文档内容
2006年数学（一）真题解析
一、填空题
（1）【答案】2.
X-*O 1 — COS JC x-*0 1 — cos X
（2）【答案】y =Czep（C为任意常数）.
【解】方法一由“ ,得『一（丄—1
"U y =0,
\工
X
通解为y —Ce = Cx e~x （C为任意常数）.
方法二 $ =夕（ 工）化为上=丄一1,即（山夕）'=--1,从而lny= ln^+lne^+lnC,
1_
x y x x
故原方程的通解为y=Cxe-（C为任意常数）.
⑶【答案】2兀・
【解】 补充工o：n =1（无2 + y2 W 1）取上侧9贝I」
•z d』dz + 2y dz dx + 3 ( n — 1) dr dj/ 工 djy dz + 2 j/ c!n dr + 3 ( z — 1) cLz dy —
x dydz + 2y dz dr + 3 ( n — 1) djc dy 9
由高斯公式得
工 dy dz + 2ydzdx + 3 ( n — 1) djr dj/ = 6 djc dy = 6k z2 dz = 2k ,
工+工0 Q
而 攵 dy dz + 2ydzdx + 3 ( n — Ddx dy = 0 9
所以 工 dy dz + 2yAz^jc + 3(n — 1)djr dj/ = 2k.
（4）【答案】V2.
I 3 乂 ？ _）_ 4 乂］ I
【解】 点（2,1,0）到平面3工+4y+5z=0的距离为〃 =
I•-…
-二------=麗.
732 + 42 + 52
方法点评：本题考查点到平面的距离.
空间解析几何部分需要掌握如下几个距离公式：
（1 ）两点之间的距离：设A （工1 1，G ） ,E （工2，夕2，?2），则两点之间的距离公式为
d —丿（工 2 —厂） 2 + （丁 2 — A］）? +（Z2 — Gt ；
（2）点到平面的距离：设平面？r：Az +Ey+Cz+D=0,点M。©。，，。，乂。）$ D,则Mo到
7T的距离为
I Ah o + By0 + Cz0 + D |
7 A2 +B2 +C2（3）点到直线的距离：设L：---------= 一 =—一」，（工i，“，g）& L,
m n p
令Mo （乂0 9夕（），之0），£ = ｛加皿"｝，则点Mi到直线L的距离为
\Mom\ X s |
d=—M■
(5)【答案】2.
【解】 由BA =B+2E,得B(A—E)=2E,两边取行列式，得|B | • \A -E | = 4,
因为 A — E =( )，所以 | A — E | = 2,于是 | B | = 2.
\— 1 1 /
（6）【答案】 p
【解】 由X〜17（0,3）,V〜U（0,3）得X,丫的边缘密度函数为
f x (
,
z
、)
=]
—
3
,0 < < 3,
/y())
—
3
0 < 3; < 3,
[o,其他. [o,
其他.
由X,Y独立得
P{max(X,Y) < 1} =P{X < 1,Y < 1}
= p{x0,所以f'C）单调增加，于是0 < f'S 0,得 0 V ff （jc ）△# V /z （^） Aj?，即 0 < dy < ，应选（A）.
方法二 由泰勒公式得
于（攵）=于（工0）十/"（工0 ）（工一工0）+ （H — xoy ,其中$介于工0与工之间，
U
因为f' Q） > 0,所以/O） — /（J?o）$ /'（工。）© —工0），等号成立当且仅当X — x0 ,
故三dj/.
因为 f'GJ>0,X=工一2（）>0,所以 dy= /'（工0）（工一 2（））> 0,于是△，〉djy > 0,
应选（A）.
方法三 =f(JCO + Aj? ) — f(x o') = f'铤)、工 QoVg 0 得一 dy > 0,即△夕〉dy ,又 dy > 0,
故> dy > 0,应选（A）.
方法四 因为f'（jc） >0,/""（2）>0,所以y — f （.jc ）为单调
增加的凹函数，如图所示，
因为 Az>0,所以 dj/= \BC |>0,3= \BD\>\BC\，应选（A）. ~ (7)题图（8）【答案】（C）.
【解】 将°= ”转化为Y型区域为
W %/1 — y1 9 0 W y W
嘤神心于（"血，应选（C）.
则 ° d0 f (rcos d 9厂sin ^)rdr =
J o J 0 0 J y
（9）【答案】（D）.
【解】 方法一 令s” = ax +a2 H------5 ,因为收敛9所以lirna„ = 0且limS”存在，
” =1 LOO LOO
令 limS” = S・
”一
＞oo
q（ 1） Q i a 2 | a 2 -1- a 3 | n ~a ”+i q a i〔 a ”+i
= —g 2 2 = n _ ~2 十〒，
8 I
因为limS^ =S—身存在，所以2
a＞，；"+1
收敛，应选（D）.
