(330)--周周清第二十九周（9.22-9.28）_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

周周清 9.22-9.28 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 1.（数一二三）已知当物体表面与周围存在温度差时，物体温度对时间的变化率与温度差成 正比.设某一物体的初始温度为10℃，将其置于一个高温且恒温的环境中，5min后该物体的 温度升为15℃，10min后升为18℃，问:环境的温度为多少？ a b b b b a b a b       2.（数一二三）设矩阵A  b a b ,B b a b ,C a b b ，A,B,C均可             b b a a b b b b a 逆，则____. (A) A,B不相似但合同 (B) B,C相似且合同 (C) A,C不相似但合同 (D) B,C不相似但合同 3. （ 数 一 二 三 ） 设 函 数 y (x),y (x),y (x) 分 别 为 一 阶 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 1 2 3 y p(x)y q(x)的三个不同的解，已知 y (0)a,y (0)b,y (0)c，则下列说法正确 1 2 3 的是____ y (x) y (x) (A) 3 1 是否为常数与 p(x),q(x)有关. y (x) y (x) 2 1 y (x) y (x) (B) 3 1 是否为常数与a,b,c的取值有关. y (x) y (x) 2 1 y (x) y (x) (C)若abc，则 3 1 必为大于0的常数. y (x) y (x) 2 1 y (x) y (x) (D)若abc，则 3 1 必为小于0的常数. y (x) y (x) 2 1 4.（数一三）设随机变量(X ,Y)~ N(,;2,2;),(X ,Y )~ N(,;2,2;)， 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 g (x,y),g (x,y)分别为(X ,Y),(X ,Y )的联合概率密度.若随机变量(X,Y)的联合概率 1 2 1 1 2 2 1 2 密度 f(x,y)满足 f(x,y) g (x,y) g (x,y)，则X 与Y 的相关系数  ____. 3 1 3 2 XY 1 1 2 2 (A)  (B)  (C)  (D)  3 3 3 3 5.（数一二三）设 时, 有 成立, 求 的最小值. 2 2 2 2 − − ≥ 0, ≥ 0 − ≤ 6.（数一二三）设 ， 在 上连续，且 2 2 = , ∣4≤ + ≤9, ≥0, ≥0 , , = d d 求 d d . 2 2 1 ​ , ​ sin + + + . = , 7.（数一二三）设 ， ，且 ，求 的值及可逆矩 −2 2 1 0 2 = −3 3 −1 = 0 2 0 ∼ 阵 ，使得 . −15 8 −6 0 4 −1 −1 = 周周清 9.22-9.28 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 1.（数一二三）已知当物体表面与周围存在温度差时，物体温度对时间的变化率与温度差成 正比.设某一物体的初始温度为10℃，将其置于一个高温且恒温的环境中，5min后该物体的 温度升为15℃，10min后升为18℃，问:环境的温度为多少？ [知识点]：实际问题建立微分方程 [解析]：答案：22.5℃ 设环境的温度为S ℃，物体温度T 为关于时间t的函数T(t)，则物体温度对时间的变化 dT dT 率为 .