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2025 - 2026 学年度上期七校高三二阶段联考
数学试题 (参考答案)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B C C B C A D ACD ABD AB
1 n2-n
12.- 13. ，n∈N* 14.2
4 2
f(x) xf'(x)-2f(x)
8.解析：令g(x)= (x>0),∴g'(x)= >0，
x2 x3
∴函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，
f(x+1) f(x2+x)
∵x2f(x+1)-f(x2+x)<0，∴ - <君0，∴g(x+1)1，又∵x+1>0,x2+x>0,即x>0，∴x>1，
试
∴不等式的解集为(1,+∞).
中
11.解析：对于选项A，取B C 的中点O ，连接A O 并延长交B C 于P，连接B P，
1 1 1 1 1 1 1 1
高1
∵AB⊥AC，且AB=AC=2,∴A O = B C =O P,
1 1 2 1 1 1
：
∴四边形A B PC 是平行四边形，∴C P⎳A B ,C P=AB,
1 1 1 1 1 1 1
号
由直三棱柱A B C -ABC知，AB⎳A B ,AB=A B ,
1 1 1 1 1 1 1
∴C P⎳AB,C P=AB,∴四众边形ABPC 是平行四边形，
1 1 1
∴BP⎳AC ,故A正确公.
1
对于选项B，如图，过C 作C D ⎳A B 交B C 于D ，
1 1 1 1 1 1 1 1
当点P是D C 中点时，点P到A B 的距离d最大，d =1+ 2,
1 1 1 1 max
1 1
又因为S = AB⋅BB = ×2×4=4,
ΔABB 1 2 1 2
4(1+ 2)
∴三棱锥P-ABB 体积的最大值为V = ，故B正确；
1 max 3
对于选项C，过P作D D⊥平面ABC分别交B C 于D ，交BC 于D，连接AD交
1 1 1 1
BC于O，连接A O，
1
则∠PAD为直线PA与底面ABC所成角，
因为PA⊥平面A BC，PA⊂平面A ADD ，
1 1 1
平面A ADD ∩平面A BC=A O，
1 1 1 1
π
所以PA⊥A O，∠PAD+∠AOA = ，
1 1 2
π
又因为 A A⊥AO，∠OA A+∠AOA = ，
1 1 1 2所以∠PAD=∠OA A，
1
AO 2 1
所以sin∠PAD=sin∠OA A= = = ，故C不正确．
1 A O 3 2 3
1
对于选项D，如图，将侧面ABB A 展开与底面AA C C在同一平面，
1 1 1 1
BC = (2+2)2+42=4 2,且4 2< 16+2π2
1
即质点沿着面ABB A 和底面AA C C运动从点B到C 的最短路程是4 2，
1 1 1 1 1
故D不正确；
故选AB.
f(1-2x)=-f(1+2x)
14.解析：由题得
，等式两边同时求导，
x-f(x+2)=-x-f(2-x)
君
-2f'(1-2x)=-2f'(1+2x) f'(1-2x)=f'(1+2x)
得
，∴ ，
1-f'(x+2)=-1+f'(2-x) f'(x+2)+f'(2-x)=2 ①
卷
∴f'(1-x)=f'(1+x),用x-1替换x可得f'(2-x)=f'(x),
试
结合①可得f'(x+2)+f'(x)=2,∴f'(x+4)+f'(x+2)=2，∴f'(x+4)=f'(x)，
中
∴f'(x)是周期函数，周期为4，
高
在f'(x+2)+f'(2-x)=2中令x=1，得f'(1)+f'(3)=2,
：
∴f'(2025)+f'(2027)=f'(1)+f'(3)=2.
