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2024-2025 学年湖北省十堰市六县市区一中教联体高二下学期 3 月联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知在等差数列{a }中，a +a =20，a =12，则a =( )
n 4 8 7 5
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10．
2.设m，n为实数，若直线mx+ny+2=0与圆x2+ y2=4相切，则点P(m,n)与圆的位置关系是( )
A. 在圆上 B. 在圆外 C. 在圆内 D. 不能确定
3.在等比数列 中， 是方程 两根，若 ，则 的值为( )
{a } a ,a x2−8x+m=0 a a =3a m
n 2 6 3 5 4
A. −9 B. −3 C. 3 D. 9
1
4.已知f ′(x)是函数f (x)的导函数，且f (x)=2f ′(1)lnx+ ，则f ′(1)=( )
x
A. 1 B. 2 C. −1 D. −2
5.已知等差数列 的首项为 ，且 ， ， 成等比数列，则数列 的前 项和为( )
{a } 1 a a +1 2a {(−1) na } 2025
n 3 5 6 n
A. −1013 B. −505 C. 505 D. 1013
x2 y2
6.已知椭圆C： + =1，直线l：x+ y+3√7=0，若点P为C上的一点，则点P到直线l的距离的最小值
4 3
为( )
A. √7 B. √14 C. 2√7 D. 2√14
7.已知函数 {−x−1,x≤0，若 至少有三个不同的零点，则实数 的取值范围是( )
f(x)= g(x)=f(x)−ax a
|lnx|,x>0
A. B. C. ( 1) D. ( 1]
(0,e) (0,e] 0, 0,
e e
8.瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案如图．图形的作法是：从一个正三角形开始，
把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过
程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原三角形(图①)的边长为1，记第n个图形的周长为a ，数列{a }的
n n
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1 1前n项和为S ，则使得S >72成立的n的最小值为(参考数据：log 2≈0.63)( )
n n 3
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某高校无人机兴趣小组通过数学建模的方式测得了自主研发的无人机在关闭发动机的情况下自由垂直下
降的距离 单位： 与时间 单位： 之间满足函数关系 ，则( )
ℎ( m) t( s) ℎ(t)=2t2+2t
A. 在2≤t≤3这段时间内的平均速度为10m/s
B. 在2≤t≤3这段时间内的平均速度为12m/s
C. 在t=4s时的瞬时速度为18m/s
D. 在t=4s时的瞬时速度为16m/s
10.已知等比数列 的公比为 ，且 ，设该等比数列的前 项和为 ，前 项积为 ，下列选项正确
{a } q a =1 n S n T
n 5 n n
的是( )
A. a +a ≥2
3 7
B. 当 时， 为递增数列
q>1 {a }
n
C. S 单调递增的充要条件为q>0
n
D. 当q>1时，满足T >1的n的最小值为9
n
11.已知双曲线 x2 y2 的左、右焦点分别为 ， ，且 ，过点 且斜率
C: − =1(a>0,b>0) F F |F F |=2c F
a2 b2 1 2 1 2 2
b
为− 的直线l交C于点P，交C的一条渐近线于点Q，则( )
a
A. 若以F F 为直径的圆经过点Q，则C的离心率为2
1 2
B. 若以F F 为直径的圆经过点P，则C的离心率为2√2
1 2
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2 1C. 若 Q ⃗ F =2Q ⃗ P ，则 C 的渐近线方程为 y=±x
2
a2
D. 若点P不在圆E:(x−c) 2+ y2= 外，则C的渐近线的斜率的绝对值不大于1
4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 ．
{a } n S S =2n+a a =
n n n 3
13.过点(3,5)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为__________
