
1 1 1
又－3x2＋2x＝－3(x－ )2＋ ≤ ，
3 3 3
1 1 1
所以当x＝ 时，(－3x2＋2x) ＝ ，所以b≥ .
max
3 3 3
1
所以b的最小值为 .
3
16．在五面体ABCDEF中，CD平面ADE，EF 平面ADE．
（1）求证：AB//CD；
（2）若AB2AD2EF2，DE 1，ADECBF 90，求二面角ABFC的大小.
．
5π
【答案】(1)证明见解析 (2)
6
【详解】（1）证明：因为CD平面ADE，EF 平面ADE，所以CD//EF，
因为CD 平面ABEF，EF 平面ABEF，
高三年级数学试题 第7页 共4页所以CD//平面ABEF，
因为平面ABEF平面ABCD  AB，AB平面ABCD，
所以AB//CD．
（2）由于CD平面ADE，AB//CD，所以AB平面ADE，AE 平面ADE，故AB AE,
又因为CD平面ADE，AD,ED平面ADE，
所以CDAD,CDED，
如图以D为坐标原点，DA,DC,DE所在的直线分别为x，y，z轴建系，
设DC c，则A1,0,0,B1,2,0,D0,0,0,C0,c,0,E0,0,1,F0,1,1，
 
故BF 1,1,1,BC 1,c2,0,
 
由于CBF 90，所以BFBC1,1,11,c2,012c0，故c3，
 
设平面BFA的法向量为m(x,y ,z)，平面BFC的法向量为n(x ,y ,z )，
1 1 1 2 2 2
 
因为AB0,2,0，BF 1,1,1，
   A  B  m 0 x y z 0,
所以
  B  F  m 0
，即
2y
1
1 0
1
,
1
令x 1，则m (1,0,1)，
1
 
因为BC1,1,0，BF 1,1,1，
   B  C  n0 x  y 0,
所以
  B  F  n0
，即
x
2
2 y 2
2
z 2 0,

令x 1，则n(1,1,2)，
2
设ABFC成的角为，由图可知为钝角，
 
mn 3 3 5π
所以cos   ，故
 
m n 2 6 2 6
17．已知数列a 为等差数列，前n项和为S ，且S 60,a 3a 48．
n n 6 3 5
数列 b
n
 满足：2nb
1
2n1b
2


2b
n
3n1（nN）
高三年级数学试题 第8页 共4页（1）求数列a 、b 的通项公式；
n n
2b 12a 2
（2）若c  n n ，求数列c 的前n项和T ．
n a a n n
n n1
【详解】（1）设等差数列a 的首项为a ，公差为d，
n 1
 65
6a  d 60 a 5
由S 60,a 3a 48，可得 1 2  1 ，
6 3 5
a 2d3a 4d48
d 2
 1 1
故数列a 的通项公式为a 5n122n3.
n n
1
2nb 2n1b  2b 3n1，两边同时乘以 ，
1 2  n 2n
1 1 1
则b  b   b   3n1 
1 2 2  2n1 n 2n
当n1时，b 1，
1
1 1 1
当n2时，b  b   b   3n11  ，
1 2 2  2n2 n1 2n1
1 1 1 3n11 3n11
两式相减，可得 b   3n1    3n11   ，所以b  ，
2n1 n 2n 2n1 2n n 2
3n11
当n1时，b 1，故b 满足b ，故b  .
1 1 n n 2
2b 12a 2 3n14n4 3n 3n1
（2）c  n n =   ，
n a a 2n32n5 2n5 2n3
n n1
所以T
n
=c
1
c
2
c
3


c
n1
c
n
3 1 32 3 33 32 3n1 3n2 3n 3n1
=  +  +  + +  + 

7 5 9 7 11 9 2n3 2n1 2n5 2n3
1 3n
= + .
5 2n5
1 3n
故T = + .
n 5 2n5
1
18．为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来武汉旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中 的人计
3
2
划只参观黄鹤楼，另外 的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁．每位游客若只参观黄鹤楼，则记1分；若
3
既参观黄鹤楼又游览晴川阁，则记 2 分．假设每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，
视频率为概率．
（1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X ，求X 的分布列和数学期望；
高三年级数学试题 第9页 共4页n
（2）从游客中随机抽取n人  nN ，记这n人的合计得分恰为n1分的概率为P，求P；
n i
i1
（3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n分的概率为a ，求数列{a }的通项公式
n n
【详解】（1）由题意得，随机变量X 的可能取值为2，3，4，
1 2 1 1 2 4 2 2 4
可得P(X 2) 3    9 ，P(X 3)C1 2  3  3  9 ，P(X 4) 3    9 .
所以X 的分布列如下表所示：
X 2 3 4
1 4 4
P
9 9 9
1 4 4 10
所以，数学期望为E(X)2 3 4  .
9 9 9 3
（2）由这n人的合计得分为n1分，则其中只有1人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，
2 1 n1 2n n 2 22 23 2n
所以P C1     ,P     ，
n n 3 3 3n i 3 32 33 3n
i1
1 n 2 22 23 2n
则 P     ，
3 i 32 33 34 3n1
i1
1
1
由两式相减，可得
2

