文档内容
2019年广西北部湾经济区中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1. 如果温度上升2℃记作+2℃，那么温度下降3℃记作（ ）
A. +2℃ B. -2℃ C. +3℃ D. -3℃
2. 如图，将下面的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（
）
A.
B.
C.
D.
3. 下列事件为必然事件的是（ ）
A. 打开电视机，正在播放新闻
B. 任意画一个三角形，其内角和是180∘
C. 买一张电影票，座位号是奇数号
D. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
4. 2019年6月6日，南宁市地铁3号线举行通车仪式，预计地铁3号线开通后日均
客流量为700000人次，其中数据700000用科学记数法表示为（ ）
A. 70×104 B. 7×105 C. 7×106 D. 0.7×106
5. 将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度
数为（ ）
A. 60∘
B. 65∘
C. 75∘
D. 85∘
6. 下列运算正确的是（ ）
A. (ab3 ) 2=a2b6 B. 2a+3b=5ab C. 5a2-3a2=2 D. (a+1) 2=a2+1
7. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠A=40°，观察图中尺规作图
的痕迹，可知∠BCG的度数为（ ）
A. 40∘
B. 45∘
C. 50∘
D. 60∘
18. “学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞
从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选
择同一场馆的概率是（ ）
1 2 1 2
A. B. C. D.
3 3 9 9
k
9. 若点（-1，y），（2，y），（3，y）在反比例函数y= （k＜0）的图象上，则
1 2 3 x
y，y，y的大小关系是（ ）
1 2 3
A. y >y >y B. y >y >y C. y >y >y D. y >y >y
1 2 3 3 2 1 1 3 2 2 3 1
10. 扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这
块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案
如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可
列方程为（ ）
3 1
A. (30-x)(20-x)= ×20×30 B. (30-2x)(20-x)= ×20×30
4 4
1 3
C. 30x+2×20x= ×20×30 D. (30-2x)(20-x)= ×20×30
4 4
11. 小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知
她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角
为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为
65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知
sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，
sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（ ）
A. 3.2米 B. 3.9米 C. 4.7米 D. 5.4米
12. 如图，AB为⊙O的直径，BC、CD是⊙O的切线，切点分别为
点B、D，点E为线段OB上的一个动点，连接OD，CE，DE，
CE
已知AB=2❑√5，BC=2，当CE+DE的值最小时，则 的值为
DE
（ ）
9 2 √5 2❑√5
A. B. C. D.
10 3 3 5
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
13. 若二次根式√x+4有意义，则x的取值范围是______．
14. 因式分解：3ax2-3ay2=______．
15. 甲，乙两人进行飞镖比赛，每人各投6次，甲的成绩（单位：环）为：9，8，9，
6，10，6．甲，乙两人平均成绩相等，乙成绩的方差为4，那么成绩较为稳定的
是______．（填“甲”或“乙”）
16. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作
AH⊥BC于点H，已知BO=4，S =24，则AH=______．
菱形ABCD
17. 《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数
学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在
《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以
2锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材
截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材
的直径为______寸．
18. 如图，AB与CD相交于点O，AB=CD，∠AOC=60°，
∠ACD+∠ABD=210°，则线段AB，AC，BD之间的等量关系
式为______．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19. 计算：（-1）2+（√6）2-（-9）+（-6）÷2．
{3x-5＜x+1
20. 解不等式组： 3x-4 2x-1，并利用数轴确定不等式组的解集．
≤
6 3
21. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，-1），B
（1，-2），C（3，-3）
（1）将△ABC向上平移4个单位长度得到△ABC，请画出△ABC；
1 1 1 1 1 1
（2）请画出与△ABC关于y轴对称的△ABC；
2 2 2
（3）请写出A、A的坐标．
1 2
322. 红树林学校在七年级新生中举行了全员参加的“防溺水”安全知识竞赛，试卷题
目共10题，每题10分．现分别从三个班中各随机取10名同学的成绩（单位：
分），收集数据如下：
1班：90，70，80，80，80，80，80，90，80，100；
2班：70，80，80，80，60，90，90，90，100，90；
3班：90，60，70，80，80，80，80，90，100，100．
整理数据：
分数
人数 60 10 80 90 100
班级
1班 0 1 6 2 1
2班 1 1 3 a 1
3班 1 1 4 2 2
分析数据：
平均数 中位数 众数
1班 83 80 80
2班 83 c d
3班 b 80 80
根据以上信息回答下列问题：
（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；
（2）比较这三组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的成绩比较好？
请说明理由；
（3）为了让学生重视安全知识的学习，学校将给竞赛成绩满分的同学颁发奖状，
该校七年级新生共570人，试估计需要准备多少张奖状？
423. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，
AB=6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接
BD．
（1）求证：∠BAD=∠CBD；
⏜
（2）若∠AEB=125°，求 的长（结果保留π）．
BD
24. 某校喜迎中华人民共和国成立70周年，将举行以“歌唱祖国”为主题的歌咏比赛，
需要在文具店购买国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具．已知毎袋贴纸有
50张，毎袋小红旗有20面，贴纸和小红旗需整袋购买，每袋贴纸价格比每袋小红
旗价格少5元，用150元购买贴纸所得袋数与用200元购买小红旗所得袋数相同．
（1）求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元？
（2）如果给每位演出学生分发国旗图案贴纸2张，小红旗1面．设购买国旗图案
贴纸a袋（a为正整数），则购买小红旗多少袋能恰好配套？请用含a的代数式表
示．
（3）在文具店累计购物超过800元后，超出800元的部分可享受8折优惠．学校
按（2）中的配套方案购买，共支付w元，求w关于a的函数关系式．现全校有
1200名学生参加演出，需要购买国旗图案贴纸和小红旗各多少袋？所需总费用多
少元？
25. 如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），
连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．
（1）求证：△ABF≌△BCE；
（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC=DG；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点
5MN
M，N，求 的值．
NH
26. 如果抛物线C的顶点在拋物线C上，抛物线C的顶点也在拋物线C上时，那么我
1 2 2 1
1
们称抛物线C与C“互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线C：y= x2+x与
1 2 1 1 4
C：y=ax+x+c是“互为关联”的拋物线，点A，B分别是抛物线C，C的顶点，
2 2 2 1 2
抛物线C经过点D（6，-1）．
2
（1）直接写出A，B的坐标和抛物线C的解析式；
2
（2）抛物线C上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点
2
E的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，点F（-6，3）在抛物线C上，点M，N分别是抛物线C，C上的动
1 1 2
点，且点M，N的横坐标相同，记△AFM面积为S（当点M与点A，F重合时
1
S=0），△ABN的面积为S（当点N与点A，B重合时，S=0），令S=S+S，观察
