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石河子第一中学 2025届高二年级开学考试 数学答案
一、单项选择题：（本大题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．）
一、单选题
1．已知全集 ，集合 ，集合 ，则(C A)∪B为（ ）
U
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用列举法表示出集合A，再利用补集、并集的定义求解即得.
【详解】依题意， ，而 ，则 ，又 ，
所以 .
故选：B
2．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由复数的模长公式及除法运算求解复数 ，然后求其共轭复数即可.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
故选：A
3．在ΔABC中， ，则角 的大小为（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】A
【分析】利用正弦定理计算可得.
【详解】因为 ，
由正弦定理 ，即 ，所以 ，
试卷第1页，共3页
学科网（北京）股份有限公司又 ，所以 ，则 .
故选：A
4．设 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ， ，则 ，
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ， ，则
【答案】D
【分析】根据线面位置关系，结合线面平行、垂直的判定性质逐项讨论即可得答案.
【详解】对于D，由 ，得 ，当 时， ，D正确；
对于B，若 ，则 或相交，B错误；
对于C，若 ， ，则 或异面，C错误；
对于A，若 ， 可以在 或 内，当 时， ， A错误.
故选：D
5．现测得某放射性元素的半衰期为1500年（每经过1500年，该元素的存品为原来的一半），某生物标本中该
放射性元素面初始存量为m，经检测现在的存量 ，据此推测该生物距今约为（ ）（参考数据：
)
A．2700年 B．3100年
C．3500年 D．3900年
【答案】C
【分析】根据对数的运算性质即可求解.
【详解】由题意得 ，
试卷第2页，共3页两边取对数得 .
故选：C
6．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用两角和差公式以及倍角公式化简求值可得答案.
【详解】由题干得
所以 ，
故选：B.
7．已知ΔABC中， ， ，AD为BC上的高，垂足为 ，点 为AB上一点，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的线性关系及数量积的运算律得 可得答案.
【详解】如图所示，
试卷第3页，共3页
学科网（北京）股份有限公司由题意可知， ， ， ，故 ，
因为 ，
所以 ，
则
.
故选：A.
8．已知函数 的定义域为R，满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 是奇函数
C． 是偶函数 D． 是奇函数
【答案】D
【分析】通过对 的赋值，结合奇函数、偶函数的概念逐项判断额.
【详解】由题意知，在函数 中， 2023，
当 时， ，解得 ，
若函数 是R上的奇函数，则该函数的图象必过原点，即有 ，故B错误.
当 时， ，解得 ，
无法得到 ，故A错误.
在函数 中， ，
所以 是奇函数，故C错误，D正确.
故选：D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是（ ）
A．数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为9
B．投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件 ，“骰子向上的点数大于4”
试卷第4页，共3页为事件 ，则事件 ， 中至少有一个发生的概率是 .
C．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是
D．若样本 ， ，…， 的平均数和方差分别为2和3，则 ， ，…， 的平均数和方差
分别为8和27
【答案】AD
【分析】对于A，根据百分位数的定义计算判断，对于B，根据样本的定义分析判断，对于C，根据随机抽样
的性质分析判断，对于D，根据平均数的性质分析判断．
【详解】对于A，因为 ，所以第60百分位数为第5个数是9，所以A正确；
对于B，由题意得事件 ， 中至少有一个发生的对立事件是事件 ， 都不发生，而事件 不发生的概率为
，事件 不发生的概率为 ，所以事件 ， 都不发生的概率为 ，故事件 ， 中至少有一个发生
的概率是 。所以B错误；
对于C，用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是 ，所以C错误；
对于D，若样本数据 ， ， ， 的平均数为2，方差为3，
则 ， ， ， 的平均数为 ，方差为 ,所以D正确．
故选：AD．
10．下列命题正确的是（ ）
A．若 ，且 ，
B．已知正数 、 满足 ，则 的最小值为
C．若 ，则 的最大值是
D．若 ， ， ，则 的最小值是
【答案】BC
【分析】利用基本不等式逐项判断，注意不等成立的前提条件．
试卷第5页，共3页
学科网（北京）股份有限公司【详解】对于选项 ，若 均为负数，不等式不成立，所以 错误；
对于选项 ， ，所以 ，
则 ，
所以， ，当且仅当 ，即当 时，等号成立，故 正确；
对于选项 ，因为 ， ，当且仅当 即 时，等号成立，所以
，故 正确；
对于选项 ，因为 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 即 时，等号成立，
所以 的最小值是 ，故 错误．
故选： ．
11．如图，在正方体 中， 为线段 的中点， 为线段 上的动点．则下列结论正确的是
（ ）
A．若 为 中点，则 平面
B．若 为 中点，则 平面
C．不存在点 ，使得
试卷第6页，共3页D．PQ与平面 所成角的正弦值的取值范围为
【答案】ABD
【分析】利用线面平行的判定定理可判断A；利用线面垂直的判定定理可判断B；当Q与B重合时，结合
平面 ，可证 ，判读C；利用线面角的定义求出PQ与平面 所成角的正弦值的最值，可
判断D.
