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2015年
淘宝店铺：光速考研工作室又因级数区n — n —收敛，由正项级数比较审敛法的极限形式可知，原级数收敛．
-l 易
— = + :z::
对于C选项： （ :: +1 � 2 n n = 2m, (m >O), 故互 n = ( — 1)" 1 = = 2 n >i= n 』·
-2 lnn n-2 ln2 -2
{ 2m+l
尸
由比较审敛法知，原级数发散．
对于D n 选 = 项： n = n n = — n =
工 U +! . (n+l)n! 旷 n n l [-< +l)五希
声 1 e-1 < 1.
!�1!! !:.1!!( +l) +l• n! !�1!!( +l) !� �( +l)
由比值审敛法知，原级数收敛．故应选C.
(5) D
= 1 1 1 — — — = —
解 IA I 1 2 a2 = (a 2)(a 1)(2 1) (a - 2) (a 1).
1 4 a = = =
由线性方程组有无穷多解，得IA l O, 即a l或a 2.
1 1 1 —
当a�I时，(A,b)�[o IO d I'
) 勹:)
由题意，知r(A)�r(A�b)。�h;�:: �
—
同理，当a�2时，(A,b)�[0 I I —d I — •
]
= 0 0 0 =(d 1)= (d 2)
由题意，知r(A) r CA , b) < 3 , 即d l或d 2.
故应选D.
(6) A
�]J:
Q�P[:
:
—�] :]
解
J
又因为 P'AP�[ I —
ff
1 —0 Im — I
: rn :
所以 Q'AQ�[o0 0 1 : � : 1
P'AP[:
J
J[: :
— — —
�[ I I — I � I
]
: � :m : � [' �m � :] ['
故应选A.
(7) C =
解 对于A,B选项：当事件A与B独立时，P(AB) P(A)PCB).
而当A,B不独立时，P(AB)与P(A)P(B)没有确定的关系，所以A,B选项错误．
淘宝店铺：光速考研工作室对于C,D选项：由概率性质P(A)�P(AB)平CB)�P(AB),
PCA)+ PCB)
两式相加，得P(A)+PCB)�2PCAB), 即P(AB)� - .
故应选C.
(8) B
解 因为X�B(m,0),所以DCX) =m0Cl-0).
n
2 l ex, — 2
设s = 区 X几则E(S ) =D(X)= m0Cl-0).
n-l i-1
笘 言
所以E[ ex, 一X) 2 ] =Cn — l)E [ � ex, — X) z ]
n 1
=(n — l)E(S 2 ) =(n — l)D (X) =m (n — 1)0(1 — 0).
故应选B.
二、填空题
1
(9) ——
2
解 利用等价无穷小代换．
— — 1 — — 1 x 2
ln(cosx) ln[l+ ( cosx l)] cosx 2 1
l 工 i - m o X 2 =l x i - m o X 2 =l 工 i - m o X 2 = l .,· i m •o X 2 = — — 2 .
(10) 2 I
2 工
解 O}+P{X-l>O,Y O}+ P { X — > O} P{ Y 1
2 … n 1 2 … n +… 1 2 …
厂(x) u�(x)u (x) u (x) +u (x)u Cx) U (x) +u (x)u (x) u'., (x).
3
(20)解 C I)由于A =O, 所以
— a 1 — 0 = 3=
[A[ 1 a l[ a ,0
0 1 a
=
千是a . 2 2
O
C II)由于 X-XA -AX +AX2A =E,
所以 (E -A)X(E -A ) =E.
l
由CI)知 [�1 O I、
— l O，
E-A
+:1�:
E-
A O 2J
2
因为E-A,E-A 均可逆，所以 —
x-m — 一 — 21 12 0 1 31 —2
A) 'CB A产 + l -1 ][ 0 I O l+ I —1]
1 1 0 1 0 0 21 1
(21)解 C I)由于矩阵A与矩阵B相似，=所以 =
于是 tr(A) -tzr (B), IAl— I = BI,
解得 3+ a = +b, 2 = a 3 b,
a 4,b 5.
-
]
(ll)由(1)知A-['气'i �:: ; .
三以
�
I 队H
由于矩阵A 勹矩阵B —
-Hl�C入 1)气入-5),
1 =儿 = 儿=
故A的特征值为入 l, 5 . [J
2
s,-[:-
3
儿
当A,� �1时，由方程组(>;-A)x�O, 得线性尤关的特征向量尸
』
淘宝店铺：光速考研工作室�[ 』
—
1
当儿�5时，由方程组(5E -A)x�O, 得特征向量S, 了
— －l
。3 ＼
l
令P-(卢心＝ 厂 。 － , 贝I P
1
1 丿
（1 0 0＼
p
－ lA p＿0 1 0，
＿
＼0 0 5／
故P为所求可逆矩阵．
(22)解 C I)每次观测中，观测值大千3的 概率为
=
r
P{X > 3} = J厂 f(x) dx= 2--x ln2dx —一 1
8
故Y的概率分布为
k 2
P {Y = k } = Ck 1) -z (!) , k = 2, 3 , … ．
(;)
C II) EY = :z=k Ck 一1 厂 ) 7 ） k - （ 2 习1 2
k-2
=(订(�:r'')"
7
b
”
1 2 2
=(百) (1 —儿.):1 I三
=16.
(23)解 C I)由于总体X服从区间[0,1]上的均匀分布，所以
1+0
EX= .
2
1+e e�zx —
令 =X, 其中X为样本均值，得0的矩估计批 1 .
2
C II)记X1'立， … ，Xn 为样本X1,X2,… ，X"的观测值，则似然函数为
L
((})=II f
(x; ;(})
,-1
1
�{(1
0)
"' {)�X, 之l(i=1,2, …, n),
0' 其他
-{o
—1
"'
O冬min{x1,立，…
，工｝，
0)
o, 其他
由此可知，当(}=min{x1, x , … ，工｝时，L((})达到最大，故0的最大似然估计晕
z
0 =min{X1 ,X2, … ，X"}
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