n
P 
2

2

2

2

2n

2

3n

2n
，
3 i 3 32 33 3n 3n1 3 1 3n1
i1 1
3
n 3 1  n
所以P  1  .
i 2 3n  3n
i1
（3）在随机抽取的若干人的合计得分为n1分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为n分或
n1分，
记“合计得n分”为事件A，“合计得n1分”为事件B，A与B是对立事件，
2
因为P(A)a ，P(B) a ，
n 3 n1
2 3 2 3
所以a  a 1(n2)，即a   a  (n2)，
n 3 n1 n 5 3 n1 5
1 3 1 3 4
因为a  ，a     ，
1 3 1 5 3 5 15
 3 4 2
则数列a  是首项为 ，公比为 的等比数列，
 n 5 15 3
高三年级数学试题 第10页 共4页3 4  2 n1 4  2 n1 3
所以a     (n1)，a     (n1)
n 5 15 3 n 15 3 5
19．如图，已知圆锥PO的高PO与母线所成的角为，过A的平面与圆锥的高所成的角为，该平面截这
1
个圆锥所得的截面为椭圆C ，椭圆C 的长轴为AA ，短轴为BB ，长轴长为2a，C 的中心为N，再以BB
1 2 1 2 1 2
为弦且垂直于PO的圆截面，记该圆与直线PA交于C ，与直线PA 交于C ，
1 1 2 2
（1）用a,,分别表示|NC |，|NC |
1 2
1 1
（2）若cos ,cos ，a 3，
  
3 9
（i）求椭圆C的焦距；
（ii）椭圆C 左右焦点分别为F , F ，C上不同两点D,E在长轴同侧，且
1 2
DF //EF ，设直线FE,FD交于点Q，记S s，
1 2 1 2 QDE
设S  f(s)，请写出 f(s)的解析式（不要求求出定义域）
四边形EDFF
1 2
asin() asin()
19．【答案】（1）|C N | ，|C N|
1 cos 2 cos
576s
（2）（i）2（ii） f (s)
9s2 128
【 解析 】（1）在 AC N 中， C AN , NA a ，由 正弦 定理得
1 1 1 1 1
NA sinC AN asin() asin()
|C N | 1 1 1  
1 sinPC N  cos
1 sin( )
2
asin()
同理，在AC N 中，由正弦定理得|C N| …………………………2分
2 2 2 cos
（2）（i）在点C ,C ,B,B 四点所构成的圆中，由圆幂定理得
1 2 1 2
a2sin()sin()
b2 |NB |2|NC ||NC |
1 1 2 cos2
1
[cos2cos2] cos 1
e2 1 b2 1 sin()sin() 1 2 ( cos )2 e cos  3
a2 cos2 cos2 cos
又 a 3c1, 故求椭圆C 的焦距2c为2 ……………………………………6分

高三年级数学试题 第11页 共4页 
（ii）依题意，设FDF E (0)，
1 2
1 1
S  S s S (1 )S (1 )s
DQE F 1 QF 2 EF 1 F 2  QF 1 F 2 
1 1
S  S S (1 1)s s
EQF 2 EF 1 F 2 QF 1 F 2  
S 2S s
DQF EQF
1 2
1
S  f(s)( 2)s………………………………………………………………………9分
四边形EDF 1 F 2 
 
以 N 为坐标原点，以向量 AA ，BB 方向分别为 x轴， y 轴正方向，建立平面直角坐标系，则
1 2 1 2
x2 y2
C:  1………………………………………………………………………………………………10分
9 8
 
延长DF 交C 于E 点，由对称性知DF FE ，
1 1 1 1 1
 x x x2 y2
1 1 2 1  1 1
  1   9 8 x2 y2 x2 y2
设D(x
1
,y
1
),E
1
(x
2
,y
2
)，则
 0 y 1 y 2

x 2 2  y 2 2 1
(
9
1 
8
1 )2(
9
2 
8
2 )12
 1  9 8
x 45
(x x )(x x ) (y y )(y y )  1
即 1 2 1 2  1 2 1 2 12 x x 9(1)  4
9 8 1 2 x 5

 2 
x2 (45)2
S (1)s c| y || y | (1)2s2  y2 8(1 1 )8[1 ]
 DF 1 F 2 1 1 1 9 9
9(1)2s2 9(2 21)s2
8[9(45)2]8(162 4016)64(22 52)
1 2 1
两边同除以，得9( 2)s2 64(2 5) 设t  2，其中t 4，则有
  
649
9ts2 64(2t9) 可得t  ………………………………………………………………15分
9s2 128
1 649s 576s
 f(s)( 2)st s  …………………………………………………17分
 9s2 128 9s2 128
高三年级数学试题 第12页 共4页