文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考地区专
用）
黄金卷04
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
一、单选题
1．已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的概念即可解答.
【详解】因为 ，所以 ，
故选B.
2．已知 均为实数，则下列命题是真命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】A
【分析】根据题意,依次分析各选项即可得答案.
【详解】对于A，由 ，得 ，知A正确；
对于B，由 ，得 ，知B错误；
对于C，当 时，则 与 均无意义，知C错误；
对于D，当 时，则 与 均无意义，知D错误.
故选：A.3．已知a，b，c是 的三边，且 ，点O是 外接圆的圆心，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取 的中点 ，然后将 用 表示，进一步用 表示， 用 表示，然后
计算即可.
【详解】取 的中点 ，然后连接
如图
所以 ，由O是 外接圆的圆心，所以
所以
又
故选：C
4．随着经济的发展和人民生活水平的提高，我国的旅游业也得到了极大的发展，据国家统计局网站数据
显示，近十年我国国内游客人数(单位：百万)折线图如图所示，则下列结论不正确的是（ ）A．近十年，城镇居民国内游客人数的平均数大于农村居民国内游客人数的平均数
B．近十年，城镇居民国内游客人数的方差大于农村居民国内游客人数的方差
C．近十年，农村居民国内游客人数的中位数为1240
D．2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数占比逐年增加
【答案】C
【分析】根据每一年城镇居民国内游客人数都多于农村居民国内游客人数，即可判断选项A；根据近十年，
城镇居民国内游客人数的波动比农村居民国内游客人数波动大，即可判断选项B；由中位数的计算方法，
可得近十年农村居民国内游客人数的中位数，即可判断选项C；根据2012年到2019年，国内游客中城镇
居民国内游客人数每年都比农村居民国内游客人数增长多，即可判断选项D.
【详解】由图可知，每一年城镇居民国内游客人数都多于农村居民国内游客人数，
所以近十年，城镇居民国内游客人数的平均数大于农村居民国内游客人数的平均数，故选项A正确；
由图可知，近十年，城镇居民国内游客人数的波动比农村居民国内游客人数波动大，
所以由方差的意义可知，近十年城镇居民国内游客人数的方差大于农村居民国内游客人数的方差，故选项
B正确；
将近十年农村居民国内游客人数从小到大进行排列，
可得近十年农村居民国内游客人数的中位数为 ，故选项C错误；
由图可知，2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数每年都比农村居民国内游客人数增长多，
所以2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数占比逐年增加，故选项D正确.
故选：C.
5．已知函数 的图象恰为椭圆 x轴上方的部分，若 ， ，
成等比数列，则平面上点（s，t）的轨迹是（ ）
A．线段（不包含端点） B．椭圆一部分
C．双曲线一部分 D．线段（不包含端点）和双曲线一部分
【答案】A
【分析】根据等比数列的性质，结合椭圆方程进行求解判断即可.
【详解】因为函数 的图象恰为椭圆 x轴上方的部分，
所以 ，因为 ， ， 成等比数列，
所以有 ，且有 成立，
即 成立，
由 ，
化简得： ，或 ，
当 时，即 ，因为 ，所以平面上点（s，t）的轨迹是线段（不包含端点）；
当 时，即 ，
因为 ，所以 ，而 ，所以 不成立，
故选：A
6．函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由奇偶函数的定义可排除A，当 时函数值为负数排除选项CD，再利用导数法验证函数的
单调性即可得出答案.
【详解】因为 的定义域为 ，且 ，
所以函数 是偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，当 时， ，排除选项CD，
又 ，记 ，则 ，
令f'(x)>0得 ，令f'(x)<0得 ，
所以 在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以 ，即 ，
所以当 时， 在(0,+∞)上单调递增.
故选：B
A B C D
1 1 1 1
7．如图，正方体 棱长为2，点P是面 内一点，M，N分别是棱DC，AD上的点则
三棱锥 的体积最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】设 ， ，由 表示出 ，再求出 的最大值，由等体积法即可求出三棱锥
的体积最大值.
A B C D
1 1 1 1
【详解】因为平面 平面 ，又由正方体的性质知： 平面 ，
所以点P到平面 的距离为 ，
设 ， ，则 ， ， ，所以
，
，
因为 ，所以 ，
令 ，可看作是关于 的一元一次方程，
所以 ，当且仅当 时取等，
所以三棱锥 的体积为： ，
故三棱锥 的体积最大值为 .