1 2 2 1 2
图象，当y≤y时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值．
1 2
6答案和解析
1.【答案】D
【解析】
解：上升2℃记作+2℃，下降3℃记作-3℃；
故选：D．
根据正数与负数的表示方法，可得解；
本题考查正数和负数；能够根据实际问题理解正数与负数的意义和表示方法是解题的
关键．
2.【答案】D
【解析】
解：面动成体，直角三角形绕直角边旋转一周可得圆锥，长方形绕一边旋转一周可得
圆柱，
那么所求的图形是下面是圆锥，上面是圆柱的组合图形．
故选：D．
根据面动成体，梯形绕下底边旋转是圆锥加圆柱，可得答案．
此题考查点、线、面、体的问题，解决本题的关键是得到所求的平面图形是得到几何
体的主视图的被纵向分成的一半．
3.【答案】B
【解析】
解：∵A，C，D选项为不确定事件，即随机事件，故不符合题意．
∴一定发生的事件只有B，任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，符合
题意．
故选：B．
必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
本题考查的是对必然事件的概念的理解．解决此类问题，要学会关注身边的事物，并
用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．用到的知识点
为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条
件下，可能发生也可能不发生的事件．
4.【答案】B
【解析】
解：700000=7×105；
故选：B．
根据科学记数法的表示方法a×10n（1≤a＜9），即可求解；
本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】
解：如图：
∵∠BCA=60°，∠DCE=45°，
∴∠2=180°-60°-45°=75°，
∵HF∥BC，
∴∠1=∠2=75°，
故选：C．
利用三角形外角性质（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和）解题或利用三角
7形内角和解题皆可．
主要考查了一副三角板所对应的角度是60°，45°，30°，90°和三角形外角的性质．
本题容易，解法很灵活．
6.【答案】A
【解析】
解：2a+3b不能合并同类项，B错误；
5a2-3a2=2a2，C错误；
（a+1）2=a2+2a+1，D错误；
故选：A．
利用完全平分公式，幂的乘方与积的乘方，合并同类项的法则进行解题即可；
本题考查整式的运算；熟练掌握完全平分公式，幂的乘方与积的乘方，合并同类项的
法则是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】
解：由作法得CG⊥AB，
∵AB=AC，
∴CG平分∠ACB，∠A=∠B，
∵∠ACB=180°-40°-40°=100°，
∴∠BCG= ∠ACB=50°．
故选：C．
利用等腰三角形的性质和基本作图得到CG⊥AB，则CG平分∠ACB，利用∠A=∠B和三
角形内角和计算出∠ACB，从而得到∠BCG的度数．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角
等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的
垂线）．也考查了等腰三角形的性质．
8.【答案】A
【解析】
解：画树状图为：（用A、B、C分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆）
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为3，
所以两人恰好选择同一场馆的概率= = ．
故选：A．
画树状图（用A、B、C分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆）展示所有9
种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场馆的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再
从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
9.【答案】C
【解析】
解：∵k＜0，
∴在每个象限内，y随x值的增大而增大，
∴当x=-1时，y＞0，
1
∵2＜3，
∴y＜y＜y
2 3 1
故选：C．
8k＜0，y随x值的增大而增大，（-1，y）在第二象限，（2，y），（3，y）在第四
1 2 3
象限，即可解题；
本题考查反比函数图象及性质；熟练掌握反比函数的图象及x与y值之间的关系是解
题的关键．
10.【答案】D
【解析】
解：设花带的宽度为xm，则可列方程为（30-2x）（20-x）= ×20×30，
故选：D．
根据空白区域的面积= 矩形空地的面积可得．
本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相
等关系．
11.【答案】C
【解析】
解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，
设DF=x，