由已知条件可知， = k(S −T)，由于温度随时间推移而增加，故其中的比例系 dt dt 数k 为正常数. dT 这是一个可分离变量的微分方程，分离变量可得 = kdt.方程两端积分可得 S −T −ln(S −T) = kt+C ，从而S −T =e−C 1e−kt ,解得T = S −Ce−kt,其中C = e−C 1为常数.由 1 T(0) =10，T(5) =15，T(10)=18可得 S −C =10,(1)  S −Ce−5k =15,(2)  S −Ce−10k =18.(3)  （2）式减去（1）式可得 C(1−e−5k)=5 （4） （3）式减去（2）式可得 Ce−5k(1−e−5k) =3 （5） 3 25 （5）/（4）可得e−5k = .代入（4）可得C = 5 2 25 因此S =C +10 = +10 = 22.5，即环境的温度是22.5℃. 2 [易错点]：根据实际情况建立微分方程往往比较抽象，需要多练几题熟悉套路。a b b b b a b a b       2.（数一二三）设矩阵A = b a b ,B = b a b ,C = a b b ，A,B,C均可逆，             b b a a b b b b a       则____ . (A) A,B不相似但合同 (B) B,C相似且合同 (C) A,C不相似但合同 (D) B,C不相似但合同 [知识点]：合同与相似的判定 [解析]：答案：(B) 由于A,B,C均可逆，故|A|,|B|,|C|均不为零且a b. 若矩阵A,B合同，则存在可逆矩阵P，使得B = PTAP，从而|B|=|PT ||A||P| =|A||P|2，即|A|与|B|同号.但经观察可发现，矩阵B为矩阵A对换第一行与第三行所 得，故|A|与|B|异号，于是矩阵A,B不合同.故选项(A)不正确. 同理，由于矩阵C为矩阵A对换第一行与第二行所得，故A,C不合同,故选项(C)不正 确. 对矩阵B与矩阵C，由于 b b a b b a b a b       B = b a b ⎯r⎯2 r⎯3→ a b b ⎯c⎯2 ⎯c 3→ a b b =C             a b b b a b b b a       故B,C合同，上述过程可写为QTBQ =C，其中Q对应对换第二列与第三列的初等矩 阵. 注意到Q为正交矩阵，故QT =Q−1，从而Q−1BQ =C，即B与C相似.由此可得选项 (B)正确，选项(D)不正确。 此外，注意到tr(A)=3a,tr(B) = a+2b，而a b，故tr(A)  tr(B)，从而A,B不相 似，同理可得A,C不相似，综上可知选择(B) [易错点]：矩阵合同与相似的判定的概念较多且容易混淆。3.（数一二三）设函数 y (x),y (x),y (x) 分别为一阶非齐次线性微分方程 y+ p(x)y = 1 2 3 q(x)的三个不同的解，已知y (0) = a,y (0) =b,y (0) =c，则下列说法正确的是 1 2 3 _ _ _ _ y (x)− y (x) (A) 3 1 是否为常数与 p(x),q(x)有关. y (x)− y (x) 2 1 y (x)− y (x) (B) 3 1 是否为常数与a,b,c的取值有关. y (x)− y (x) 2 1 y (x)− y (x) (C)若a bc，则 3 1 必为大于0的常数. y (x)− y (x) 2 1 y (x)− y (x) (D)若a bc，则 3 1 必为小于0的常数. y (x)− y (x) 2 1 [知识点]：微分方程解的结构 [解析]：答案：(C) 由于y+ p(x)y = q(x)是一阶非齐次线性微分方程，故由微分方程的解的结构的性质 可知， y (x)− y (x)， y (x)− y (x)均为一阶齐次线性微分方程 y+ p(x)y = q(x)的解， 3 1 2 1 而该齐次方程为一阶方程，仅有一个线性无关的解，从而y (x)− y (x)，y (x)− y (x)必线 3 1 2 1 性相关，即存在不全为0的常数k ,k ，使得对任意x，均有 1 2 k [y (x)− y (x)]+k [y (x)− y (x)]=0 （1） 1 3 1 2 2 1 若k = 0,k  0，则 y (x)− y (x) 0 ，与 y (x),y (x) 是不同的解矛盾.同理可得 1 2 2 1 1 2 y (x)− y (x) k k  0,k = 0不成立.由此可得k ,k 均不为0.由（1）式可得 3 1 = − 2 .于是， 1 2 1 2 y (x)− y (x) k 2 1 1 y (x)− y (x) 3 1 是否为常数与 p(x),q(x)，以及a,b,c的取值均无关. y (x)− y (x) 2 1 y (x)− y (x) y (x)− y (x) y (0)− y (0) c−a 由于 3 1 为常数， 3 1 = 3 1 = .若a bc，则 y (x)− y (x) y (x)− y (x) y (0)− y (0) b−a 2 1 2 1 2 1 c−a y (x)− y (x)  0，从而 3 1 0，故选(C) b−a y (x)− y (x) 2 1 [易错点]：对齐次和非齐次微分方程解的结构理解不深刻，分析问题能力不强。4.（数一三）设随机变量(X ,Y ) ~ N(,;2,2;),(X ,Y ) ~ N(,;2,2;−)， 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 g (x,y),g (x,y)分别为(X ,Y ),(X ,Y )的联合概率密度.若随机变量(X,Y)的联合概率 1 2 1 1 2 2 1 2 密度 f (x,y)满足 f (x,y) = g (x,y)+ g (x,y)，则X 与Y 的相关系数 = ____. 3 1 3 2 XY 1 1 2 2 (A)  (B)−  (C)  (D)−  3 3 3 3 [知识点]：二维正态分布，数字特征 [解析]：答案：(B) 由(X ,Y ) ~ N(,;2,2;),(X ,Y ) ~ N(,;2,2;−)可得， 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 E(X ) = E(X ) =,D(X ) = D(X ) =2 1 2 1 1 2 1 从而E(X2)= E(X2)=2 +2 1 2 1 1 根据数学期望的定义， + + 1 + + 2 + + E(X) =   xf (x,y)dxdy =   xg (x,y)dxdy+   xg (x,y)dxdy − − 3 − − 1 3 − − 2 1 2 1 2 = E(X )+ E(X ) =  +  = 3 1 3 2 3 1 3 1 1 + + 1 + + 2 + + E(X2)=   x2 f (x,y)dxdy =   x2g (x,y)dxdy+   x2g (x,y)dxdy − − 3 − − 1 3 − − 2 1 2 1 2 = E(X2)+ E(X2)= (2 +2)+ (2 +2)=2 +2 3 1 3 2 3 1 1 3 1 1 1 1 进一步可得D(X) =2.同理可得E(Y) =,E(Y2) =2 +2,D(Y) =2. 