黄金卷06（新高考八省专用）-赢在高考·黄金8卷备战2025年高考数学模拟卷（参考答案）_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年12月试卷

【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考八省专 用） 黄金卷06·参考答案 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第 I 卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要 求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B D C B C B D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC AC AC 第 II 卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．2 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）因为 是首项为1的等比数列且 ， ， 成等差数列， 设 的公比为 ， 由 ，（1分） 可得 ，（2分）解得： 或 （舍去）.（4分） 故 ，（5分） .（6分） （2）由（1）可得 .（7分） 数列{b }的前 项和 ，①（8分） n 则 .②（9分） 由① ②得 （10分） ， 即 .（12分） 由 ， 可得 ，得证.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，又因 为等边三角形，所以 ，（1分） 又因为面 平面 ，平面 平面 ， 面 ，所以 平面 ，（2分） 又因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ， 所以 ，（4分） 又点 为 中点，所以 且 ，（5分） 又 ， 所以 ，所以四边形 是平行四边形，（6分） 所以 ，所以 平面 ， 平面 ， 所以平面 平面 ；（7分） （2）由（1）可知 平面 ， 平面 ，所以 ， 又因为 ， ，所以 ， 以 为坐标原点，分别以 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系． （8分） 不妨设正 的边长为2，则 ， ，（9分） 设平面 的法向量为 ， 则 ，不妨令 ，则 ， 所以平面 的法向量为 ，（11分） 设平面 的法向量 ， 则 ，不妨令 ，则 ， 所以平面 的法向量为 ，（13分） 所以 ，（14分） 所求二面角 的正弦值为 ．（15分） 17．（15分） 【详解】（1）假设四个选项分别为 ，其中错误选项为 ， 总的选法共有10种，分别为 ，（2分） 其中得 分的选法为 ，共 种，（4分） 故甲同学得 分的概率为 ；（5分） （2）第10题乙同学三个选项中随机猜选两项，用 分别表示第10题乙同学得 分， 第 题乙同学四个选项中随机猜选一项，用 分别表示第 题乙同学得 分，则 ， ， ， ， ， ，（9分） 从而第 题得分总和 的可能取值为 ， ， ， ， ， ， ， ， ，（13分，列式和结果正确即可给分） 的分布列为： 0 2 3 4 6 7 8 9 （14分） 故数学期望为 .（15分） 18．（17分）【详解】（1）解： 的定义域为 ， ．（1分） 当 时， ， 在 上单调递增；（3分） 当 时，令 ，得 或 （舍去）， 当 时， ；当 时， ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减． 综上，当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．（5分） （2）当 时， ， ， 由（1）知 时， 在 上单调递增，（6分） 当 时，可证 ． 不妨设 ，要证 ，即证 ，即证 ，（7分） 因为 ，所以即证 ． 令 ，其中 ， （8分） 因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增，（9分） 所以 ，所以 ，所以 ．当 时，因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ． 综上， ．（10分） （3） ，由 ，得 ， 即 ，所以对任意的 ， 恒成立，（11分） 等价于 令 ， 则 ，（12分） 令 ，则 ，所以 在 上单调递增， 又 ， ，所以 ， 所以存在 ，使得 ，（13分） 所以 ，即 ，所以 ， 所以 ，（14分） 令 ， ，所以 在 上单调递增， 因为 ，所以 （15分） 又 时， ； 时， ，所以 在 上单调递减， 在 上单调递增，（16分） 所以 ， 所以 ，所以 的取值范围是 ．（17分） 19．（17分） 【详解】（1）解：在双曲线 的方程中，令 ，解得 ，（1分） 因为直线 为 的等线，显然点 在直线 的上方，故有 ， 又F (−c,0)、 ，有 ， ， ，（3分） 1 解得 ， ，（4分） 所以 的方程为 ．（5分） （2）解：设P(x ,y )，由题意有 方程为 ，① 0 0 渐近线方程为 ，（6分） 联立得 ， ， 故 ，（7分） 所以 是线段 的中点，因为 、 到过原点 的直线距离相等， 则过原点 点的等线必定满足： 、 到该等线距离相等，且分居两侧，所以该等线必过点 ，即直线 的方程为 ， 由 ，解得 ，故 ．（8分） 所以 .（9分） 所以 ，（10分） 所以 ，所以 ．（11分） （3）证明：设 ，由 ，所以 ， ， 故曲线 的方程为 ，（12分） 由①知切线为 ，也为 ，即 ，即 ．（13分） 易知 与 在 的右侧， 在 的左侧，分别记 、 ， 到 的距离为 、 、 ， 由（2）知 ， ，所以 ，（15分） 由 得 ，（16分） 因为 ， 所以直线 为 的等线．（17分）