(308)--周周清第十八周（7.07-7.13）_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

周周清 7.7-7.13 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 1 1  xx  xx 1.（数一二三）设I   dx, I   dx，则下列说法正确的是____ 1 1 x2 1 2 1 x2 1 (A).I ,I 均发散 (B).I ,I 均收敛 1 2 1 2  e e (C).I 发散，I 收敛，且  I  (D).I 发散，I 收敛，且I  1 2 4 2 4 1 2 2 4  1 1 2.（数一二三）设函数 f(x,y) |x y|sin cos ，则____ .  x y (A). lim f(x,y)与limlim f(x,y)均存在. (x,y)(0,0) y0 x0 (B). lim f(x,y)存在，limlim f(x,y)不存在. (x,y)(0,0) y0 x0 (C). lim f(x,y)不存在，limlim f(x,y)存在. (x,y)(0,0) y0 x0 (D). lim f(x,y)与limlim f(x,y)均不存在. (x,y)(0,0) y0 x0 1  a   1  1         3.（数一二三）已知向量α  a ,α  1 ,α  1 ，并且β  1 不能用α ,α ,α 1   2   3     1 2 3         0  4  2a  2 线性表示，则a ____. 4. （ 数 一 三 ） 设 X,Y 为 相 互 独 立 的 随 机 变 量 ， 0 p1 ， 0q1 ， 且 pq 1 p  X 0  p， p  X 1 q， p  Y 0 q， p  Y 1  p，则____. (A). X Y 与X Y 的相关性与 p,q的取值有关. (B). X Y 与X Y 的独立性与 p,q的取值有关. (C). X Y 与X Y 的相关性、独立性与 p,q的取值均无关，且X Y 与X Y 相关，不 独立. (D). X Y 与X Y 的相关性、独立性与 p,q的取值均无关，且X Y 与X Y 不相关， 不独立.5.（数一二三）函数 在圆域 上的最大值和最小值分别 2 2 2 2 是 = + −6 +8 + ⩽100 _____________. 200，-25. 180，0. 205，-15. 190，10. (A) (B) (C) (D) 6.（数一二三）设积分区域 ，则二重积分 的值 2 2 ​ 2 ={ , ∣ + ≤4 } d =________. . . . . (7A.（)2数 一二三）若(B二)4次 型 (C)6 (D)8 的秩为 2 2 2 ，则数 1, 2, 3 = 1+ 2+ 3+2 1 2+2 1 3+2 2 3 2 . =________. . 或 . . (A)−2 (B)1 (C)−2 1 (D)0周周清 7.7-7.13 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 1 1 + xx + xx 1.