华师一附中二月月考2025届高三数学答案_2024-2025高三（6-6月题库）_2025年02月试卷_0214湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期开学考试题

高三数学限时训练 时限：120 分钟 满分：150 分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的．） 1．已知集合Ax 1 x1，Bx a1 x2a1，若B A，则实数a取值范围是（ ） A．a1 B．a1 C．0a1 D．0a1 【答案】A 2．已知m,n,p,qN*，且数列a 是等比数列，则“a a a a ”是“mn pq”的（ ） n m n p q A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 3．设函数 f xmx2mx1，命题“x1,3, f xm2”是假命题，则实数m的取值范围为（ ） ．  3 3  A．,  B．,3 C． , D．3,  7 7  【答案】D 1 2 1 3 4．a0,b0,  1，则  的最小值为（ ） a b a1 b2 A． 3 B．2 3 C． 6 D．6 【答案】C  5．阅读材料：空间直角坐标系Oxyz中，过点Px ,y ,z 且一个法向量为na,b,c的平面的方程为 0 0 0 axx byy czz 0，阅读上面材料，解决下面问题：直线l是两平面x3y70与 0 0 0 4y2z10的交线，则下列向量可以为直线l的方向向量的是（ ） A．(3,1,2) B．(3,1,2) C．(2,1,3) D．(2,1,3) 【答案】B 6．已知函数 f x3x3 2 2，且 f  a2  f 3a42，则实数a的取值范围是（ ） ex 1 A．4,1 B．,14, C． ,41, D．1,4 【答案】C 高三年级数学试题 第1页 共4页7．设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mx ym30交于点P，点P到直线 x3y90的距离为d ，则d 的取值范围为( ) A．[0, 10) B．[0, 10] C．[0,2 10) D．[0,2 10] 【答案】A 8．在  ABC中，a2b2c2 2 3absinC，则  ABC的形状是（ ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【详解】  在  ABC中，a2b2c2 2 3absinC， 又由余弦定理知，b2a2c2 2abcosC，  两式相加得：2(a2b2)2ab( 3sinCcosC)4absin(C )， 6  a2b2 2ab  sin(C 6 ) 2ab 2ab 1（当且仅当cb时取“” )，又sin(C 6 )  1，  sin(C )1（当且仅当ab时成立），C为ABC的内角， 6    C  ，C ，又ab， 6 2 3  ABC的形状为等边△．故选：D．  二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．下列说法正确的是（ ） A．在使用经验回归方程进行预测时，经验回归方程只适用于所研究的样本的总体 n (y yˆ )2 i i B．决定系数R2 1 i1 ，可以作为衡量一个模型拟合效果的指标，它越大说明拟合效果越好 n y y2 i i1 C．样本相关系数r[1,1]，当r 0时，表明成对样本数据间没有相关关系 D．经验回归方程y3x1相对于点2,6.5的残差为－0.5 【答案】ABD 10．声音中包含着正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波.每个音都是由纯音合成的， 纯音的数学模型是y Asint.其中响度与振幅有关，振幅越大，响度越大.音调与频率有关，频率低的声 高三年级数学试题 第2页 共4页1 1 1 音低沉，频率高的声音尖锐，我们平时听到的音乐函数是ysinx sin2x sin3x sin4x ，某声  2 3 4 1 1 音函数 f(x)sinx sin2x sin 3x，下列说法正确的是（ ） 2 3  π π A．函数 f(x)在区间 , 单调递增  6 6 B．函数 f(x)的最小正周期为2π C．函数 f(x)的声音比纯音g(x)sin2x的尖锐 D．函数 f(x)的响度比纯音g(x)sin2x的响度大 【答案】ABD  π π 【详解】选项A：当x , 时，sinx,sin2x,sin3x均单调递增，  6 6  π π 1 1 则当x , 时， f(x)sinx sin2x sin 3x单调递增.