【详解】对于A，连接 ，由于 为 中点， 为线段 的中点，
故 ，而 平面 ， 平面 ，
故 平面 ，A正确；
对于B，在正方体 中，连接 ，则 ，
又 平面 ， 平面 ，故 ，
而 平面 ，故 平面 ，
由A的分析可知 ，故 平面 ，B正确；
对于C，在正方体 中， 为线段 的中点，也为 为线段 的中点，
当Q与B重合时， 平面 ，
连接 ，则 ，
又 平面 ， 平面 ，故 ，
而 平面 ，故 平面 ，
而 平面 ，故 ，即
即存在点 ，使得 ，C错误；
对于D，不妨设正方体棱长为2，作 ，垂足为H，则H为 的中点，
试卷第7页，共3页
学科网（北京）股份有限公司由于平面 平面 ，平面 平面 ，
且 平面 ，故 平面 ，且 ，
则 为PQ与平面 所成角，
当Q与B重合时， 取到最大值BH，此时PB即为PQ的最大值，
此时PQ与平面 所成角的正弦值取到最小值，为 ，
而 ,故 ；
作 ，垂足为G，则 ， ，
当Q与G重合时， 取到最小值即为HG，此时PG长即为PQ的最小值，
此时PQ与平面 所成角的正弦值取到最大值，为 ，
即PQ与平面 所成角的正弦值的取值范围为 ，D正确，
故选：ABD
【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于选项D的判断，解答时要能根据线面角的定义，确定角的正弦值取到
最值时的点Q的位置，从而解直角三角形求出正弦值.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
试卷第8页，共3页12．若平面向量 ， ，且 ，则 .
【答案】10或2
【分析】根据向量垂直的坐标运算可得 或 ，即可根据模长的坐标公式求解.
【详解】 ， ，且 ，
，即 ，即 ，
解得 或 ，
当 时， ， ，
则 ， ；
当 时， ， ，
则 ，
综上可知， 或2.
故答案为：10或2
13．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形， ，平面 平面ABCD，
中BC边上的高 ， 则该几何体的体积为 ．
【答案】
【分析】先补全多面体ABCDEF，得到三棱柱 ，然后求出三棱锥 的体积，从而求解．
【详解】在多面体 中，由 ， 平面 ， 平面 ，
得 平面 ，延长FE到G，使得 ，连接DG、AG，如图：
试卷第9页，共3页
学科网（北京）股份有限公司显然 ， ，几何体 为三棱柱，
由平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
得 平面 ，则三棱柱 为直三棱柱，
于是三棱锥 的体积为： ，
所以原几何体的体积为： .
故答案为：
14．在 ，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， 交AC于点 ，且 ，
则 的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】根据面积公式和 ，求出 ，故利用基本不等式“1”的代换求出最值，得
到答案.
【详解】 ，
，
，
，
，
∴ ，
试卷第10页，共3页当且仅当 ，即 时，等号成立，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15(13分）．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，
将测量结果按如下方式分成八组：第一组 ，第二组 ， ，第八组 ，下图是按上述分
组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．
(1)求第七组的频率；
(2)估计该校的800名男生的身高的中位数；
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件
，求 ．
【答案】(1) ；(2)平均数为 ，中位数为 ；(3) ．
【分析】(1)由频率分布直方图的性质求第七组的频率；
(2)根据平均数和中位数的定义利用频率分布直方图求平均数和中位数；
(3)确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率.
【详解】解：(1)第六组的频率为 ，
∴第七组的频率为 ．
(2)由直方图得，身高在第一组 的频率为 ，
身高在第二组 的频率为 ，
试卷第11页，共3页
学科网（北京）股份有限公司身高在第三组 的频率为 ，
身高在第四组 的频率为 ，
由于 ， ，
设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则 ，
由 得 ，
所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm
(3)第六组 的抽取人数为4，设所抽取的人为a，b，c，d，
第八组 的抽取人数为 ，设所抽取的人为A，B，
则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况，
因事件 发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，
ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以 ．
16．（15分）在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)证明： ；
(2)若 ， ，求a的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用正弦定理，两角和与差的正弦函数公式化简已知等式可得 ，可得 ，
或 ，分类讨论即可证明 ；
（2）由 ，求解 ，利用 ，求解 ，结合正弦定理即可求解.