（数一二三）设I = dx, I = dx，则下列说法正确的是____ 1 1 x2 −1 2 1 x2 +1 (A).I ,I 均发散 (B).I ,I 均收敛 1 2 1 2  e e (C).I 发散，I 收敛，且  I  (D).I 发散，I 收敛，且I  1 2 4 2 4 1 2 2 4 [知识点]：反常积分审敛  e [解析]：答案：(C).I 发散，I 收敛，且  I  1 2 4 2 4 1 xx x=1是 的瑕点，而 x2 −1 1 1 xx xx 1 lim(x−1) =lim = ， x→1+ x2 −1 x→1 x+1 2 1 1 1 2 xx + xx 2 xx 故由无界函数的极限审敛法可知， dx发散，而I = dx dx， 1 x2 −1 1 1 x2 −1 1 x2 −1 从而I 发散. 1     1   lnx  lnx 1−lnx  1  1 计算得xx  =e x  =e x  ，故当0 xe时，xx  0，xx单调递增， x2       1 1 1 当xe时，xx单调递减，故ee 为xx在(1,+)上的极大值，同时也是最大值，从而在(1,+) 1 1 xx ee e lnx lim lnx 上，   .另一方面，由于 lim e x =ex→+ x =e0 =1, 11 =1，故在 1+x2 1+x2 1+x2 x→+ 1 (1,+)上，xx 1.于是， 1 + 1 + xx + 1  dx I = dx e dx. 1 1+x2 2 1 1+x2 1 1+x2 又 + 1 dx=arctanx + =  −  =  ，故进一步可得   I  e .故选(C) 1 1+x2 1 2 4 4 4 2 4 [易错点]：反常积分的审敛有时需要较高的数学基本功，平时要多积累相关函数的处理手段。 1 1 2.（数一二三）设函数 f(x,y)= |x+ y|  sin +cos ，则____.  x y (A). lim f(x,y)与limlim f(x,y)均存在. (x,y)→(0,0) y→0 x→0 (B). lim f(x,y)存在，limlim f(x,y)不存在. (x,y)→(0,0) y→0 x→0 (C). lim f(x,y)不存在，limlim f(x,y)存在. (x,y)→(0,0) y→0 x→0 (D). lim f(x,y)与limlim f(x,y)均不存在. (x,y)→(0,0) y→0 x→0 [知识点]：多元函数的概念 [解析]：答案：(B). lim f(x,y)存在，limlim f(x,y)不存在. (x,y)→(0,0) y→0 x→0 1 1 由于|x+ y|= (x+ y)2  2 ( x2 + y2) , sin +cos 2,故 x y  1 1 0| f(x,y)|= |x+ y|  sin +cos  24 2 ( x2 + y2)  x y 由夹逼准则结合 lim 4 x2 + y2 =0可知 lim f(x,y) =0，从而 (x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0) lim f(x,y)=0 (x,y)→(0,0)  1 1  1 1 当 y 0时，lim |x+ y|  sin +cos  = | y|lim  sin +cos  x→0  x y x→0 x y 1  1 1 由于limsin 不存在，故lim  sin +cos 不存在，从而limlim f(x,y)不存在 x→0 x x→0 x y y→0 x→0 故应选(B) [易错点]：对多元函数的极限，概念掌握不熟练，注意本题两种极限表达形式的区别。1  a   1  −1         3.（数一二三）已知向量α = a ,α = 1 ,α = −1 ，并且β= 1 不能用 1   2   3             0 −4 −2a −2         α 1 , α 2 , α 3 线性表示，则a=____. [知识点]：线性表示 [解析]：答案：2 令A=(α ,α ,α )，则由β不能用α ,α ,α 线性表示可知，线性方程组Ax=β无解. 1 2 3 1 2 3 将矩阵(A,β)化为行阶梯形.   