判断正确；  6 6 2 3 2π 选项B：ysinx,ysin2x,ysin3x的最小正周期分别为2π,π, ， 3 则函数 f(x)的最小正周期为2π. 判断正确； 1 选项C：函数 f(x)的周期为2π，频率为 ； 2π 1 1 1 函数g(x)的周期为π，频率为 ，由  ， π 2π π 可得函数 f(x)的声音比纯音g(x)sin2x的低沉.判断错误； 选项D：g(x)sin2x的振幅为1， π π 1  π 1  π 3 3 3 3 f( )sin  sin2  sin3    1， 3 3 2  3 3  3 2 4 4 则函数 f(x)的振幅大于g(x)的振幅， 则函数 f(x)的响度比纯音g(x)sin2x的响度大.判断正确. 故选：ABD 11．如图，在直四棱柱ABCDABCD 中，底面ABCD为菱形，BAD60,AB AA 2,P为CC 的中 1 1 1 1 1 1 点，点Q满足  D  Q    D  C    D  D  1    0,1,0,1   ，则下列结论正确的是（ ） 高三年级数学试题 第3页 共4页1 A．若 ，则四面体ABPQ的体积为定值 3 1 B．若AQ 5，则点Q的轨迹为一段圆弧 1   C．若△ABQ的外心为O，则ABAO为定值2 1 1 1 1 D．若1且 ，则存在点EAB，使得AEEQ的最小值为 2 1 92 10 【答案】ABD 1 1 【详解】A选项，在CD,DD上分别取F,W ，使得DF  DC，DW  DD ， 1 3 3 1       因为DQDCDD ，所以DQ3DF3DW， 1 1    因为 ，所以331，即DQ3DF13DW， 3       故DQDW 3DF3DW ，即WQ3WF， 所以W,Q,F 三点共线， 因为WF//CD ，AB//CD，所以WF//AB ， 1 1 1 1 故WF//平面PAB，故点Q为平面PAB的距离为定值， 1 1 又S 为定值，故四面体ABPQ的体积为定值，A正确； PA1B 1 B选项，取AB的中点R，因为底面ABCD为菱形，BAD60，故DR⊥DC， 以D为坐标原点，以DR，DC,DD 分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 1 故A  3,1,2  ，设Q0,2,2，则AQ 3212 222  5， 1 1 化简得212222 2，点Q满足  D  Q    D  C    D  D  1    0,1,0,1   ， 即点Q在正方形CDDC 内，包括边界， 1 1 故Q点的轨迹为以S1,2为圆心， 2为半径的圆，落在正方形CDDC 内的部分， 1 1 高三年级数学试题 第4页 共4页如图所示： 因为SH  2，SD 1，故DH  211， 1 1 π 故  SD 1 H为等腰直角三角形，S  4 ， π 2π 故点Q的轨迹长度为  2  ，B正确； 4 4 C选项，取AB的中点T，因为△ABQ的外心为O，所以OT ⊥AB， 1 1 1     又题意得AB AA2AB2 2 2，则ABAO AB  AT 2 2 2 4，C错误； 1 1 1 1 1 1 1   1 D选项，若1且 ，DQDC DD ， 2 2 1  1 即DQ0,2,0 0,0,20,2,1，即Q0,2,1， 2 又A  3,1,2  ，B  3,1,0  ，设Ex,y,z ， 1 1 1 1 设  E  B  a  A  B  0,2a,2a,a0,1，即  3x,1y ,z  0,2a,2a， 1 1 1 1   解得x  3,y 12a,z 2a，即E 3,12a,2a ，AEEQ 22a2 4a2  32a12 12a2 1 1 1  2   1 1 5  8a28a4 8a25 2 2 a    a2 ，   2 4 8   如图所示， 1 10 1 设KJ  ,GV  ,JG ，且KJ ⊥JG，JG⊥GV ， 2 4 2 1 在线段JG上取一点L，设GLa，则LJ  a， 2  1 2 1 5 故KLVL a    a2 ，  2 4 8 显然，直接连接KV ，此时KLVL取得最小值，最小值即为KV ， 2 1 10 1 9 10 由勾股定理得KV        ， 2 4  4 8 4    2  故AEEQ2 2  a 1   1  a2 5 的最小值为2 2 9  10  92 10 ，D正确.   2 4 8 8 4   故选：ABD 高三年级数学试题 第5页 共4页三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知a 1,2，b  x,4，若a与b  的夹角是钝角，则实数x的取值范围是 ． 【答案】,22,8 x2 y2 13．