东莞实验中学2024-2025学年第二学期第一次段考
高二数学 参考答案
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B A A C D A
二、多项选择题
题号 9 10 11
答案 ABD ABD BC
三、填空题
2❑√6
12． 5 13．2x−y−π=0 14． π
3
四、解答题
15．解：（1）易知函数的定义域为(0,+∞), ……………………………………………1分
3 (x−1)(x−3)
f′ (x)=x−4+ = ，………………………………………………………………3
x x
分
令 ，得 或 ，…………………………………………………………4分
f′ (x)>0 0<x<1 x>3
令 ，得 ，…………………………………………………………………5分
f′ (x)<0 1<x<3
故函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增，…………6分
∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1),(3,+∞)；递减区间为(1,3). …………………………7
分
1
（2）由（1）得，当 <x<1时，函数f(x)单调递增， …………………………………9分
e
当1<x<e时，函数f(x)单调递减， ……………………………………………………11分
7
所以f(x) =f(1)=− . …………………………………………………………………13分
max 2
16．解：（1）如图，连接AB ，
1由题意知A A ⊥平面A B C ，所以A A ⊥A B ，
1 1 1 1 1 1 1
……………………………………………1分
又 ， ，所以 ，……………………………………………2分
A B =1 A A =❑√3 AB =2=AB
1 1 1 1
因为M是BB 的中点，所以BB ⊥AM．……………………………………………………3分
1 1
因为A A ⊥平面ABC，所以A A ⊥AC，……………………………………………………4分
1 1
又AB⊥AC，AB∩A A =A，所以AC⊥平面A A B B，…………………………………5
1 1 1
分
所以AC⊥BB ．……………………………………………………………………………6分
1
因为AC∩AM=A，所以BB ⊥平面AMC．……………………………………………7分
1
（2）以A为坐标原点，以直线AB，AC，A A 分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
1
， ， ， ， ，
(3 ❑√3)
B(2,0,0) B (1,0,❑√3) A (0,0,❑√3) C(0,2,0) M ,0,
1 1 2 2
…………………………8分
所以 ( 3 ❑√3)， ．……………………………
⃗M A = − ,0, ⃗A C=(0,2,−❑√3)
1 2 2 1
9分
设平面A MC的法向量为⃗n=(x,y,z)，
1
{ ⃗M A ⋅⃗n=− 3 x+ ❑√3 z=0 )
则 1 2 2 ，取 ⃗n=(2,3,2❑√3) ，………………………11分
⃗A C⋅⃗n=2y−❑√3z=0
1
由（1）知平面AMC的一个法向量为 ，……………………………13分
⃗BB =(−1,0,❑√3)
1
因为 ，
2
所以平面A MC和平面AMC夹角的余弦值为 ． ………………………………………15分
1 5
17．解：（1）因为a ，a ，a 成等比数列，又a =1，
1 2 5 1所以 ，即 ，………………………………………………1分
a2=a a (1+d) 2=1×(1+4d)
2 1 5
解得d=2或d=0，……………………………………………………………………………2分
当 时数列 的通项公式 ；………………………………………………4分
d=2 {a ) a =2n−1
n n
当 时数列 的通项公式 ；……………………………………………………6分
d=0 {a ) a =1
n n
所以a =2n−1或a =1.……………………………………………………………………7分
n n
（2）因为d≠0，所以a =2n−1，………………………………………………………8分
n
所以 ，………………………………………………………9分
b =a ⋅2n−1=(2n−1)⋅2n−1
n n
所以 ，……………………………10分
T =1×20+3×21+5×22+⋯+(2n−1)×2n−1
n
则 ，………………………………11分
2T =1×21+3×22+5×23+⋯+(2n−1)×2n
n
所以
−T =1×20+2×21+2×22+⋯+2×2n−1−(2n−1)×2n
n
2×21(1−2n−1) ， ……………………………13分