1 a 1 −1 1 a 1 −1      (A,β)=  a 1 −1 1  →  0 1−a2 −1−a 1+a      0 −4 −2a −2 a 1   0 1   2 2    1 a 1 −1  1 a 1 −1      →0 1 a 1 →  0 1 a 1   2 2   2 2    0 1−a2 −(1+a) 1+a     a(a2 −1) a2 −1   0 0 −(1+a)+ 1+a+   2 2  1 a 1 −1    a 1 →0 1   2 2   0 0 (1+a)2(a−2) (1+a)2   当a=−1时，r(A)=r(A,β)=2，方程组Ax=β有无穷多解. 当a=2时，r(A)=2，r(A,β)=3，方程组Ax=β无解. 当a−1且a2时，r(A)= r(A,β)=3，方程组Ax=β有唯一解. 故a=2 [易错点]：合理地将线性表出转化为矩阵的变换中秩的性质，计算过程中计算量较大，注意 仔细。4.（数一三）设 X,Y 为相互独立的随机变量， 0 p1，0q1，且 p + q = 1 pX =0= p， pX =1=q， pY =0=q， pY =−1= p，则____. (A). X +Y与X −Y 的相关性与 p,q的取值有关. (B). X +Y与X −Y 的独立性与 p,q的取值有关. (C). X +Y与X −Y 的相关性、独立性与 p,q的取值均无关，且X +Y 与X −Y 相关，不 独立. (D). X +Y 与X −Y 的相关性、独立性与 p,q的取值均无关，且X +Y 与X −Y 不相关， 不独立. [知识点]：独立性，相关性的判定 [解析]：答案：(D) 根据X,Y 的分布律，可得 E(X)=q, E(X2)=q, D(X)=q−q2 =q(1−q) E(Y)=−p, E(Y2)= p, D(Y)= p−(−p)2 = p(1− p) 由于 p+q =1，故D(X)=D(Y) 计算Cov(X +Y,X −Y) Cov(X +Y,X −Y)=Cov(X,X)−Cov(X,Y)+Cov(Y,X)−Cov(Y,Y) = D(X)−D(Y) 结合D(X)=D(Y)可得Cov(X +Y,X −Y)=0，即X +Y与X −Y 不相关. 由X,Y 的分布律可得X +Y的可能取值为0,1,−1，X −Y 的可能取值为0,1,2 X,Y 独立 P{X +Y =1}= P{X =1,Y =0}=====P{X =1}P{Y =0}=q2 X,Y 独立 P{X −Y =2}= P{X =1,Y =−1}=====P{X =1}P{Y =−1}=qp P{X +Y =1,X −Y =2}= P{}=0 可见P{X +Y =1,X −Y =2} P{X +Y =1}P{X −Y =2}.故X +Y与X −Y 不独立.则选(D) [易错点]：独立性，相关性判定的概念要掌握牢固，且要学会自己构造等式去否定独立性。5.（数一二三）函数 𝑧=𝑥2+𝑦2−6𝑥+8𝑦 在圆域 𝑥2+𝑦2 ⩽100上的最大值和最小值分 别是_____________. (A) 200，-25. (B) 180，0. (C) 205，-15. (D) 190，10. [知识点]：求二元函数在圆域上的最值。 [答案]： A. ∂𝑧 ∂𝑧 =2𝑥−6 =0 𝑥 =3 [解析]：求偏导得{ ∂𝑥 ，令{ ∂𝑥 ，得{ ，点(3, -4)在圆域内，且 ∂𝑧 ∂𝑧 𝑦 =−4 =2𝑦+8 =0 ∂𝑦 ∂𝑦 𝑧(3,−4)=−25. 函数在圆域的边界线𝑥2+𝑦2 =100上的极值问题实际上是函数𝑧 =𝑥2+𝑦2−6𝑥+8𝑦 在满足条件𝑥2+𝑦2 =100下的极值问题，可用拉格朗日乘数法求解. 