设A为双曲线Γ:  1a0,b0的一个实轴顶点，B,C为Γ的渐近线上的两点，满足 a2 b2   BC 4AC， AC a，则Γ的渐近线方程是 ． 【答案】 2x y 0 14．一只口袋装有形状、大小完全相同的3只小球，其中红球、黄球、黑球各1只．现从口袋中先后有 X，X为奇数 放回地取球2n次  nN* ，且每次取1只球，X 表示2n次取球中取到红球的次数，Y  ， 0，X为偶数 则X 的数学期望为 （用n表示），Y的数学期望为 （用n表示）． 2n n n 【答案】  3 3 32n  1 2n 【详解】由题知X B2n, ,Y 0,1,0,3,  0,2n1,0，则EX  3 3 1 1 2 2n1 1 3 2 2n3 1 2n1 2 1 EY1C1 2n  3    3   3C3 2n  3    3     2n1C 2 2 n n1  3    3   1  C1 22n13C3 22n3 2n1C2n121 32n  2n 2n  2n  2n kCk 2nCk1 ,EY  C0 22n1C2 22n3 C2n221 ，  2n 2n1 32n 2n1 2n1  2n1 (21)2n1 C0 22n1C1 22n2C2 22n3 C2n221C2n120，  2n1 2n1 2n1  2n1 2n1 (21)2n1 C0 22n1C1 22n2 C2 22n3 C2n221C2n120， 2n1 2n1 2n1  2n1 2n1 32n11 2n 32n11 n n C0 22n1C2 22n3 C2n221 ,EY    . 2n1 2n1  2n1 2 32n 2 3 32n n n 故答案为：  . 3 32n 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知函数 f xx3ax2bxa2(a,bR) （1）若函数 f x在x1处有极值为10，求b的值； 高三年级数学试题 第6页 共4页（2）对任意a[1,)， f x在区间0,2单调递增，求b的最小值； 16 【答案】（1）b＝－11 （2） 3 【详解】解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b， f132ab0 于是，根据题设有{ ， f 11aba2 10 a4 a3 解得{ 或{ . b11 b3 a4 当{ 时，f′(x)＝3x2＋8x－11，Δ＝64＋132>0，所以函数有极值点； b11 a3 当{ 时，f′(x)＝3(x－1)2≥0，所以函数无极值点． b3 所以b＝－11. (2)由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋b≥0对任意的a∈[－1，＋∞)，x∈(0,2)都成立， 所以F(a)＝2xa＋3x2＋b≥0对任意的a∈[－1，＋∞)，x∈(0,2)都成立． 因为x>0，所以F(a)在a∈[－1，＋∞)上为单调递增函数 F(a) ＝F(－1)＝－2x＋3x2＋b≥0， min 即b≥(－3x2＋2x) 对任意x∈(0,2)都成立， max 1 1 1 又－3x2＋2x＝－3(x－ )2＋ ≤ ， 3 3 3 1 1 1 所以当x＝ 时，(－3x2＋2x) ＝ ，所以b≥ . max 3 3 3 1 所以b的最小值为 . 3 16．在五面体ABCDEF中，CD平面ADE，EF 平面ADE． （1）求证：AB//CD； （2）若AB2AD2EF2，DE 1，ADECBF 90，求二面角ABFC的大小. ． 5π 【答案】(1)证明见解析 (2) 6 【详解】（1）证明：因为CD平面ADE，EF 平面ADE，所以CD//EF， 因为CD 平面ABEF，EF 平面ABEF， 高三年级数学试题 第7页 共4页所以CD//平面ABEF， 因为平面ABEF平面ABCD  AB，AB平面ABCD， 所以AB//CD． （2）由于CD平面ADE，AB//CD，所以AB平面ADE，AE 平面ADE，故AB AE, 又因为CD平面ADE，AD,ED平面ADE， 所以CDAD,CDED， 如图以D为坐标原点，DA,DC,DE所在的直线分别为x，y，z轴建系， 设DC c，则A1,0,0,B1,2,0,D0,0,0,C0,c,0,E0,0,1,F0,1,1，   故BF 1,1,1,BC 1,c2,0,   由于CBF 90，所以BFBC1,1,11,c2,012c0，故c3，   设平面BFA的法向量为m(x,y ,z)，平面BFC的法向量为n(x ,y ,z )， 1 1 1 2 2 2   因为AB0,2,0，BF 1,1,1，    A  B  m 0 x y z 0, 所以   B  F  m 0 ，即 2y 1 1 0 1 , 1 令x 1，则m (1,0,1)， 1   因为BC1,1,0，BF 1,1,1，    B  C  n0 x  y 0, 所以   B  F  n0 ，即 x 2 2 y 2 2 z 2 0,  令x 1，则n(1,1,2)， 2 设ABFC成的角为，由图可知为钝角，   mn 3 3 5π 所以cos   ，故   m n 2 6 2 6 17．