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2024 — 2025 学年度上学期期末考试高三试题参考答案
数 学
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.A 2.C 3.A 4.C 5.B 6.C 7.D 8.B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.AC 10.ABC 11.ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13. 14. ，
45
四、4解答题：本2题2共+15小题，共−77∞分.0解∪答应0,写1 出文字说明、证明过程或演算步骤.
15解：（1）证明 ADC和BDC为两个完全相同的三角板
拼接前有∵CD AD和CD BD
∴折后不变，即⊥CD PD和⊥CD BD
又PD BD=D，PD⊥ 面PBD，⊥BD 面PBD
CD ∩面PBD………⊂………………⊂……………………………………………..4分
（2）由∴①可⊥知CD PD和CD BD
二面角P-CD-B的平⊥面角为 P⊥DB, 即 PDB=
∘
∴ 又 PD=BD PDB为∠等边三角形∠，CD 6面0PBD
CD∵ 面BCD∴,Δ面BCD 面PBD,面BCD ⊥面PBD=BD,
在平面 ⊂中,过D作DQ B⊥D,以D为坐标原∩点，以 为x轴正方向，以 为y轴正方向，
以 为 z轴 正方向，建立空⊥间直角坐标系.………… … ………………5分
1 3
，0，
令PD＝DB＝DC＝2，则C(0，2，0)，B(2，0，0)，P(1，0， 3)，H 2 2
则 － ， ＝ ， ＝
3 3
因为 点=(是线2,段2,0) 上 的 四(等−分1点,0,且3靠)近 点 ，(−2,0, 2 )
{#{QQABKYEsxggYgBaACT4rQUkwCUkQsJOiJWgEQQAeqARKSINIBIA=}#}所以 ，所以 ………………7分
3 3 3 3 3
设平面 =4的 法 =向量−为2,2 n ,＝0 (x，y，z ) = − = 0,−2, 2
， －2x＋2y＝0，
则 即
， －x＋ 3z＝0，
∙ =0
令x ＝∙ 3 ，=则0 y＝ 3，z＝1，n＝( 3，3，1).………………………………9分
设直线GH与平面PBC所成角为θ，
→
|n·HG|
则sinθ＝|cos〈n， 〉|＝ ＝
→ 3 3
|n||HG| 0× 3+ −2 × 3+2×1 7
2 3 2 3 2 2 2 2 = 7
0 + −2 + 2 × 3 + 3 +1
……………………………11分
因为且 ， 为锐角，所以 ，又因为 ，所以 .
2 2 42 6
+ =1 = 7 = = 6
所以，直线GH与平面PBC所成角的正切值为 .…………………………………13分
6
16.解:（1） ， 6
∵ > ∴， > − >0 ………………………2分
2
5 5 2 5
∴ − = 5 − = 1− 5 = 5
= − + = − ∙ …+ … … …−… …∙… … ……………4分
2 5 5
= 5 + 5
又 ，
3 3 5
= = 5 ∴ = 5
， ， .…………………………7分
3 5 2 5 5
（2）方∴ 法5 一 ： = 5 + 5 ∴ = ∴ =4
在 中，
△ = − + = − ∙ − − ∙
5 2 2 5 2 10
= × − × =−
5 2 5 2. 1…0……………………………………………………………10分
3 5 3 10
= 5 = 10
………12分
3 10 2 10 2 2 5
∴ = + = + = 10 × 2 + − 10 × 2 = 5
.
1 1 5 3
△ =2× =2×3× 5× 5 =2
又因为 为 的重心， 到边AC的距离为 到AC的距离的 倍，
1
△ 3
. ……………………………………………15分
1 1
∴方 法△ 二 （ =酌3情 △赋 分 ）=2：
= − + = − ∙ − − ∙
{#{QQABKYEsxggYgBaACT4rQUkwCUkQsJOiJWgEQQAeqARKSINIBIA=}#}5 2 2 5 2 10
= × − × =−
在 中，由余弦定理得： 5 2 5 2 10
2
2 2
△ 即： 3 =， 解+得：5 −2 .× 5×
2
+ 2 −4=0 = 2
10 2 3 10 2 2 5
延 长 =−， 交 于+ ，=在− 中 ，+ =− − × + × =
10 2 10 2 5
△ ， ，
2
2
2 3 3 2 5 5 5 5 2 5
∴ = + 5 −2× × 5× = ∴ = ∴ = × =
由正弦定理2得： 2， 5 4 2 2 3 3
3 5
2 2 3
∠ = ∴ ∠ =5
.
