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石河子第一中学 2025届高二年级开学考试 数学试卷
一、单项选择题：（本大题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．）
1．已知全集 ，集合 ，集合 ，则(C A)∪B为（ ）
U
A． B． C． D．
2．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．在ΔABC中， ，则角 的大小为（ ）
A． B． C． 或 D．
4．设 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ， ，则 ， B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ， ，则
5．现测得某放射性元素的半衰期为1500年（每经过1500年，该元素的存品为原来的一半），某生物标本中该
放射性元素面初始存量为m，经检测现在的存量 ，据此推测该生物距今约为（ ）（参考数据：
)
A．2700年 B．3100年 C．3500年 D．3900年
6．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知ΔABC中， ， ，AD为BC上的高，垂足为 ，点 为AB上一点，且 ，则
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学科网（北京）股份有限公司（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 的定义域为R，满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 是奇函数 C． 是偶函数 D． 是奇函数
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是（ ）
A．数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为9
B．投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件 ，“骰子向上的点数大于4”
为事件 ，则事件 ， 中至少有一个发生的概率是 .
C．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是
D．若样本 ， ，…， 的平均数和方差分别为2和3，则 ， ，…， 的平均数和方差
分别为8和27
10．下列命题正确的是（ ）
A．若 ，且 ， B．已知正数 、 满足 ，则 的最小值为
C．若 ，则 的最大值是 D．若 ， ， ，则 的最小值是
11．如图，在正方体 中， 为线段 的中点， 为线段 上的动点．则下列结论正确的是
（ ）
试卷第2页，共3页
学科网（北京）股份有限公司A．若 为 中点，则 平面
B．若 为 中点，则 平面
C．不存在点 ，使得
D．PQ与平面 所成角的正弦值的取值范围为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．若平面向量 ， ，且 ，则 .
13．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形， ，平面 平面ABCD，
中BC边上的高 ， 则该几何体的体积为 ．
14．在 ，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， 交AC于点 ，且 ，
则 的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15(13分）．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，
将测量结果按如下方式分成八组：第一组 ，第二组 ， ，第八组 ，下图是按上述分
组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．
试卷第3页，共3页
学科网（北京）股份有限公司(1)求第七组的频率；
(2)估计该校的800名男生的身高的中位数；
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件
，求 ．
16．（15分）在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)证明： ；
(2)若 ， ，求a的值．
17（15分）．已知函数 ， 的图象的一个对称中心到最近的对
称轴的距离为 .
(1)求函数 的单调递增区间：
(2)将函数 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象，求函数
在区间 上的值域.
18．（17分）如图， 在三棱锥 中， 的中点分
试卷第4页，共3页
学科网（北京）股份有限公司别为 ，点 在 上， .
(1)证明: 平面 ；
(2)证明: 平面 ；
(3)求PA长,并求直线PA和平面BEF所成角的正弦值。
19(17分）．“难度系数”反映试题的难易程度，难度系数越大，题目得分率越高，难度也就越小，“难度系
数”的计算公式为 ，其中L为难度系数，Y为样本平均失分，W为试卷总分（一般为100分或150
分）．某校高二年级的老师命制了某专题共5套测试卷（总分150分），用于对该校高二年级480名学生进行
每周测试，测试前根据自己对学生的了解，预估了每套试卷的难度系数，如下表所示：
试卷序号i 1 2 3 4 5
考前预估难度系数
0.7 0.64 0.6 0.6 0.55
测试后，随机抽取了50名学生的数据进行统计，结果如下：
试卷序号i 1 2 3 4 5
平均分/分 102 99 93 93 87
(1)根据试卷2的预估难度系数估计这480名学生第2套试卷的平均分；
(2)试卷的预估难度系数和实测难度系数之间会有偏差，设 为第i套试卷的实测难度系数，并定义统计量
， 若 ，则认为试卷的难度系数预估合理，否则认为不合理．
以样本平均分估计总体平均分，试检验这5套试卷难度系数的预估是否合理．
(3)聪聪与明明是学习上的好伙伴，两人商定以同时解答上述试卷易错题进行“智力竞赛”，规则如下：双方轮
换选题，每人每次只选1道题，先正确解答者记1分，否则计0分，先多得2分者为胜方.若在此次竞赛中，聪
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学科网（北京）股份有限公司聪选题时聪聪得分的概率为 ，明明选题时聪聪得分的概率为 ，各题的结果相互独立，二人约定从0:0计分并
由聪聪先选题，求聪聪3:1获胜的概率 .
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