已知数列a 为等差数列，前n项和为S ，且S 60,a 3a 48． n n 6 3 5 数列 b n  满足：2nb 1 2n1b 2   2b n 3n1（nN） 高三年级数学试题 第8页 共4页（1）求数列a 、b 的通项公式； n n 2b 12a 2 （2）若c  n n ，求数列c 的前n项和T ． n a a n n n n1 【详解】（1）设等差数列a 的首项为a ，公差为d， n 1  65 6a  d 60 a 5 由S 60,a 3a 48，可得 1 2  1 ， 6 3 5 a 2d3a 4d48 d 2  1 1 故数列a 的通项公式为a 5n122n3. n n 1 2nb 2n1b  2b 3n1，两边同时乘以 ， 1 2  n 2n 1 1 1 则b  b   b   3n1  1 2 2  2n1 n 2n 当n1时，b 1， 1 1 1 1 当n2时，b  b   b   3n11  ， 1 2 2  2n2 n1 2n1 1 1 1 3n11 3n11 两式相减，可得 b   3n1    3n11   ，所以b  ， 2n1 n 2n 2n1 2n n 2 3n11 当n1时，b 1，故b 满足b ，故b  . 1 1 n n 2 2b 12a 2 3n14n4 3n 3n1 （2）c  n n =   ， n a a 2n32n5 2n5 2n3 n n1 所以T n =c 1 c 2 c 3   c n1 c n 3 1 32 3 33 32 3n1 3n2 3n 3n1 =  +  +  + +  +   7 5 9 7 11 9 2n3 2n1 2n5 2n3 1 3n = + . 5 2n5 1 3n 故T = + . n 5 2n5 1 18．为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来武汉旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中 的人计 3 2 划只参观黄鹤楼，另外 的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁．每位游客若只参观黄鹤楼，则记1分；若 3 既参观黄鹤楼又游览晴川阁，则记 2 分．假设每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立， 视频率为概率． （1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X ，求X 的分布列和数学期望； 高三年级数学试题 第9页 共4页n （2）从游客中随机抽取n人  nN ，记这n人的合计得分恰为n1分的概率为P，求P； n i i1 （3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n分的概率为a ，求数列{a }的通项公式 n n 【详解】（1）由题意得，随机变量X 的可能取值为2，3，4， 1 2 1 1 2 4 2 2 4 可得P(X 2) 3    9 ，P(X 3)C1 2  3  3  9 ，P(X 4) 3    9 . 所以X 的分布列如下表所示： X 2 3 4 1 4 4 P 9 9 9 1 4 4 10 所以，数学期望为E(X)2 3 4  . 9 9 9 3 （2）由这n人的合计得分为n1分，则其中只有1人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁， 2 1 n1 2n n 2 22 23 2n 所以P C1     ,P     ， n n 3 3 3n i 3 32 33 3n i1 1 n 2 22 23 2n 则 P     ， 3 i 32 33 34 3n1 i1 1 1 由两式相减，可得 2  n P  2  2  2  2  2n  2  3n  2n ， 3 i 3 32 33 3n 3n1 3 1 3n1 i1 1 3 n 3 1  n 所以P  1  . i 2 3n  3n i1 （3）在随机抽取的若干人的合计得分为n1分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为n分或 n1分， 记“合计得n分”为事件A，“合计得n1分”为事件B，A与B是对立事件， 2 因为P(A)a ，P(B) a ， n 3 n1 2 3 2 3 所以a  a 1(n2)，即a   a  (n2)， n 3 n1 n 5 3 n1 5 1 3 1 3 4 因为a  ，a     ， 1 3 1 5 3 5 15  3 4 2 则数列a  是首项为 ，公比为 的等比数列，  n 5 15 3 高三年级数学试题 第10页 共4页3 4  2 n1 4  2 n1 3 所以a     (n1)，a     (n1) n 5 15 3 n 15 3 5 19．