方法二
y °° 00 °° 1
/_ 1 °° °° 1
取an =--------，级数收敛，但工la”丨=另一及》（一 l）"a” =工一发散,（A）,（E）
X n = 1 n = 1 ” = 1" n = l n = 1
不对；
取 a ” =（
f
”•，级数工 a ” 收敛，Y a ”a
”+i =
— Y ———，
vn（n + 1）
Jn ” = i « = i n=\
GO OQ CO
因为 ---〜一且级数工一发散，所以一Y ----发散，即Y a „a„+i发散，
VnCn + 1） n 丿"（“ +1）
” = i n ” = 1 ” = i
（C）不对，应选（D）.
OO OO - 8 r
方法三 由级数收敛得丫 与Y yan+1收敛，由级数收敛的基本性质得
力 力
”=1 ”=1 ”=1
收敛.
£"” ：S
71=1 /
方法点评：常数项级数敛散性判断通常考虑如下几个方面：
（1） 是否满足级数收敛的必要条件，若不满足必要条件，则级数一定发散；
（2） 是否可以由级数收敛的定义判断，即limS”是否存在.
OO
确定具体的级数类型，如正项级数或交错级数，再根据该类级数敛散判别法.
（10）【答案】（D）.
【解】 方法一 因为卩：（攵，夕）工0且卩（鼻 ,夕 ）=0'所以卩（工，夕）=0确定夕为攵的
0 0
函数，设为y =夕（工），代入z = f〈工,_y）中，得z = /［工，夕（工）］.
因为（工。，％）为极值点，所以厂 =允（工。，才）+咒（5，%）•『（工。）=0,
dx…。
若（工 ，%）工0,则（工 ，%）工0,应选（D）.
0 0
方法二 令 F（_z,jz, 入）=f （x ,y） +g（_z,y）, 因为（力 0， 夕 0） 是/（工‘夕）在约束条件
F；（夂0，%）=_/；（工0，夕0）+入卩；（Zo，夕0）= 0,
（P （x ,y） = 0下的极值点，所以
F；（_Zo ,夕0），歹0），夕0）=0.若（攵 0 ，夕 0）H 0,则由_/；（攵 0 ，夕0）+入卩；（工 0 ，夕 0）= 0得入H 0.
因为卩；（工
0，
夕
0）
工0,所以fry（JCO
,^0
） H 0,应选（D）.
方法点评：本题需要正确区分二元函数无条件极值与条件极值的区别.
（1） 设z = f （j: ,y）可微，且（Ho，%）为z = f（x ,y）的极值点，则（久。，％）为,夕）的
驻点，即咒（m ,夕0）=0,咒（g ,夕0）=0,反之不对；
（2） 设z = f（x ,y）可微,Cx o ,y0）为函数/（jc ,y）在约束条件h{x ,y） =0下的极值点，
[F；
（攵
0
,》
o）=
（Zo，》o）+ 入人：（攵
0
，夕0）= 0，
则（力 ，夕0）满足屮眄（工 ,y0 ） = o ,y0）+入U（Zo，_yo）=0 ,反之不对.
0 0
Qo，，o）=0，
（11）【答案】（A）.
【解】 方法一 令 Q = （ct]‘a?,…，a.,）, （Aa 1 ,Aa2,…，Aa,） = AQ ,
则 r （Aa i ,Aa2，…，Aa （） —r（AQ） W r（Q）.
若 a i ,。2,…，a,线性相关，则 r（Q） Vs,于是 r（Aa 】,Aa 2，…»Aas） W r （Q） Vs.
即Aa} ,Aa2，…,Aas线性相关，应选（A）.
方法二 若s上2,…，a、线性相关，则存在不全为零的常数匕，匕，…，匕，使得
^iOi + k2a2 + …+Q、a., =0,
等式两边左乘A得
k 1 Aa i + k2Aa 2 +…十 k sAa s = 0,
由线性相关的定义得Aa i ,Aa2，…,Aa、线性相关，应选（A）.
（12）【答案】（B）.
【解】由矩阵的初等变换与初等矩阵的定义，得
I1 1 °\ I1 -1 0\
B = 0 1 0 A -PA, C ==B 0 1 0 =BpT,
'o I1
0 0 U
于是C=PAP ，应选（E）.
1
（13）[答案】（C）.
P(AB)
【解】 由 PCA |B) =1,得 =1,即 P(B) =P(AB),
P(B)
于是 P(A U B) =P(A) + PCB) - PCAB) =P(A),应选(C).
