文档内容
2024-2025 学年高二上学期开学检测
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上.写
在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.）
1. 若复数 满足 ，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的乘方和乘法、除法运算法则计算 得 ，由共轭复数的定
义得 ，再利用复数的几何意义判断其在第几象限即可得解.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，所以复数 在复平面内对应的点为 ，位于第四象限．
故选：D．
2. 已知正方体 的棱长为 2，E，F 分别是棱 AD， 上的动点，若正方体
的外接球的球心是 ，三棱锥 的外接球的球心是 ，则 的最大值是（
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意找出球心 和 的位置，再根据线面垂直性质得出当 ， ，G三点共线时，
的最大值为 .
【详解】如下图所示：
设BC的中点为G， 的中点为H， 的外接圆圆心为M， 的外接圆圆心为N，
易得 ， ，
过M，N分别作平面 ，平面ABCD的垂线，交点即为 ，
又 为GH的中点，所以当MG和NG最小时， 取得最大值．
设 ， ，由 ，可得 ，
整理得 ，故当 ，
即F为 的中点时，MG取得最小值 ，
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学科网（北京）股份有限公司同理可得NG的最小值也是 ，
此时 ， ，G三点共线， ．
故选：C
3. 若 ，则 （ ）
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
【答案】B
【解析】
【分析】由两角差的正弦、余弦、正切公式展开化简即可.
【详解】由题意得 ，
则
故选：B
4. 底面圆周长为 ，母线长为4的圆锥内切球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作圆锥与其内切球 的轴截面，利用直角三角形求出内切球的半径，再计算内切球的体积.
【详解】由题意可知，圆锥的母线 ，底面半径 ，
根据题意可作圆锥与其内切球 的轴截面如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司根据圆锥和球的对称性可知，球的截面为圆 ，即为等腰 的内切圆，
即 ， ， ， ，
在 中， ，由 ， ，则 ，
在 中， ，即 ，
可得 ，解得 ，即内切球的半径 ，
故内切球体积为 .
故选：C.
5. 已知函数 ，若将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到
函数 的图象，若关于 的方程 在 上有且仅有两个不相等的实根，则实数 的
取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据三角函数图象平移的原则得 的表达式，根据 的范围得出 的范围，结合余弦
函数的性质列出不等式即可得结果.
【详解】将函数 向左平移 个单位长度后得到函数 ，
即 ，
∵ ，∴ ，
∵ 在 上有且仅有两个不相等的实根，
∴ ，解得 ，
即实数 的取值范围是 ，
故选：B.
6. 已知圆锥 在正方体 内， ，且 垂直于圆锥 的底面，当该圆锥的底
面积最大时，圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】如图所示，取 的中点，分别记为 ， ，连接
，根据题意分析出当圆锥底面与正六边形 相内切时，圆锥底
面积最大，结合正方体性质计算即可.
【详解】如图所示，取 的中点，分别记为 ， ，
连接 .
根据正方体的性质易知六边形 为正六边形，
此时 的中点 为该正六边形的中心，且 平面 ，
当圆锥底面内切于正六边形 时，该圆锥的底面积最大.
设此时圆锥的底面圆半径为 ，因为 ，所以 ，
所以 ，圆锥的底面积 ，圆锥的高 ，
所以圆锥的体积 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题关键是由正方体的性质确定圆锥底面面积最大值，根据正六边形的性质求出圆
锥的底面半径.
7. 在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦定理结合整体代入思想求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，而 ，
在 中， ，所以 ，故 ，
由余弦定理得 ，代入 得，
，故 ，
故 ，故B正确.
故选：B
8. 三棱锥 满足 ，二面角 的大小为 ， ，
， ，则三棱锥 外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设 ，根据对角线向量的性质列方程求 关系，从而可得线线垂直，过 作
，连接 ，结合勾股定理，得线线关系，从而可得二面角 的平面角，可将三棱锥
补充直棱柱，从而可确定外接球球心位置得外接球半径，即可得球的体积.