如图，已知圆锥PO的高PO与母线所成的角为，过A的平面与圆锥的高所成的角为，该平面截这 1 个圆锥所得的截面为椭圆C ，椭圆C 的长轴为AA ，短轴为BB ，长轴长为2a，C 的中心为N，再以BB 1 2 1 2 1 2 为弦且垂直于PO的圆截面，记该圆与直线PA交于C ，与直线PA 交于C ， 1 1 2 2 （1）用a,,分别表示|NC |，|NC | 1 2 1 1 （2）若cos ,cos ，a 3，    3 9 （i）求椭圆C的焦距； （ii）椭圆C 左右焦点分别为F , F ，C上不同两点D,E在长轴同侧，且 1 2 DF //EF ，设直线FE,FD交于点Q，记S s， 1 2 1 2 QDE 设S  f(s)，请写出 f(s)的解析式（不要求求出定义域） 四边形EDFF 1 2 asin() asin() 19．【答案】（1）|C N | ，|C N| 1 cos 2 cos 576s （2）（i）2（ii） f (s) 9s2 128 【 解析 】（1）在 AC N 中， C AN , NA a ，由 正弦 定理得 1 1 1 1 1 NA sinC AN asin() asin() |C N | 1 1 1   1 sinPC N  cos 1 sin( ) 2 asin() 同理，在AC N 中，由正弦定理得|C N| …………………………2分 2 2 2 cos （2）（i）在点C ,C ,B,B 四点所构成的圆中，由圆幂定理得 1 2 1 2 a2sin()sin() b2 |NB |2|NC ||NC | 1 1 2 cos2 1 [cos2cos2] cos 1 e2 1 b2 1 sin()sin() 1 2 ( cos )2 e cos  3 a2 cos2 cos2 cos 又 a 3c1, 故求椭圆C 的焦距2c为2 ……………………………………6分  高三年级数学试题 第11页 共4页  （ii）依题意，设FDF E (0)， 1 2 1 1 S  S s S (1 )S (1 )s DQE F 1 QF 2 EF 1 F 2  QF 1 F 2  1 1 S  S S (1 1)s s EQF 2 EF 1 F 2 QF 1 F 2   S 2S s DQF EQF 1 2 1 S  f(s)( 2)s………………………………………………………………………9分 四边形EDF 1 F 2    以 N 为坐标原点，以向量 AA ，BB 方向分别为 x轴， y 轴正方向，建立平面直角坐标系，则 1 2 1 2 x2 y2 C:  1………………………………………………………………………………………………10分 9 8   延长DF 交C 于E 点，由对称性知DF FE ， 1 1 1 1 1  x x x2 y2 1 1 2 1  1 1   1   9 8 x2 y2 x2 y2 设D(x 1 ,y 1 ),E 1 (x 2 ,y 2 )，则  0 y 1 y 2  x 2 2  y 2 2 1 ( 9 1  8 1 )2( 9 2  8 2 )12  1  9 8 x 45 (x x )(x x ) (y y )(y y )  1 即 1 2 1 2  1 2 1 2 12 x x 9(1)  4 9 8 1 2 x 5   2  x2 (45)2 S (1)s c| y || y | (1)2s2  y2 8(1 1 )8[1 ]  DF 1 F 2 1 1 1 9 9 9(1)2s2 9(2 21)s2 8[9(45)2]8(162 4016)64(22 52) 1 2 1 两边同除以，得9( 2)s2 64(2 5) 设t  2，其中t 4，则有    649 9ts2 64(2t9) 可得t  ………………………………………………………………15分 9s2 128 1 649s 576s  f(s)( 2)st s  …………………………………………………17分  9s2 128 9s2 128 高三年级数学试题 第12页 共4页