1 5 3 1
∴17 .解△ ： （ 1=）2× 3 × 5×5 =2
−1 2 ……………………1分
= ' 1 − ' −1 +
令 ，有 −1 . 求得 .……………………2分
' = ' 1 − ' −1 +2
令 ，有 0 , .
=1 ' 1 = ' 1 − ' −1 +2 ' −1 =2
求得 …….….……−2….………….……………−2…………..……………..4分
=−1 ' −1 = ' 1 − ' −1 −2 ' 1 =6
（2） ， 2
' 1 =6
有 2
' −1 =2 ' 1 =6
+1 …2 ……………………………………………………………5分
=6 −2 +
令 +1，
' =6 −2+2
所以 在 上单调递增. +1
= ' ' =6 +2>0
' ，
6
' −故2 = −6<0 使 ' −1 =2>0
时， ， 单调递减；
∃ ∈ −2,−1 ' =0
时， ， 单调递增.….….……….………….…………………7分
∈ −∞, ' <0
所以
∈ ,+∞ ' >0
又当 时， +1 2
= =6 −2 +
，
∈ −2,−1
所以 +1， ， 2
6 >0 −2 + >0
故 恒成立. 在 上无零点.….….……….………….……………………….9分
>0
（3）令
>ℎ0
时，
ℎ = − −1 >−1
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以
ℎ ' = −1>0 >0 ℎ ℎ
故有 …………………….○1 ….….……….………….……………11分
−1,0 0,+∞ ≥ 0 =0
令 ，
≥ +1
= +1− +2 >−1
1 +1
' =1−时， =
+2 +2
在 上单调递增,
>−1 ' >0
故有 …………………………○2
−1,+∞ > −1 =0
+1> +2
{#{QQABKYEsxggYgBaACT4rQUkwCUkQsJOiJWgEQQAeqARKSINIBIA=}#}由○1，○2可得 ….….……….………….………………………..……13分
> +2
+又1 时， 恒成立
6 >6 +2
所以 2
>−1 −2 + ≥−1
即 +1 2 .….….……….………….………………………..………15分
6 −2 + >6 +2 −1
18.（1） 同学参赛得分 所有取值为0,4,8,12.
>6 +2 −1
1
( =0)=
4
2 1
3 2 4 3
( =4)= × 3 =
4 6 20
1 2
3 2 4 9
( =8)= × 3 =
4 6 20
0 3
3 2 4 3
所(以 =的12分)布=列×为 3 =
4 6 20
0 4 8 12
1 3 9 3
….….… …….………….……………………………………………………..……………..4分
4 20 20 20
….….……….………….……6分
3 3 2 3
（(2 ）)=①4设×乙6×选4手×在4三=次6测, 试中 得( 分)为= 3，×则6×所3有×取4=值4为. 0,4,8,12.
0 2 3 8
( =0)= 3( ) =
3 27
1 1 1 2 2 4
( =4)= 3( ) ( ) =
3 3 9
2 1 2 2 1 2
( =8)= 3( ) ( ) =
3 3 9
3 1 3 1
的( 分=布12列)为= 3( ) =
3 27
0 4 8 12
8 4 2 1
27 9 9 27
………….………………………..……………………………………10分
②设该队在“编程调试与仿真设计”实操测试比赛中总得分为
则 所有取值为0,4,8,12,14,18,22,24,28,32.