1 1 号
15.解：(1)f'(x)=- + +2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2
x x
众
f'(1)=2
由题意可知
f(1)=2公+2=4
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4
所以f(x)在x=1处的切线方程为y-4=2(x-1),即2x-y+2=0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6
1 1 2x+ x-1 ( x+1)(2 x-1)
(2)f'(x)=- + +2= =
x x x x
1
因为x∈[ ,2]时，所以f'(x)≥0，所以f(x)单调递增⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9
4
1 3
所以f( )=2ln2+ f(2)=-ln2+2 2+4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11
4 2
1 3
所以当x= 时,f(x)取最小值,最小值为2ln2+
4 2
当x=2时,f(x)取最大值,最大值为-ln2+2 2+4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13
16. 证明:(1)取PB中点F,连接EF,AF
1
∵E,F分别为PC,PB中点∴EF∥BC, EF= BC
2
1
又AD∥BC, AD= BC ∴EF∥AD, EF=AD
2
∴ 四边形AFED为平行四边形，∴AF∥DE又DE⊄平面PAB，AF⊂平面PAB
∴DE∥平面PAB⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5
(2)取AB中点O,连接PO
∵△PAB为正三角形 ∴PO⊥AB，AP=AB=1
又AD=1，PD= 2 则满足AD2+AP2=PD2
故AD⊥AP
又AD⊥AB，AB∩AP=A ，AB,AP⊂平面PAB
∴AD⊥平面PAB，又AD⊂平面ABCD
∴平面PAB⊥平面ABCD
又PO⊥AB，PO⊂平面PAB，平面PAB∩平面ABCD=
o
AB
∴PO⊥平面ABCD
在平面PAB内过点A作AM∥PO, 则AM⊥平面ABCD
君
如图所示,以A为坐标原点, AB,AD,AM分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系
卷
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8
试
1 3 3 3
B(1,0,0)，D(0,1,0)，P( ,0, )，C(1,2,0)，E( ,1, )⋯⋯⋯⋯⋯9
2 2 4 4
中
1 3
BD=(-1,1,0)，BE=(- ,1, )
高
4 4
设平面EBD的一个法向量为m=(x：,y,z)
m⋅BD=0 -x+y=0 号
即 1 3
- x+y+ z=0
m⋅BE=0 众
4 4
取x=1，则y=1,z=-公3，即m=(1,1,- 3)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11
又平面CBD的一个法向量为n=(0,0,1) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12
设平面EBD与平面CBD的夹角为θ，则
|m⋅n| 3 15
cosθ=|cos ＜m,n＞|= = =
1+1+3 5
|m||n|
15
所以平面EBD与平面CBD夹角的余弦值为 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15
5
π
17. 解：(1) 由正弦定理得sinAsinB-sinBcos(A- )=0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2
6
因为B∈(0,π)，所以sinB≠0
3 1
则sinA- cosA- sinA=0，
2 2
即sinA= 3cosA ， 即tanA= 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4
π
因为A∈(0,π),所以A= ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5
3
π
(2)(i) 因为AD⊥BC，故∠ADB=
2由∠ADB=2∠ACB可知
π
∠CAD=∠ADB-∠ACB=∠ACB=
4
π π π
故∠DAB= - = ，
3 4 12
又c=3 ，
π π π 3( 2+ 6)
所以AD=ccos =3cos( - )= ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9
12 3 4 4
(ii) 由(i)知 ∠CAD=∠ACB, 所以CD=AD
π
令∠DAB=θ,则θ∈(0, )
3
π π π π
∠CAD= -θ=∠C ，∠B=π- -( -θ)= +θ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11
3 3 3 3
BD AD
在△ADB中 由正弦定理 =
sinθ sin( π +θ)
3
BD BD sinθ sinθ 1
所以 = = = = ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13
CD AD sin(θ+ π ) 1 sinθ+ 3 cosθ 1 + 3
3 2 2 2 2tanθ
π 1 3
因为θ∈(0, )，所以0
3 tanθ 3
BD 2
所以 = ∈(0,1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15
CD 3
1+
tanθ
18. 解:(1) 由题意(3n+1)a -6S =-68n-125,a =25可得
n+1 n+1 1
43
令n=1，4a -6(a +a )=-68-125，解得 a = ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2