∵tan65°= ，
∴OF=xtan65°，
∴BD=3+x，
∵tan35°= ，
∴OF=（3+x）tan35°，
∴2.1x=0.7（3+x），
∴x=1.5，
∴OF=1.5×2.1=3.15，
∴OE=3.15+1.5=4.65，
故选：C．
过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF=x，根据锐角三角函数的定义表
示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等
题型．
12.【答案】A
【解析】
解：延长CB到F使得BC=CF，则C与F关于OB对称，连接DF与OB相交于点E，此时
CE+DE=DF值最小，
连接OC，BD，两线相交于点G，过D作DH⊥OB于H，
则OC⊥BD，OC= ，
∵OB•BC=OC•BG，
9∴ ，
∴BD=2BG= ，
∵OD2-OH2=DH2=BD2-BH2，
∴ ，
∴BH= ，
∴ ，
∵DH∥BF，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
延长CB到F使得BC=CF，则C与F关于OB对称，连接DF与OB相交于点E，此时
CE+DE=DF值最小，连接OC，BD，两线相交于点G，过D作DH⊥OB于H，先求得BG，再
求BH，进而DH，运用相似三角形得 ，便可得解．
本题是圆的综合题，主要考查了切线长定理，切线的性质，相似三角形的性质与判定，
勾股定理，将军饮马问题，问题较复杂，作的辅助线较多，正确作辅助线是解决问题
的关键．
13.【答案】x≥-4
【解析】
解：x+4≥0，
∴x≥-4；
故答案为x≥-4；
根据被开数x+4≥0即可求解；
本题考查二次根式的意义；熟练掌握二次根式中被开方数是非负数的条件是解题的关
键．
14.【答案】3a（x+y）（x-y）
【解析】
解：3ax2-3ay2=3a（x2-y2）=3a（x+y）（x-y）．
故答案为：3a（x+y）（x-y）
当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分
解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后再利用平方差公式
继续进行二次因式分解，分解因式一定要彻底．
15.【答案】甲
【解析】
解：甲的平均数 = （9+8+9+6+10+6）=8，
所以甲的方差= [（9-8）2+（8-8）2+（9-8）2+（6-8）2+（10-8）2+（6-8）2]= ，
因为甲的方差比乙的方差小，
10所以甲的成绩比较稳定．
故答案为甲．
先计算出甲的平均数，再计算甲的方差，然后比较甲乙方差的大小可判定谁的成绩稳
定．
本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x，x，…x 的平均数为 ，则方差S2=
1 2 n
[（x- ）2+（x- ）2+…+（x- ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，
1 2 n
波动性越大，反之也成立．
24
16.【答案】
5
【解析】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO=DO=4，AO=CO，AC⊥BD，
∴BD=8，
∵S = AC×BD=24，
菱形ABCD
∴AC=6，
∴OC= AC=3，
∴BC= =5，
∵S =BC×AH=24，
菱形ABCD
∴AH= ；
故答案为： ．
根据菱形面积=对角线积的一半可求AC，再根据勾股定理求出BC，然后由菱形的面积
即可得出结果．
本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式；熟练掌握菱形的性质，由勾股
定理求出BC是解题的关键．
17.【答案】26
【解析】
解：设⊙O的半径为r．
在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，
则有r2=52+（r-1）2，
解得r=13，
∴⊙O的直径为26寸，
故答案为：26．
设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解方
程即可．
本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，
属于中考常考题型．
18.【答案】AB2=AC2+BD2
【解析】
解：过点A作AE∥CD，截取AE=CD，连接BE、DE，如图所示：
则四边形ACDE是平行四边形，
∴DE=AC，∠ACD=∠AED，
11∵∠AOC=60°，AB=CD，
∴∠EAB=60°，CD=AE=AB，
∴△ABE为等边三角形，
∴BE=AB，
∵∠ACD+∠ABD=210°，
∴∠AED+∠ABD=210°，
∴∠BDE=360°-（∠AED+∠ABD）-∠EAB=360°-210°-60°=90°，
∴BE2=DE2+BD2，
∴AB2=AC2+BD2；
故答案为：AB2=AC2+BD2．
过点A作AE∥CD，截取AE=CD，连接BE、DE，则四边形ACDE是平行四边形，得出
DE=AC，∠ACD=∠AED，证明△ABE为等边三角形得出BE=AB，求得∠BDE=360°-
（∠AED+∠ABD）-∠EAB=90°，由勾股定理得出BE2=DE2+BD2，即可得出结果．