=1+ −(2n−1)×2n =−3+(3−2n)×2n
1−2
所以 . ………………………………………………………………15分
T =3+(2n−3)×2n
n
18．解：（1）因为四边形F M F N是面积为8的正方形，a2=b2+c2，………………1分
1 2
所以a2=8,b2=c2=4，……………………………………………………………………5分
x2 y2
则椭圆C的标准方程为 + =1. …………………………………………………………6分
8 4
（2）设直线AB斜率存在，设其方程为y=kx+m,m≠±2，……………………………7分
{y=kx+m
)
由 x2 y2 ⇒(1+2k2)x2+4kmx+2m2−8=0 ，…………………………………8分
+ =1
8 4
由题意得 ，………………………………………………………9分
Δ=8(8k2+4−m2)>0
设 ，
A(x ,y ),B(x ,y )
1 1 2 2所以 −4km 2m2−8，…………………………………………………………10
x +x = ,x x =
1 2 1+2k2 1 2 1+2k2
分
因为k +k =8，
1 2
所以 y −2 y −2 kx +m−2 kx +m−2
k +k = 1 + 2 = 1 + 2
1 2 x x x x
1 2 1 2
……………………………………………11分
x +x −4km ，……………………………………12分
=2k+(m−2)× 1 2=2k+(m−2)× =8
x x 2m2−8
1 2
1
整理得m= k−2，…………………………………………………………………………13分
2
所以直线方程为 1 ( 1) ，
y=kx+ k−2=k x+ −2
2 2
所以直线恒过定点( 1 )，………………………………………………………………14分
− ,−2
2
若直线斜率不存在，设其方程为 ， ，………………………15分
x=x A(x ,y ),B(x ,−y )
0 0 0 0 0
由题意得y −2 −y −2 1，……………………………………………………16
0 + 0 =8⇒x =−
x x 0 2
0 0
分
此时直线 1，显然过点( 1 )，
AB:x=− − ,−2
2 2
综上，直线 过定点( 1 ).……………………………………………………………17分
AB − ,−2
219．解：（1）由题意得，函数f(x)定义域为R. ……………………………………………1分
. ……………………………………………………………………………2分
f′ (x)=−ex+a
若 ，则 ， 在 上单调递减. ………………………………………………4分
a≤0 f′ (x)<0 f(x) R
若 ，令 得 ，………………………………………………5分
a>0 f′ (x)=−ex+a=0 x=lna
当 时， ，当 时， ，………………………………………6分
x<lna f′ (x)>0 x>lna f′ (x)<0
∴f(x)在(−∞,lna)上单调递增，在(lna,+∞)上单调递减. ………………………………7分
综上得，当a≤0时，f(x)在R上单调递减；
当a>0时，f(x)在(−∞,lna)上单调递增，在(lna,+∞)上单调递减.
（2）当 时， ，………………………………………………………8分
a=−1 f′ (x)=−ex−1
∵ ，∴ ，………………………………………………9分
g(x)=2x+bsinx g′ (x)=2+bcosx
∴曲线
f (x)
上任意一点
(x ,f (x ))
处的切线斜率为
f′ (x )=−ex 1−1
，…………………10分
1 1 1
曲线
g(x)
上的任意一点
(x ,g(x ))
处的切线斜率为
g′ (x )=2+bcosx
.……………11分
2 2 2 2
由题意得，对任意的 ，总存在 ，使得等式 成立，
x ∈R x ∈R (−ex 1−1)(2+bcosx )=−1
1 2 2
1
将等式变形为2+bcosx = ，…………………………………………………………12分
2 ex 1+1
1
则函数y= 的值域是函数y=2+bcosx 值域的子集. ………………………………13分
ex 1+1 21
由x ∈R得，ex 1+1>1，故函数y= 的值域为(0,1)，………………………………14分
1 ex 1+1
∴ .
(2+bcosx ) ≥1,(2+bcosx ) ≤0
2 max 2 min
∵ ，…………………………………15分
(2+bcosx ) =2+|b),(2+bcosx ) =2−|b)
2 max 2 min
∴{2+|b)≥1)，解得 或 ，……………………………………………………16分
b≤−2 b≥2
2−|b)≤0
∴实数b的取值范围是(−∞,−2)∪[2,+∞). ……………………………………………17分