【详解】（1）由 及正弦定理 可得， ，
，
即 ，
试卷第12页，共3页所以 ，
整理得 ，
即 ，
又 ， 是 的内角，
所以 ， ，
所以 或 （舍去），
即 ．
（2）由 及 可知， ．
由 可知， ， ．
由 可得， ．
在 中，由正弦定理
可得， ，解得 ，
17（15分）．已知函数 ， 的图象的一个对称中心到最近的对
称轴的距离为 .
(1)求函数 的单调递增区间：
(2)将函数 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象，求函数
在区间 上的值域.
【答案】(1)
(2)
试卷第13页，共3页
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）先利用三角恒等变换公式化简函数 的解析式，接着依据题意 求出 ，进而求出函数
，再令 ，接着求解不等式即可得解.
（2）先由三角变换规则结合（1）得 ，接着由 得 ，再由正
弦函数图像性质即可求出函数y=g(x)在区间 上的值域.
【详解】（1）因为
，
又由题 ，所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以函数 的单调递增区间为 .
（2）由（1） ，
故由题意可得 ，
当 ， ，
试卷第14页，共3页故由正弦函数图像性质可得 ，
所以 即 ，
所以函数y=g(x)在区间 上的值域为 .
18．（17分）如图， 在三棱锥 中， 的中点分
别为 ，点 在 上， .
(1)证明: 平面 ；
(2)证明: 平面 ；
(3)求PA长,并求直线PA和平面BEF所成角的正弦值。
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据给定条件，证明四边形 为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.
（2）由（1）的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直的判定推理作答.
试卷第15页，共3页
学科网（北京）股份有限公司（3）求出平面 与平面 的法向量，由二面角的向量公式求解即可.
【详解】（1）连接 ，设 ，
则 ， ，
因为 ， ，
则 ，
解得 ，则 为 的中点，由 分别为 的中点，
于是 ，即 ，
则四边形 为平行四边形，
所以 ，又 平面 平面 ，
所以 平面 ；
（2）因为 分别为 中点，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ， ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
又因为 平面 ，
所以 平面 ；
试卷第16页，共3页（3）在 中， ，
在 中， ，
❑√14 2 2❑√6
PA=❑√14.AE= ,设AO与BF相交于点G，则G为重心，从而AG= AO= ,
2 3 3
直线PA和平面BEF所成角的正弦值即直线PE和平面BEF所成角的正弦值,设为α
由（2）知， 平面 ，从而 .
19(17分）．“难度系数”反映试题的难易程度，难度系数越大，题目得分率越高，难度也就越小，“难度系
数”的计算公式为 ，其中L为难度系数，Y为样本平均失分，W为试卷总分（一般为100分或150
分）．某校高二年级的老师命制了某专题共5套测试卷（总分150分），用于对该校高二年级480名学生进行
每周测试，测试前根据自己对学生的了解，预估了每套试卷的难度系数，如下表所示：
试卷序号i 1 2 3 4 5
考前预估难度系数
0.7 0.64 0.6 0.6 0.55
测试后，随机抽取了50名学生的数据进行统计，结果如下：
试卷序号i 1 2 3 4 5
平均分/分 102 99 93 93 87
(1)根据试卷2的预估难度系数估计这480名学生第2套试卷的平均分；
(2)试卷的预估难度系数和实测难度系数之间会有偏差，设 为第i套试卷的实测难度系数，并定义统计量
， 若 ，则认为试卷的难度系数预估合理，否则认为不合理．
以样本平均分估计总体平均分，试检验这5套试卷难度系数的预估是否合理．
(3)聪聪与明明是学习上的好伙伴，两人商定以同时解答上述试卷易错题进行“智力竞赛”，规则如下：双方轮
换选题，每人每次只选1道题，先正确解答者记1分，否则计0分，先多得2分者为胜方.若在此次竞赛中，聪
试卷第17页，共3页
学科网（北京）股份有限公司聪选题时聪聪得分的概率为 ，明明选题时聪聪得分的概率为 ，各题的结果相互独立，二人约定从0:0计分并
由聪聪先选题，求聪聪3:1获胜的概率 .
【解析】（1）由题意，
由试卷2的难度系数 ，
解得平均失分： ，
∴这480名学生第2套试卷的平均分为 分；
（2）由题意及（1）得，
， ， ，
， ，
则
，
∴这5套试卷难度系数的预估合理
（3）由题意及（1）（2）得，
聪聪先答对第一题：
聪聪没先答对第一题：
∴聪聪3:1获胜的概率
试卷第18页，共3页