故选：A.
8．已知关于 的不等式 在(0,+∞)上恒成立（其中 、 ），则（ ）
A．当 时，存在 满足题意 B．当 时，不存在 满足题意
C．当 时，存在 满足题意 D．当 时，不存在 满足题意
【答案】D
【分析】本题首先可根据题意得出函数 满足有一零点为 、当 时 、当 时
，然后对四个选项依次进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.
【详解】因为关于 的不等式 在(0,+∞)上恒成立，
所以必需要满足 、 ，即对于函数 ，必有一零点为 且零点左右函数值符号不同，
即当 时， ；当 时， ，
A项： ， ，令 ， ， ，
此时 ，不满足零点左右函数值符号不同，A错误；
B项： ， ，令 ， ， ，
此时 ，存在 满足题意，B错误；
C项： ， ，令 ， ， ，
此时 ，不满足零点左右函数值符号不同，C错误；
D项： ， ，令 ， ， ，
此时 ，不满足当 时 且当 时， ，
即不存在 满足题意，D正确，
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．函数 ，则（ ）
A． 的最小正周期为 B． 为偶函数
C． 的最小值为 D． 在区间 单调递增
【答案】BC
【分析】直接利用函数的周期性，奇偶性，单调性及最值的相关性质对各选项进行判定.【详解】对选项A，由 ，
可知 为 的一个周期，故选项A错误；
对选项B，由 得 ，其中 ，定义域为 且 ， ，关于原点对
称，
，
又 ，
所以 ，所以 为偶函数，从而 为偶函数，故选项B正确；
对选项C，令 ，则 ，且
则 ， ，
令 ， ，
则 ，
令 ，可得 ，则 在 单调递增，
令 ，可得 ，则 在 单调递减，
故 的最小值为 ，故选项C正确；对选项D，由于 ，故 在区间 内不单调，故选项D错误，
故选：BC.
10．已知 ，点 满足 ，设点 的轨迹为曲线 ，则（ ）
A．过点 作曲线 的切线，切线长为
B．当 三点不共线时，则
C．在 上存在点 ，使得
D． 的最小值为
【答案】ABD
【分析】设动点坐标，根据 可求得动点轨迹方程，A选项，构造直角三角形，即可求得切线长；B
选项可知 是 内角 的角平分线， 即可得出结论；C选项，可以求得动点 的轨迹，判断两
曲线的位置关系来判断是否存在；D选项，三点共线时和最小可以求解.
【详解】设P点坐标为 ，由 ，则 ，化简得
，所以动点轨迹是以 为圆心， 为半径的圆.
A选项，过点 作曲线 的切线，切线长为 ，A选项正确.
B选项，当 三点不共线时，由三角形内角平分线定理可知， 是 内角 的角平分线，
所以 .故B选项正确.
C选项，因为 ，设 ，则 ，化简得轨迹为 ，所以动点
的轨迹为圆心 ，半径为 的圆，圆心距，所以两圆位置关系为内含，所以在 上不存在点 ，使得 ，故C错误.
D选项，因为 ，所以 ，
故D正确.
故选：ABD
11．函数 的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，并把其与y轴的交点
关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧
圆”，则当 ， 时，下列结论正确的是( )
A．函数 的图象关于直线 对称
B．当 时， 的最大值为－1
C．函数 的“囧点”与函数 图象上的点的最短距离为
D．函数 的所有“囧圆”中，面积的最小值为
【答案】BCD
【分析】A．根据函数是偶函数，进行判断即可．
B．判断当 时，函数的单调性即可．
C．求函数 的导数，利用导数的几何意义进行求解．
D．利用两点间的距离公式进行判断求解．
【详解】当 ， 时，函数 .