14.数列 ： ， ，则 _______
{a } a =1 a +(−1) na =2n−1 S =
n 1 n+1 n 44
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数 ．
f (x)=x3+ax2+4x−3
若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，求 的值；
(1) y=f (x) (1,f (1)) x+3 y−2=0 a
(2)若f (x)在(0,+∞)上单调递增，求a的取值范围．
16.(本小题12分)
π
如图，在三棱锥P−ABC中，∠ABC= ，AO=CO，PA=PB=PC．
2
(1)证明：OP⊥平面ABC；
(2)若PA=√2AB=√2BC，E是棱BC上一点且2BE=EC，求平面PAE与平面PAC的夹角。
17.(本小题12分)
森林资源是全人类共有的宝贵财富，其在改善环境，保护生态可持续发展方面发挥着重要的作用.2020年
12月12日，习近平主席在全球气候雄心峰会上通过视频发表题为《继往开来，开启全球应对气候变化的
新征程》的重要讲话，宣布“…到2030年，我国森林蓄积量将比2005年增加60亿立方米…”.为了实现这
一目标，某地林业管理部门着手制定本地的森林蓄积量规划.经统计，本地2020年底的森林蓄积量为120万
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3 1立方米，森林每年以25%的增长率自然生长，而为了保证森林通风和发展经济的需要，每年冬天都要砍伐
掉 万立方米 的森林 设 为自 年开始，第 年末的森林蓄积量
s (100 − 3x+ ≤−2 3x⋅ =−4√3 x=
x x 3
所以2a≥−4√3，
所以a≥−2√3，
所以 的取值范围为 ．
a [−2√3,+∞)
16.解：(1)证明：连接OB，因为PA=PC，AO=CO，所以OP⊥AC，
π
因为∠ABC= ，AO=CO，所以BO=AO，
2
因为PA=PB，所以△PAO≅△PBO，则∠POA=∠POB，所以OP⊥OB，
因为OB∩AC=O，OB、AC⊂平面ABC，
所以OP⊥平面ABC．
(2)易知AB=BC，O为AC的中点，所以OB⊥AC，
由(1)可知，OB，OC，OP两两垂直，
以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设OA=1，因为PA=√2AB=√2BC，所以△P A C为正三角形，
所以P(0,0,√3)，A(0,−1,0)，C(0,1,0)，
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6 12 1
因为2BE=EC，所以E( , ,0)，
3 3
⃗ ⃗ 2 4
所以AP=(0,1,√3) ，AE=( , ,0)，
3 3
设平面PAE的法向量为⃗n=(x,y,z)，
{⃗ ⃗ { y+√3z=0
n⋅AP=0
则 ，即 2 4 ，
⃗ ⃗ x+ y=0
n⋅AE=0 3 3
⃗
令z=1，则y=−√3,x=2√3， ∴n=(2√3,−√3,1) ，
⃗
又平面PAC的一个法向量为a=(1,0,0) ，
⃗ ⃗
|n⋅a| |2√3| √3
所以cosθ= = = ，
⃗ ⃗ 1×4 2
|n|⋅|a|
π
即平面PAE与平面PAC的夹角为 ．
6
17.解：(1)由题意可得，a =120×(1+25%)−s=150−s，
1
5
a 与a 之间的关系为a =a (1+25%)−s= a −s；
n+1 n n+1 n 4 n
5
(2)由(1)可得a = a −s①，
n+1 4 n
将a −k=r(a −k)化简为a =ra +k−rk②，
n+1 n n+1 n
{ 5 { 5
比较 的系数可得 r= ，解得 r= ，
①② 4 4
k−rk=−s k=4s
5
所以(1)中的递推公式可化为a −4s= (a −4s),n∈N∗；
n+1 4 n
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7 1(3)因为a −4s=150−5s，且s∈(10,30)，
1
所以a −4s≠0，由(2)可知a −4s≠0，
1 n
所以a −4s 5 ，
n+1 = (n∈N∗)
a −4s 4
n
5
故数列{a −4s}是以150−5s为首项， 为公比的等比数列，
n 4
5
其通项公式为a −4s=(150−5s)⋅( ) n−1，
n 4
5
所以a =4s+(150−5s)⋅( ) n−1，
n 4
5
到2030年底的森林蓄积量为该数列的第10项，即a =4s+(150−5s)⋅( ) 9，
10 4
由题意，森林蓄积量到2030年底要达到翻两番的目标，