【详解】设 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司因 为
，
所以 ，解得： ，
即 ，可知 ，
过 作 ，连接 ，则 ，
可知 ，且二面角 的平面角为 ，
则 为等边三角形，即 ，
设 ，因为 ，
即 ，解得： 或 ，
可知点 与点A重合或与点B重合，两者是对称结构，不妨取点E与点A重合，
则 ， ，由 ， 平面 ，则 平面 ，
且 为二面 的平面角，可知 为等边三角形，
可将三棱锥 补充直棱柱，如图所示，
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学科网（北京）股份有限公司为底面正 的外心，即 ，
为 的外接球球心，可知 ，且 ，
则三棱锥 的外接球半径 ，
所以外接球的体积 .
故选：C.
【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问
题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离
相等且为半径；
的
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多 包含球、几何体的各种元素以及体现这
些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
二.多选题（共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.）
9. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 的最小正周期是 ，则
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学科网（北京）股份有限公司B. 当 时， 的对称中心的坐标为
C. 当 时，
D. 若 在区间 上单调递增，则
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据正切函数的性质，采用整体换元法依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解:对于A选项，当 的最小正周期是 ，即： ，则 ，故A选项正确；
对于B选项，当 时， ，所以令 ，解得： ，
所以函数的对称中心的坐标为 ，故B选项错误；
对于C选项，当 时， ， ，
，由于 在 单调递增，故 ，
故C选项错误；
对于D选项，令 ，解得： 所以函数的单
调递增区间为： ，因为 在区间 上单调递增，所以
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学科网（北京）股份有限公司，解得： ，另一方面， ，
，所以 ，即 ，又因为 ，所以 ，故 ，故D选项正确.
故选：AD
【点睛】本题考查正切函数的性质，解题的关键在于整体换元法的灵活应用，考查运算求解能力，是中档
题.其中D选项的解决先需根据正切函数单调性得 ，再结合
和 得 ，进而得答案.
10. 某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到
如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位
于 内的学生成绩方差为12，成绩位于 内的同学成绩方差为10．则（ ）
A.
B. 估计该年级学生成绩的中位数约为77.14
C. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50
D. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25
【答案】BCD
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】A项，由各组频率之和为 求参数；B项可由频率分布直方图面积与 比较，估计中位数所在区
间，利用面积关系建方程求解可得；C项，两组求加权平均数可得；D项，由分别两组成绩的方差与两组
总方差的关系求解即可.
【详解】A项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1，
则 ，解得 ，故A错误；
项，前两个矩形的面积之和为
前三个矩形的面积之和为 .
设该年级学生成绩的中位数为 ，则 ，
根据中位数的定义可得 ，解得 ，
所以，估计该年级学生成绩的中位数约为 ，故B正确；
C项，估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为
分，故C正确；
D项，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为
，故D正确.
故选：BCD.
11. 如图所示，在直三棱柱 中，底面 是等腰直角三角形， ，点
为侧棱 上的动点， 为线段 中点.则下列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 存在点 ，使得 平面
B. 周长的最小值为
C. 三棱锥 的外接球的体积为
D. 平面 与平面 的夹角正弦值的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据线面垂直的判定定理与性质即可判断A；如图，确定 三点共线时 取得最
小值，进而判断B；如图，确定球心和半径即可判断C；利用空间向量法求解面面角即可判断D.