作拉格朗日函数𝐹(𝑥,𝑦,𝜆)=𝑥2+𝑦2−6𝑥+8𝑦+𝜆(𝑥2+𝑦2−100)，并令 ∂𝐹 =2𝑥−6+2𝜆𝑥 =0 ∂𝑥 ∂𝐹 =2𝑦+8+2𝜆𝑦=0 ∂𝑦 ∂𝐹 =𝑥2+𝑦2−100=0 {∂𝜆 有 (1+𝜆)𝑥−3=0 {(1+𝜆)𝑦+4=0 𝑥2+𝑦2 =100 解得 𝑥 =6 𝑥 =−6 { 及{ 𝑦 =−8 𝑦=8 于是得到函数在约束条件下可能的极值点分别是(6, -8)与(-6, 8). 计算𝑧(6,−8)=0，𝑧(−6,8)=200. 由比较可知最大值max{0,200,−25}=200，最小值min{0,200,−25}=−25. [易错点]：求偏导找驻点易算错，拉格朗日乘数法解方程组易出错，比较最值时漏算情 况。6.（数一二三）设积分区域 𝐷 ={(𝑥,𝑦)∣𝑥2+𝑦2 ≤4𝑦}，则二重积分∬ 𝑥2𝑦d𝜎 的值= 𝐷 ________. (A) 2𝜋. (B) 4𝜋. (C) 6𝜋. (D) 8𝜋. [知识点]：利用对称性简化二重积分计算。 [答案]：D. [解析]：作坐标系的平移，设𝑢 =𝑥,𝑣 =𝑦−2，则区域𝐷变为新直角坐标系(𝑢,𝑣)中的区域 𝐷 ={(𝑢,𝑣)|𝑢2+𝑣2 ≤4}，且 1 ∬𝑥2𝑦𝑑𝜎 =∬ 𝑢2(𝑣+2)𝑑𝑢𝑑𝑣 =∬ 𝑢2𝑣𝑑𝑢𝑑𝑣+2∬ 𝑢2𝑑𝑢𝑑𝑣. 𝐷 𝐷1 𝐷1 𝐷1 由于𝐷 关于𝑢轴对称，而函数𝑢2𝑣关于𝑣是奇函数，从而 1 ∬ 𝑢2𝑣𝑑𝑢𝑑𝑣 =0. 𝐷1 而函数𝑢2分别关于𝑢与𝑣都是偶函数，从而又有 ∬ 𝑢2𝑑𝑢𝑑𝑣 =4∬ 𝑢2𝑑𝑢𝑑𝑣. 𝐷1 𝐷2 其中𝐷 是𝐷 在𝑢 ≥0,𝑣 ≥0的部分区域，即𝐷 ={(𝑢,𝑣)|0≤𝑢 ≤2,0≤𝑣 ≤√4−𝑢2}，故 2 1 2 2 √4−𝑢2 ∬𝑥2𝑦𝑑𝜎 =8∬ 𝑢2𝑑𝑢𝑑𝑣 =8∫ 𝑢2𝑑𝑢∫ 𝑑𝑣 𝐷 𝐷2 0 0 𝜋 2 𝑢=2𝑠𝑖𝑛𝜃 2 =8∫ 𝑢2√4−𝑢2𝑑𝑢 = 8∫ 4𝑠𝑖𝑛2𝜃√4−4𝑠𝑖𝑛2𝜃𝑑(2𝑠𝑖𝑛𝜃) 0 0 𝜋 𝜋 2 2 =128∫ 𝑠𝑖𝑛2𝜃𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑑𝜃 =128∫ 𝑠𝑖𝑛2𝜃(1−𝑐𝑜𝑠2𝜃)𝑑𝜃 0 0 𝜋 𝜋 2 2 1 𝜋 3 1 𝜋 128 =128[∫ 𝑠𝑖𝑛2𝜃𝑑𝜃−∫ 𝑠𝑖𝑛4𝜃𝑑𝜃]=128( ⋅ − ⋅ ⋅ )= 𝜋 =8𝜋. 2 2 4 2 2 16 0 0 即应选(D). [易错点]：坐标平移时区域变换易出错，利用对称性判断奇偶函数积分时失误，换元及积 分计算过程中运算错误。本题也可以转化为极坐标求解，会更为简单。7.（数一二三）若二次型𝑓(𝑥 ,𝑥 ,𝑥 )=𝑎𝑥2+𝑎𝑥2+𝑎𝑥2+2𝑥 𝑥 +2𝑥 𝑥 +2𝑥 𝑥 的秩为 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 2，则数𝑎=________. (A) −2. (B) 1. (C) −2或1. (D) 0. [知识点]：二次型、矩阵、行列式的关系。 [答案]：A. 𝑎 1 1 [解析]：二次型的矩阵为A=[1 𝑎 1]，由于二次型的秩为2，所以|A|=0. 1 1 𝑎 𝑎 1 1 1 1 1 1 1 1 |A|=|1 𝑎 1|=(𝑎+2)|1 𝑎 1|=(𝑎+2)|0 𝑎−1 0 |=(𝑎+2)(𝑎−1)2， 1 1 𝑎 1 1 𝑎 0 0 𝑎−1 于是𝑎 =−2或𝑎=1. −2 1 1 −2 1 1 −2 1 当𝑎 =−2时，A=[ 1 −2 1 ]，其二阶子式| |=3，|A|=| 1 −2 1 |=0， 1 −2 1 1 −2 1 1 −2 此时𝑟(𝐀)=2. 1 1 1 当𝑎 =1时，A=[1 1 1]，此时𝑟(𝐀)=1，不符合题意，舍去. 1 1 1 综上，𝑎 =−2，选A. [易错点]：求矩阵行列式时计算错误，或验证参数时忽略矩阵秩的具体判断，漏删不符合 条件的参数。