A．f(x)的定义域为 ， ，且为偶函数，则函数关于 对称，故A错误；
B．其图象如图所示，当 ， 为减函数，则当 时， 最大为 ，故B正确；
C．当 时， ，即函数图象与 轴的交点为 ，其关于原点的对称点为 ，所以“囧点”为 ，设 ，则 ，设切点为 ， ， 切线的斜率 ，
当“囧点”与切点的连线垂直切线时，距离最短， ，解得 ，
切点坐标为 ，
故函数 的“囧点”与函数 图象上的点的最短距离是 ，故C正确，
D．“囧圆”的圆心为 ．要求“囧圆”的面积最小，则只需考虑 轴及 轴右侧的函数图象．当圆
过点 时，其半径为2，这是和 轴下方的函数图象有公共点的所有“囧圆”中半径的最小值；
当圆 和 轴上方且 轴右侧的函数图象有公共点 时，设 （其中 ，
则点 到圆心 的距离的平方为 ，
令 ， ，则 ，
再令 ，（其中 ，则 ，
所以当圆 和 轴上方且 轴右侧的函数图象有公共点时，最小半径为 ．又 ，
综上可知，在所有的“囧圆”中，半径的最小值为 ．
故所有的“囧圆”中，圆的面积的最小值为 ，故D正确，
故选：BCD．第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．设等差数列 的前 项和为 ,若 , ,则 .
【答案】10
【分析】将 和 用首项和公差表示，解方程组，求出首项和公式，利用公式求解 .
【详解】设该数列的公差为 ，由题可知： ，解得 ，故 .
故答案为：10.
13．已知 是方程 的两根，且 ，则 的值为 .
【答案】
【分析】根据韦达定理求出 的值，进而结合两角和的正切公式求出 的值，
缩小角的范围即可求出结果.
【详解】∵ 是方程 的两根，∴ ，∴ .
又 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ .
故答案为： .
14．我们想把9张写着1~9的卡片放入三个不同盒子中，满足每个盒子中都有3张卡片，且存在两个盒子
中卡片的数字之和相等，则不同的放法有 种.
【答案】204
【分析】首先列出至少有两个卡片之和相等的盒子的情况，然后利用全排列即可求解.
【详解】由题意可知，设存在的这两个盒子中卡片的数字之和相等，设其相等的和为 ．
当 时，共有1种情况，即 ；
当 时，共有3种情况，即 ， ，{(1，5，6)，(2，3，7)}；
当 时，共有5种情况，即 ， ， ， ，
；
当 时，共有7种情况，即 ， ， ， ，
， ， ；
当 时，共有2种情况，即 ， ；
当 时，共有7种情况，即 ， ， ， ，
， ， ；
当 时，共有5种情况，即 ， ， ， ，
{(1，7，9)，(3，6，8)}；
当 时，共有3种情况，即 ， ；当x＝19时，共有1种情况，即{(3，7，9)，(5，6，8)}；
综上所述，共有1＋3＋5＋7＋2＋7＋5＋3＋1＝34(种)情况，
∴不同的放法共有： 种．
故答案为：204．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．某厂为提高工作效率，将全厂分为甲、乙2个车间，每个车间分别设有A，B，C，D，E5组．下表为
该厂某日生产订单情况统计表，请据表解答下列问题：
A B C D E
10 18
甲车间 120 150 200
0 0
15
乙车间 50 120 200 180
0
(1)求甲、乙2个车间该日生产订单的平均数与方差，并根据方差判断哪一个车间工作效率比较稳定？
(2)设甲车间合格率为0.54，乙车间合格率为0.57，求甲、乙2个车间都不合格的概率；
(3)你认为哪个车间工作效率更高？请从平均数、方差、合格率的角度分析．
【答案】(1)甲车间的平均数150，乙车间的平均数140，甲车间的方差1360，乙车间的方差2760，甲车间
工作效率比较稳定(2)0.1978(3)答案见解析
【分析】（1）计算甲车间该日生产订单的平均数，乙车间该日生产订单的平均数，甲车间该日生产订单
的方差，乙车间该日生产订单的方差；
（2）计算甲、乙2个车间都不合格的概率；
（3）比较2个车间的平均数、方差和合格率.