2 1 2 2 2
令n=2，7a -6(a +a +a )=-68×2-125 ，解得 a =18⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4
3 1 2 3 3
(2)因为(3n+1)a -6S =-68n-125 ①
n+1 n+1
所以当 n≥2 时，(3n-2)a -6S =-68(n-1)-125 ②
n n
由①-②，得(3n-5)a -(3n-2)a =-68⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6
n+1 n
a a -68 68 1 1
即 n+1 - n = =- ( - ) (*)
3n-2 3n-5 (3n-2)(3n-5) 3 3n-5 3n-2
a a 43 25 68 1 1
又 2 - 1 = - =34=- ( - )满足 (*) 式.⋯⋯9
1 (-2) 2 (-2) 3 3×1-5 3×2-2
a a a a a a a a
故 n =( n - n-1 )+( n-1 - n-2 )+⋯+( 2 - 1 )+ 1
3n-5 3n-5 3n-8 3n-8 3n-11 1 (-2) (-2)
68 1 1
=- -
3 3n-8 3n-5
1 1
+ -
3n-11 3n-8
1 1
+⋯+ -
(-2) 1
25
-
2
68 1 1
=- - -
3 3n-5 2
君
卷
试
中
高
：
号
众
公
25
-
2
68 7
= -
3(3n-5) 67 68 7 57
a =- (3n-5)+ =- n+ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11
n 6 3 2 2
（2）法二
因为(3n+1)a -6S =-68n-125 ①
n+1 n+1
所以当n≥2时，(3n-2)a -6S =-68(n-1)-125 ②
n n
由①-②得，(3n-5)a -(3n-2)a =-68 ③⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6
n+1 n
所以(3n-2)a -(3n+1)a =-68 ④
n+2 n+1
由④-③，得(3n-2)a +(3n-2)a -(6n-4)a =0
n+2 n n+1
即a +a =2a ,因此a -a =a -a
n+2 n n+1 n+2 n+1 n+1 n
所以当n≥2时，{a }是等差数列⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9
n
43
又由（1）可知a =25,a = ,a =18,满足a -a =a -a ,
1 2 2 3 3 2 2 1
43 7
即n∈N*时，a -a =a -a ,因为a -a = -25=-
n+2 n+1 n+1 n 2 1 2 2
7
所以{a }是以25为首项，- 为公差的等差数列
n 2
7 57
所以a =- n+ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11
n 2 2
(3) 易知a n 是首项为正数的递减等差数列
7 57
- n+ ≥0
由 a
a
n ≥
≤
0
0
，即
-
2
7 (n+
2
1)+ 57 ≤0
，解得 5
7
0 ≤n≤ 5
7
7
n+1 2 2
所以 a >a >a >⋯>a >0>a >a >⋯,
1 2 3 8 9 10
因此 a a a >a a a >a a a >⋯>a a a >0>a a a >a a a >⋯
1 2 3 2 3 4 3 4 5 6 7 8 7 8 9 8 9 10
而 a a a <0，a a a >0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13
7 8 9 8 9 10
n
T =a a a
n k k+1 k+2
k=1
所以 T >T >⋯>T ,T >T ,T T >T >⋯,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15
6 5 1 6 7 7 8 8 9 10
又T -T =a a a +a a a =a a (a +a )
8 6 7 8 9 8 9 10 8 9 7 10
49 57 70
=a a - + +-
8 9 2 2 2
57
+
2
君
卷
试
中
高
：
号
众
公
5
=- a a >0
2 8 9
n
所以T 中，T 最大，即当n=8时，a a a 取最大值.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17
n 8 k k+1 k+2
k=1
19. 解:(1) 当a=1时，f(x)=exsinx
π
则f(x)=ex(sinx+cosx)= 2exsin(x+ )⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2
4
π 3π
令f(x)≥0得，x∈[- +2kπ, +2kπ] k∈Z
4 4
π 3π
所以f(x)单调递增区间为[- +2kπ, +2kπ] k∈Z⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5
4 4
π π
(2) 由a>0,当x≤- 时, 则eaxsinx>-1>- ≥x;
2 2π
当- ≤x≤0时，此时sinx≤0, eax≤1 故eaxsinx≥sinx≥x;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8
2
π
当00, g(x)单调递增，g(x)≥g(0)=0, 因此g(x)单调递增,
故g(x)≥g(0)=0,符合题意;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11
2a
若0g(0)=0.
0 0 2 0
而g( π )=ae π 2 a -1, 设a 是h(a)=ae π 2 a -1的零点，注意到h(a)单调递增，
2 0
π
当a≥a 时,此时g( )>0，故g(x)>0 ，从而g(x)单君调递增, 故g(x)≥g(0)=0, 符
0 2
卷
合题意；
π 试
当0