5
所以a ≥4×120，即4s+(150−5s)⋅( ) 9≥480，
10 4
即4s+(150−5s)×7.45=4s+1117.5−37.25s≥480，
解得s≤19.17，
所以每年的砍伐量最大为19万立方米．
18.解：(1)由题意知k≠0，
可设抛物线方程为 ，
y2=2px(p>0)
直线 的方程为 p( 1 )，
AB x=my+ m= ,m≠0
2 k
设 ，
A(x ,y ),B(x ,y )
1 1 2 2
{ p
联立方程组 x=my+ ,
2
y2=2px,
消去x，整理得y2−2pmy−p2=0，
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8 1，
∴y + y =2pm,y y =−p2
1 2 1 2
⃗ ⃗ y 2y 2 1 ，
∴OA·OB= 1 1 + y y = p2−p2=−3
4 p2 1 2 4
解得p=2，
∴抛物线C的方程为y2=4x．
(2)
设在x轴的正半轴上存在定点M(a,0)(a>0)，使GM⊥HM．
设 ，
G(−1,y ),H(−1,y )
G H
由(1)知y + y =4m,y y =−4，
1 2 1 2
设直线AD，BD的斜率分别为k ,k ，
1 2
∵点D(1,2)，
y −2 y −2 4
∴k = 1 = 1 = ，
1 x −1 y 2 y +2
1 1 −1 1
4
4
同理k = ．
2 y +2
2
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9 14
直线AD的方程为y−2= (x−1)，
y +2
1
令 x=−1 ，得 y =2− 8 = 2(y 1 −2)，
G y +2 y +2
1 1
同理可得 y =2− 8 = 2(y 2 −2)，
H y +2 y +2
2 2
∴y ·y =
2(y
1
−2)
·
2(y
2
−2)
=−4 ．
G H y +2 y +2
1 2
由GM⊥HM，
得 ⃗ ⃗ ，
GM·HM=0
，
(a+1) 2+ y ·y =0
G H
即 ，
(a+1) 2−4=0
解得a=1或a=−3(舍去)．
存在定点M，定点M的坐标为(1,0)．
19.解：(1)设等比数列{a }的公比为q>0，
n
∵2a ，a ，4a 成等差数列，
5 4 6
， ，
∴2a =2a +4a ∴2a =2a (q+2q2 )
4 5 6 4 4
1
化为：2q2+q−1=0，q>0，解得q= ．
2
1
又满足a =4a2，∴a q3=4(a q2 ) 2，即1=4a q，解得a = ．
4 3 1 1 1 1 2
1
∴a =( ) n (n∈N∗)，
n 2
数列 的前 项之积为 ，
∵ {S } n b
n n
b ，
∴S = n (n≥2)
n b
n−1
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10 11 2 b 2 ，
∴ + = n−1+ =1(n≥2)
S b b b
n n n n
即b −b =2(n≥2)，
n n−1
是以 为公差的等差数列．
∴{b } 2
n
1 2 1 2
又 + = + =1，即b =3，
S b b b 1
1 1 1 1
所以b =3+2(n−1)=2n+1；
n
由 得 b ，
(2) (1) c = n=(2n+1)⋅2n
n a
n
，
∴T =3⋅2+5⋅22+7⋅23+…+(2n+1)⋅2n
n
，
2T =3⋅22+5⋅23+7⋅24+…+(2n+1)⋅2n+1
n
两式相减得，
−T =3⋅2+2⋅22+2⋅23+2⋅24+…+2⋅2n−(2n+1)⋅2n+1
n
2(2−2n+1
)
=2+ −(2n+1)⋅2n+1
1−2
，
=(1−2n)⋅2n+1−2
；
∴T =(2n−1)⋅2n+1+2
n
(2)d = b n+2 ⋅a n= 2n+5 = 1 − 1 ，
n b ⋅b (2n+1)(2n+3)⋅2n (2n+1)⋅2n−1 (2n+3)⋅2n
n n+1
所以数列 的前 项和
{d } n
n
M =d +d +···+d
n 1 2 n
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11 1( 1 1 ) ( 1 1 ) [ 1 1 ]
= − + − +···+ −
3×1 5×2 5×2 7×22 (2n+1)·2n−1 (2n+3)·2n
1 1
= − ，
3 (2n+3)⋅2n
7
又M = ，M 是单调递增，
1 30 n
7 1
所以 ≤M < ．
30 n 3
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12 1