【详解】A：由题意知， ，又 平面 ，
所以 平面 ，由 平面 ，得 ；
当 为 的中点时，又四边形 为正方形， 为 的中点，
所以 ，由 平面 ，所以 平面 ，故A正确；
B：将平面 和平面 沿 铺成一个平面，如图，连接 ，交 于 ，
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学科网（北京）股份有限公司此时 三点共线， 取得最小值，即 的周长取得最小值，
又 ，
所以 的周长的最小值为 ，故B错误；
C：易知 中， ，取 的中点 ，过 作 平面 ，如图
，
则三棱锥 的外接球的球心必在 上，且 ，
所以球的半径为 ，其体积为 ，故C正确；
D：易知 两两垂直，建立如图空间直角坐标系 ，
则 ，设 ，
所以 ，
易知 为平面 的一个法向量，设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，所以 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 时等号成立，设平面 与平面 所成角为 ，
则 ，所以 ，故D正确.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问
题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离
相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这
些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
三.填空题（共3小题，每题5分，共15分.）
12. 已知某圆锥的体积为 .侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球的体积为__________
【答案】 ##
【解析】
【分析】设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，高为 ，由条件推得 ，再由圆锥的体积列方程，求得
，再作圆锥的轴截面，利用面积相等即可求出圆锥内切球的半径，即可算得其体积.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】
设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，高为 .
因为圆锥的侧面展开图为半圆，所以侧面展开图的扇形弧长为 ，则 ，
从而 ，则圆锥的体积 ，解得 .
作出圆锥的轴截面，如图所示，其中圆锥内切球的球心为 ，半径为 .
则 ,解得 ，
则该圆锥的内切球的体积为 .
故答案为： .
13. 意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是
什么？这就是著名的“悬链线问题”.双曲余弦函数，就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为
，相应的双曲正弦函数的表达式为 .设函数 ，若实数m
满足不等式 ，则m的取值范围为___________.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】先判断 为奇函数，且在R上为增函数，然后将 转化为
，从而有 ，进而可求出m的取值范围
【详解】由题意可知， 的定义域为R，
因为 ，所以 为奇函数.
因为 ，且 在R上为减函数，
所以由复合函数的单调性可知 在R上为增函数.
又 ，所以 ，
所以 ，解得 .
故答案为： .
14. 在四棱锥 中，底面 ABCD 是平行四边形，E 是棱 PA 的中点，F 在棱 BC 上，满足
，G在棱PB上，满足D，E，F，G四点共面，则 的值为______．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 ##0.75
【解析】
【分析】通过延长DF，交AB的延长线于点Q，先证明点G即EQ与PB的交点，利用 及相似
三角形，证得 ，由 得到 ， ，推出 即得.
【详解】
如图，延长DF，交AB的延长线于点Q，连接EQ，EQ与PB的交点即为G.
理由如下：设D，E，F共面 ，因 ，则 平面 ，
又因 平面 ，故 三点共线，即 .
取AB的中点M，连接EM，因 ，由 可得 ,
因 ,则 ,又E是棱PA的中点，则 ,则得 ,
故有 ，又 ，所以 ，故 ．
【点睛】关键点点睛：本题主要考查通过四点共面确定点的位置的方法，属于较难题.
解题的关键在于先由 ，通过两个平面的相交，证明点 在交线上，从而确定点 的位置.
四.解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 若函数 和 的定义域相同，值域也相同，则称 和 是"同域函数".
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学科网（北京）股份有限公司（1）判断函数 与 是否为"同域函数"，并说明理由；
（2）若函数 和 ，且 是"同域函
数"，求 的值.
【答案】（1）不是，理由见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）判断函数 与 的定义域和值域是否相同，即可得结论；
（2）根据"同域函数"的定义可得 的解集为 ，求得 ，结合对数函数的单调性，
列出相应等式，求得答案.
【小问1详解】
函数y=x2−2x与 不是"同域函数"，理由如下：
函数y=x2−2x与 的定义域均为R，
由 ，可知y=x2−2x的值域为 ，
由 ，可知 值的域为 ，
则y=x2−2x与 的值域不相同，
所以函数y=x2−2x与 不是"同域函数".
【小问2详解】
由 ，得 ，
因为函数 在 上单调递增，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司得 的值域为 ，
由题意得 的解集为 ，
则 是关于 的方程 的两个解，
得 ，得 ，所以 ，且 ，
易得 ，
当 时，函数 是增函数，则 的值域为 ，不符合题意.
当0