【详解】（1）甲车间该日生产订单的平均数为 ，
乙车间该日生产订单的平均数为 ，
甲车间该日生产订单的方差为 ，
乙车间该日生产订单的方差为 ，
因为甲车间该日生产订单的方差小于乙车间该日生产订单的方差，所以甲车间工作效率比较稳定；
（2）甲、乙2个车间都不合格的概率为 ；
（3）平均数上甲车间的该日生产订单更大，方差更小，乙车间合格率更大，但是差别并不大，所以甲车
间工作效率更高.16．已知函数 ．
（1）当 时，求 的值域；
（2）已知 的内角 的对边分别为 ， ， ，求 的面积．
【答案】（1） （2）
【详解】试题分析：（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合 ，即可求得 的值域；
（2）由 求得 的值，利用余弦定理求得 的值，可得 的面积．
试题解析：（1）由题意知，由 ．
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．
（2）∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴由余弦定理可得 ，∴ ，
∴ ．
17．已知椭圆 的离心率为 是它的左、右顶点，过点 的动直线 （不
与 轴重合）与 相交于M、N两点， 的最大面积为 .
(1)求椭圆 的方程；(2)试探究：原点 是否一定在以线段MN为直径的圆内？证明你的结论.
【答案】(1)
(2)原点 一定在以MN为直径的圆内，证明见解析
【分析】（1）根据最大面积可得 ，再结合离心率及 求解作答；
（2）设出直线l的方程，与椭圆E的方程联立，利用韦达定理结合平面向量数量积推导 为钝角作
答.
【详解】（1）依题意， ，设椭圆E上点M的纵坐标为 ， ，
的面积 ，当且仅当 时取等号，
因此 ，而 ，且 ，解得 ， ，
所以椭圆E的方程为 .
（2）原点 一定在以MN为直径的圆内，证明如下：
设直线l的方程为 ，M(x ,y )，N(x ,y )，
1 1 2 2
联立 ，得 ，则 ， ，
则 ，
又 ， ，则 ，
所以 为钝角，所以原点 一定在以MN为直径的圆内.18．如图，在四棱锥 中， 平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中 ∥ ， ，
， ， 为棱BC上的点，且 ．
(1)求证： 平面PAC；
(2)求点 到平面PCD的距离；
(3)设 为棱CP上的点（不与C，P重合），且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为 ，求 的值．
【答案】(1)证明见解析(2)2(3)
【分析】（1）如图建立空间直角坐标系.利用向量法可得 ， ，即可证明结论；
（2）由（1）可得 与平面PCD的法向量，即可得答案；
（3）设 ，后由直线QE与平面PAC所成角的正弦值为 结合空间向量知识可得关于
的方程，即可得答案.
【详解】（1）因为 平面 ， 平面 ， 平面
所以 ， .因为 则以A为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系．
由已知可得 ， ， ， ， ， ．
所以 ， ， ．
因为 ，所以 . ，所以 ．
又 ， 平面 ， 平面 ．所以 平面 ；
（2）由（1）可知，设平面 的法向量 因为 ， ．
所以 ，即 不妨设 ，得
点 到平面 的距离 ．
所以点 到平面 的距离为 ． ．
（3）设 ，即 ．
则 ，即 .
则 .由（1）可取 为平面PAC法向量.
因 与平面 夹角 正弦值为 ，
则
即 解得 ，即 .
19．在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而牛顿（Issac Newton，1643-1727）在
《流数法》一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解.具体步骤如下：设 是函数y=f (x)的一个零点，
任意选取 作为 的初始近似值，曲线y=f (x)在点(x ,f (x ))处的切线为 ，设 与 轴交点的横坐标为
0 0，并称 为 的 次近似值；曲线y=f (x)在点(x ,f (x ))处的切线为 ，设 与 轴交点的横坐标为 ，
1 1
称 为 的 次近似值.一般地，曲线y=f (x)在点 处的切线为 ，记 与 轴交点的横
坐标为 ，并称 为 的 次近似值.不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取 为方程
的近似解.现在用这种方法求函数 的大于零的零点 的近似值，取 .
(1)求 和 ；
(2)求 和 的关系并证明 ；
(3)证明： .
【答案】(1) ； (2) ，证明见解析(3)证明见解析
【分析】（1）根据题干中的 为 的 次近似值和 为 的 次近似值的定义即可求解；
（2）求出直线 的方程， 直接求横截距即可.
（3）借助第（2）题的结论，根据几何意义得到 ，后面再根据此不等式进行放缩得到
，再进行放缩得 ，利用不等式的性质和数列分组求和即可
【详解】（1） ， ， ，令 ，得 ， ，所以 ，令 ，得 ，
（2）由题意得， ，令 ，得
（3）由（2）知， ，所以 ，
由几何意义易知： ，所以 ，
由 得， ，
即 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
即