本题考查了勾股定理、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线
的性质、四边形内角和等知识，熟练掌握平行四边形的性质、通过作辅助线构建等边
三角形与直角三角形是解题的关键．
19.【答案】解：（-1）2+（√6）2-（-9）+（-6）÷2
=1+6+9-3
=13．
【解析】
分别运算每一项然后再求解即可；
本题考查实数的运算；熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．
{
3x-5＜x+1①
20.【答案】解： 3x-4 2x-1
≤ ②
6 3
解①得x＜3，
解②得x≥-2，
所以不等式组的解集为-2≤x＜3．
用数轴表示为：
【解析】
分别解两个不等式得到x＜3和x≥-2，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．
然后利用数轴表示其解集．
本题考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的
解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集
的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
21.【答案】解：（1）如图所示：△ABC，即
1 1 1
为所求；
（2）如图所示：△ABC，即为所求；
2 2 2
（3）A（2，3），A（-2，-1）．
1 2
【解析】
12（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）利用所画图象得出对应点坐标．
此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
22.【答案】解：（1）由题意知a=4，
1
b= ×（90+60+70+80+80+80+80+90+100+100）=83，
10
2班成绩重新排列为60，70，80，80，80，90，90，90，90，100，
80+90
∴c= =85，d=90；
2
（2）从平均数上看三个班都一样；
从中位数看，1班和3班一样是80，2班最高是85；
从众数上看，1班和3班都是80，2班是90；
综上所述，2班成绩比较好；
4
（3）570× =76（张），
30
答：估计需要准备76张奖状．
【解析】
（1）根据众数和中位数的概念求解可得；
（2）分别从平均数、众数和中位数三个方面比较大小即可得；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
本题主要考查众数、平均数、中位数，掌握众数、平均数、中位数的定义及其意义是
解题的关键．
23.【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∵∠CAD=∠CBD，
∴∠BAD=∠CBD；
（2）解：连接OD，
∵∠AEB=125°，
∴∠AEC=55°，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACE=90°，
∴∠CAE=35°，
∴∠DAB=∠CAE=35°，
∴∠BOD=2∠BAD=70°，
⏜
70⋅π×3 7
∴ 的长= = π．
BD
180 6
【解析】
（1）根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到结论；
（2）连接OD，根据平角定义得到∠AEC=55°，根据圆周角定理得到∠ACE=90°，求
得∠CAE=35°，得到∠BOD=2∠BAD=70°，根据弧长公式即可得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算，正确的识别图形是解
题的关键．
13150 200
24.【答案】解：（1）设每袋国旗图案贴纸为x元，则有 = ，
x x+5
解得x=15，
经检验x=15时方程的解，
∴每袋小红旗为15+5=20元；
答：每袋国旗图案贴纸为15元，每袋小红旗为20元；
（2）设购买b袋小红旗恰好与a袋贴纸配套，则有50a：20b=2：1，
5
解得b= a，
4
5
答：购买小红旗 a袋恰好配套；
4
5
（3）如果没有折扣，则W=15a+20× a=40a，
4
依题意得40a≤800，
解得a≤20，
当a＞20时，则W=800+0.8（40a-800）=32a+160，
{ 40a,a≤20
即W= ，
32a+160,a>20
国旗贴纸需要：1200×2=2400张，
小红旗需要：1200×1=1200面，
2400 5
则a= =48袋，b= a=60袋，
50 4
总费用W=32×48+160=1696元．
【解析】
（1）设每袋国旗图案贴纸为x元，则有 ，解得x=15，检验后即可求解；
（2）设购买b袋小红旗恰好与a袋贴纸配套，则有50a：20b=2：1，解得b= a；
（3）如果没有折扣，W= ，国旗贴纸需要：1200×2=2400张，小
红旗需要：1200×1=1200面，则a= =48袋，b= =60袋，总费用
W=32×48+160=1696元．
本题考查分式方程，一次函数的应用；能够根据题意列出准确的分式方程，求费用的
最大值转化为求一次函数的最大值是解题的关键．
25.【答案】（1）证明：∵BF⊥CE，
∴∠CGB=90°，