在甲选手已通过测试的条件下概率如下：
0 2 3 8
( =0)= 3( ) =
3 27
1 1 1 2 2 0 1 2 1
( =4)= 3( ) ( ) × 2( ) =
3 3 2 9
{#{QQABKYEsxggYgBaACT4rQUkwCUkQsJOiJWgEQQAeqARKSINIBIA=}#}2 1 2 2 1 0 1 2 1
( =8)= 3( ) ( ) × 2( ) =
3 3 2 18
3 1 3 0 1 2 1
( =12)= 3( ) × 2( ) =
3 2 108
1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2
( =14)= 3( ) ( ) × 2( ) ( ) =
3 3 2 2 9
2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1
( =18)= 3( ) ( ) × 2( ) ( ) =
3 3 2 2 9
3 1 3 1 1 1 1 1 1
( =22)= 3( ) × 2( ) ( ) =
3 2 2 54
1 1 1 2 2 2 1 2 1
( =24)= 3( ) ( ) × 2( ) =
3 3 2 9
2 1 2 2 1 2 1 2 1
( =28)= 3( ) ( ) × 2( ) =
3 3 2 18
3 1 3 2 1 2 1
的( 分=布32列)为= 3( ) × 2( ) =
3 2 108
0 4 8 12 14 18 22 24 28 32
8 1 1 1 2 1 1 1 1 1
… .….……….………….………………………..……………………………………15分
27 9 18 108 9 9 54 9 18 108
8 1 1 1 2 1 1 1
( )=0× +4× +8× +12× +14× +18× +22× +24×
27 9 18 108 9 9 54 9
1 1 298
+28× +32× =
因为甲选手通18过测试的1概08率为27,所以总得分的期望为 .….….………………17分
3 3 298 149
②方法二（酌情赋分）：总得分4 设为 ，因为乙选手和4×丙2选7手=得18分分别服从二项分布，
则 .
3 1 3 8 1 149
( )= 4×3×3×4+4×(1−27)×2×2×10= 18
19.（1）因为椭圆 ： ，所以椭圆的左右两个焦点坐标为 ，
2
2
所以双曲线 的1 焦6点+坐 标=也1是 ， ，所以双曲 1线−中5，,0 2 5,0
2
设双曲线 的 方程是： 1 − 5,0 2 5,0 =5
2 2
2 2
−5− =1
将点 代入得： ， ，
2 4 4 2
2 2
化简得2：,2 −5− =1， −11 +10=1
解得： 2 或 2 .
−1 −10 =0
又因为 2 ，所2以 （舍）
=1 =10
2 2 2
所以双曲 线< 的标准方 程=是1：0 .….….……….………….…………..4分
2
2
（2） 当直线 中有一条直线的斜 率−为4 =，1另一条直线的斜率不存在时，
1, 2 0
{#{QQABKYEsxggYgBaACT4rQUkwCUkQsJOiJWgEQQAeqARKSINIBIA=}#}直线 与 轴重合，不符合题意；
当直线 中有一条直线的斜率为 或 ，另一条直线的斜率为 或 时，
1 1
直线 1, 2 与渐近线无交点，不符 2 合题 − 意 2 ； −2 2
所以直线 1, 2 均存在且不和渐近线平行.….….……….………….………………6分
1, 2
设l 的方程为： ， ， ，
1
双曲线 的渐近线 =方程 为+： 和 1, 1 2, 2
=2 =−2
由 ，得 ，所以 ，所以 .
= + =1−2 2
1−2 = 2 1−2 ,1−2
=2
=1−2
同理： . ….….……….………….………………8分
−2
1+2 ,1+2
所以 .同理： ….….…………10分
2
4 −4
2 2 2 2
1−4 ,1−4 −4, −4
因为 、 、 三点共线，所以 ， ，
4 2
4 4 −1 −12 +1
= 1−4 2 − ,1−4 2 = 1−4 2 2 −4 , 1−4 2 2 −4
所以 = ，化简得： ；
2 4
−12 +1 4 4 −1
1−4 2 − 1−4 2 2 −4 1−4 2 1−4 2 2 −4 =− 3
因为 ，所以 ；….….…………….………………………..……………..13分
2
=2 =− 3
因为
4
= = ∙2
所以 3 ….….……….……15分
+2 +2 3 +2 3 1 1
= +1 = 4 3 +1 2 =2∙2 +1 +1 =2 2 − +1 2 +1
所以
3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1
=2 1×2−2×2 2 +2 2×2 2 −3×2 3 +2 3×2 3 −4×2 4 +⋯+2 2 − +1 2 +1
3 1 1 1 1 1 1 1 1
= − 2+ 2− 3+ 3− 4+⋯+ − +1
2 1×2 2×2 2×2 3×2 3×2 4×2 2 +1 2
3 1 1 3 3
= − +1 = − +2
所以2 2 +1 2 ….…4.…… +…1.…2……….………………………..……………17分
3 3
=4− +1 2 +2
{#{QQABKYEsxggYgBaACT4rQUkwCUkQsJOiJWgEQQAeqARKSINIBIA=}#}