(14)【答案】(A).
X_ Y_
〃
【解】 由X〜N （知，硏），Y〜N（ 2，c；），得-…一〜N（O,1）, 〜N （0,1）,
° 1 ^2
F{| X—幻 |< 1}= ”一丄 < 冬二宀 V 丄）=©（丄）一①（一丄）=2①（丄
I （J ! 6 ! C 丿 f \（7]/ '厂/
丫_〃 1< 1} =pl- — P{\ Y —"2 |<1}，得①(丄)>©(丄)，即丄〉丄或 6 <6,
\(T 1 / '兀 / 6 。2
应选(A).三、解答题
1 + "乂三山 dy =J ---■—-djc dy =
.
4
n
'i rdr
(15)【解】I =
2 ] + 工 2 + A jg 1 十 JC + y o 1 + r2
:冷+宀
7T = yln 2.
0 厶
方法点评：二重积分的计算注意如下的对称性：
(1)设D关于夕轴对称，》轴右侧区域为Di,则
0, 若 /(— x ,y) = — f (jc ,y),
,y)dc =<
'2jJ /(x ,j»)dtr,若 f(—a:,y) ~ f(x ,y).
D
、
Di
(2)设D关于工轴对称，工轴上侧区域为D],则
0, 若/'(z,—y)= —/'(攵，》)
)d2.
设«!，«,,«3为AX=b的三个线性无关解，则-a2,ai -a3为AX=0的两个解.
令匕（5 — a?） +上2（5 —（»3）=0,则（4 + 馬）5 —繭02 —忑2。3 =0,因为 a t ,a2 »a3 线
性无关，所以k\=k，2 =0,从而a t —a2,ax —a3线性无关，即AX =0至少有两个线性无
关解，于是 4 一厂（A） $2 或 r（A） < 2,故/"（A ）=2.
_ I1 1 1 1 -1\ /I 1 1 1 ： -1\
(H)方法一A = 4 3 5 -1 -1 -M° -1 1 -5 3
1 1 '0
1 3 h 1 — a 3 — a b — a : 1+a— —1 1 -5 3
因为 r(A ) = r(A) =2,所以---- -~:—，解得 a =2,6 = — 3,
1——a 3 — a b — a 1 + a
-1 1 0 2 -4 2
-3 0 1 -1 5 -3
0 0 0 0 0 0
(C|,C2为任意常数).
方法二 因为r(A)=2,所以A的所有三阶子式都为零.
由 得 a = 2= — 3.
1 1 1 _ 1 1 1 1 -1
由 _ 1 1 -5 3 0 1 _ 1 5 -3
-1 1 -5 3 0 0 0 0 0
I1 0 2 -4 2 \
P
1 -1 5 -3
0 /
0 0 0
-2 '4 2 '
1 —5 -3
得原方程组的通解为X=b\ + k2 + (k.,k2为任意常数).
1 0 0
0 1 ,0 .
方法点评：设A为mXn矩阵，若r(A) =r(A i b)时,AX =b有解.
若r (A) = r，则AX = 0的基础解系含兀一r (A)个解向量，但AX — b线性无关的解向量
组所含解向量的个数最多含n — r(A ) + 1个.
(21)【解】(I )根据特征值与特征向量的定义，由A” 3(1)得入3 =3为A的特征值,
lj
为其对应的特征向量.
a3
因为AX= 0有非零解，所以入=0为A的特征值，其对应的特征向量为=
-1J，因为5,02线性无关，所以入=0为A的二重特征值，于是儿=入2=0,其对
«2
应的线性无关的特征向量为a】 ,a2.故A的特征值为入i = &= 0,入3 = 3,其中入3 = 3对应的所有特征向量为ka3（k为任意的非
零常数）;心=入2= 0对应的所有特征向量为k1al+k2a2Ck1,k2为不全为零的任意常数）.
L 1 1
(。2901) _ 1
2 =5—莎丽01=9 0 1
' 1 1
1
1
r3
0 0
0 0
'o
0 3
(22)【解】(I)Fy(》)=P{YWy}=P{X2
当 y V 0 时,Fy(y) =0；
o沖=丁
—
当 1 MyV 4 时,Fy(j；)=p{-V7 < x 77) =^{- K x < V?}
■o 1 '云 1 +字
T計+
0
当，$4 时,Fy（，）=l,
0, y VO,
3
0 <夕 V 1,
3 8-77
0<3/ < 1,
4
于是 Fy(y')=< 故几（歹）=<:]
1G<4,
8 VjT
IS V4,
0, 其他.
1, 夕M 4,
(U)F(-*,4)=p{x <-j,Y<4)=p{x <-j,-2