∴∠GCB+∠CBG=90，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBE=90°=∠A，BC=AB，
∴∠FBA+∠CBG=90，
∴∠GCB=∠FBA，
∴△ABF≌△BCE（ASA）；
（2）证明：如图2，过点D作DH⊥CE于H，
设AB=CD=BC=2a，
∵点E是AB的中点，
141
∴EA=EB= AB=a，
2
∴CE=√5a，
在Rt△CEB中，根据面积相等，得BG•CE=CB•EB，
2√5
∴BG= a，
5
4√5
∴CG=√CB2-BG2= a，
5
∵∠DCE+∠BCE=90°，∠CBF+∠BCE=90°，
∴∠DCE=∠CBF，
∵CD=BC，∠CQD=∠CGB=90°，
∴△CQD≌△BGC（AAS），
2√5
∴CQ=BG= a，
5
2√5
∴GQ=CG-CQ= a=CQ，
5
∵DQ=DQ，∠CQD=∠GQD=90°，
∴△DGQ≌△CDQ（SAS），
∴CD=GD；
（3）解：如图3，过点D作DH⊥CE于H，
1 1
S = •DQ= CH•DG，
△CDG 2 2
CG⋅DQ 8
∴CH= = a，
DG 5
在Rt△CHD中，CD=2a，
6
∴DH=√CD2-CH2= a，
5
∵∠MDH+∠HDC=90°，∠HCD+∠HDC=90°，
∴∠MDH=∠HCD，
∴△CHD∽△DHM，
DH DH 3
∴ = = ，
CH HM 4
9
∴HM= a，
10
4√5 8
在Rt△CHG中，CG= a，CH= a，
5 5
4
∴GH=√CG2-CH2= a，
5
∵∠MGH+∠CGH=90°，∠HCG+∠CGH=90°，
∴∠QGH=∠HCG，
∴△QGH∽△GCH，
HN HG
∴ = ，
HG CH
HG2 2
∴HN= = a，
CG 5
1
∴MN=HM-HN= a，
2
151
a
MN 2 5
∴ = =
NH 2 4
a
5
【解析】
（1）先判断出∠GCB+∠CBG=90，再由四边形ABCD是正方形，得出∠CBE=90°=∠A，
BC=AB，即可得出结论；
（2）设AB=CD=BC=2a，先求出EA=EB= AB=a，进而得出CE= a，再求出BG=
a，CG═ a，再判断出△CQD≌△BGC（AAS），进而判断出GQ=CQ，即可得出结论；
（3）先求出CH= a，再求出DH= a，再判断出△CHD∽△DHM，求出HM= a，再用勾
股定理求出GH= a，最后判断出△QGH∽△GCH，得出HN= = a，即可得出结论．
此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性
质，勾股定理，判断出△DGQ≌△CDQ是解本题的关键．
1
26.【答案】解：由抛物线C：y= x2+x可得A（-2，-1），
1 1 4
将A（-2，-1），D（6，-1）代入y=ax+x+c
2 2
{4a-2+c=-1
得 ，
36a-6+c=-1
{ 1
a=-
解得 4，
c=2
1
∴y=-
x2
+x+2，
2 4
∴B（2，3）；
（2）易得直线AB的解析式：y=x+1，
①若B为直角顶点，BE⊥AB，k•k=-1，
BE AB
∴k=-1，
BE
直线BE解析式为y=-x+5
{
y=-x+5
联立 1 ，
y=- x2+x+2
4
解得x=2，y=3或x=6，y=-1，
∴E（6，-1）；
②若A为直角顶点，AE⊥AB，
同理得AE解析式：y=-x-3，
{
y=-x-3
联立 1 ，
y=- x2+x+2
4
解得x=-2，y=-1或x=10，y=-13，
∴E（10，-13）；
161
③若E为直角顶点，设E（m，- m2+m+2）
4
由AE⊥BE得k•k=-1，
BE AE
1 1
- m2+m-1 - m2+m+3
即 4 4 ，
⋅ =-1
m-2 m+2
解得m=2或-2（不符合题意舍去），
∴点E的坐标∴E（6，-1）或E（10，-13）；
（3）∵y≤y，
1 2
∴-2≤x≤2，
1 1
设M（t，
t2+t），N（t，- t2+t+2），且-2≤t≤2，
4 4
易求直线AF的解析式：y=-x-3，
过M作x轴的平行线MQ交AF于Q，
1 1
则Q（
t2-t-3， t2+t），
4 4
1
S= QM•|y-y|
1 2 F A
1
=
t2+4t+6
2
设AB交MN于点P，易知P（t，t+1），
1
S= PN•|x-x|
2 2 A B
1
=2-
t2
2
S=S+S=4t+8，
1 2
当t=2时，
S的最大值为16．
【解析】
（1）由抛物线C：y= x2+x可得A（-2，-1），将A（-2，-1），D（6，-1）代入
1 1
y=ax+x+c，求得y=- +x+2，B（2，3）；
2 2 2
（2）易得直线AB的解析式：y=x+1，①若B为直角顶点，BE⊥AB，E（6，-1）；②若
A为直角顶点，AE⊥AB，E（10，-13）；③若E为直角顶点，设E（m，- m2+m+2）不
符合题意；
（3）由y≤y，得-2≤x≤2，设M（t， ），N（t， ），
1 2
17且-2≤t≤2，易求直线AF的解析式：y=-x-3，过M作x轴的平行线MQ交AF于Q，S=
1
，设AB交MN于点P，易知P（t，t+1），S=2- ，所以
2
S=S+S=4t+8，当t=2时，S的最大值为16．
1 2
本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质、直角三角形的性质以及一次函数的
性质是解题的关键．
18