1 2 2 2 2 下面计算E(XY) 对(X ,Y )，E(X Y ) =Cov(X ,Y )+E(X )E(Y ) = + ，同理可得 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 E(X Y )= − + 2 2 1 2 1 2 + + 1 + + 2 + + E(XY) =   xyf (x,y)dxdy =   xyg (x,y)dxdy+   xyg (x,y)dxdy − − 3 − − 1 3 − − 21 2 1 2 = E(X Y )+ E(X Y ) = ( +)+ (− +) 3 1 1 3 2 2 3 1 2 1 2 3 1 2 1 2 1 = −  + 3 1 2 1 2 因此， 1 −  + − Cov(X,Y) E(XY)−E(X)E(Y) 3 1 2 1 2 1 2 1  = = = = −  XY D(X) D(Y) D(X) D(Y)  3 1 2 选择(B). [易错点]：对二维正态分布的理解不深入，且本题计算量较大，需要细心。5.（数一二三）设 𝑥 ≥0,𝑦 ≥0 时, 有 |𝑥2−𝑦2|𝑒−𝑥2−𝑦2 ≤𝑘 成立, 求 𝑘 的最小值. [知识点]：求二元函数最值。 [解析]：答案：e−1. |𝑥2−𝑦2|e−𝑥2−𝑦2 ≤𝑘 等价于 −𝑘 ≤(𝑥2−𝑦2)e−𝑥2−𝑦2 ≤𝑘. 令 𝑓(𝑥,𝑦)=(𝑥2−𝑦2)e−𝑥2−𝑦2，求 𝑓(𝑥,𝑦) 在 𝐷 ={(𝑥,𝑦)∣𝑥 ≥0,𝑦 ≥0} 上的最大值 与最小值. 𝑓′ =−2e−𝑥2−𝑦2(𝑥2−𝑦2−1)𝑥 =0, 由{ 𝑥 得𝑥 =0,𝑦=0;𝑥 =0,𝑦 =±1; 𝑥 =±1,𝑦 =0. 𝑓′ =−2e−𝑥2−𝑦2(𝑥2−𝑦2+1)𝑦=0, 𝑦 故在 𝐷 内(即 𝑥 >0,𝑦 >0 范围内) 𝑓(𝑥,𝑦) 没有驻点. 当 𝑥 =0 时, 𝑓(0,𝑦)=−𝑦2e−𝑦2，由 𝑓′ (0,𝑦)=−2e−𝑦2(𝑦−𝑦3)=0，得𝑦=0,𝑦 =±1. 𝑦 由 𝑦 ≥0, 取 (0,0),(0,1). 当 𝑦 =0 时, 𝑓(𝑥,0)=𝑥2e−𝑥2, 由 𝑓′ (𝑥,0)=2e−𝑥2(𝑥−𝑥3)=0, 得 𝑥 =0,𝑥 =±1. 𝑥 由 𝑥 ≥0, 取 (0,0),(1,0). 比较大小: 𝑓(0,0)=0，𝑓(0,1)=−e−1，𝑓(1,0)=e−1 . 故 𝑓(𝑥,𝑦) 在 𝑥 ≥0,𝑦 ≥0 上 的最大值为 e−1，最小值为 −e−1，所以 𝑘 的最小值为 e−1. [易错点]：求偏导找驻点时计算错误，分析边界上的函数值时遗漏关键点，导致最值判断失 误。6.（数一二三）设𝐷 ={(𝑥,𝑦)∣4≤𝑥2+𝑦2 ≤9,𝑥 ≥0,𝑦≥0}，𝑓(𝑥,𝑦)在𝐷上连续，且 1 𝑥𝑓(𝑥,𝑦) 𝑓(𝑥,𝑦)=sin(𝜋√𝑥2+𝑦2)+ ∬ d𝑥d𝑦. 求 𝐼 =∬ 𝑓(𝑥,𝑦)d𝑥d𝑦. 𝜋 𝐷 𝑥+𝑦 𝐷 [知识点]：结合极坐标计算二重积分。 20 [解析]：答案： . 3 𝑥𝑓(𝑥,𝑦) 令 𝐴 =∬ 𝑑𝑥 𝑑𝑦，则 𝐷 𝑥+𝑦 𝑥𝑓(𝑥,𝑦) 𝑥 𝐴 𝑥 = sin(𝜋√𝑥2+𝑦2)+ ⋅ , 𝑥+𝑦 𝑥+𝑦 𝜋 𝑥+𝑦 𝑥𝑓(𝑥,𝑦) 𝑥 𝐴 𝑥 𝐴 =∬ 𝑑𝑥 𝑑𝑦=∬ sin(𝜋√𝑥2+𝑦2) 𝑑𝑥 𝑑𝑦+ ∬ 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑥+𝑦 𝑥+𝑦 𝜋 𝑥+𝑦 𝐷 𝐷 𝐷 𝑦 𝐴 𝑦 =∬ sin(𝜋√𝑥2+𝑦2) 𝑑𝑥 𝑑𝑦+ ∬ 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑥+𝑦 𝜋 𝑥+𝑦 𝐷 𝐷 1 𝐴 = ∬sin(𝜋√𝑥2+𝑦2) 𝑑𝑥 𝑑𝑦+ ∬ 𝑑𝑥 𝑑𝑦 2 2𝜋 𝐷 𝐷 𝜋 1 2 3 𝐴 5𝜋 = ∫ 𝑑𝜃∫ sin(𝜋𝑟)𝑟 𝑑𝑟+ ⋅ 2 2𝜋 4 0 2 5 5𝐴 = + , 4 8 10 解得 𝐴= 。故 3 𝐴 5 10 5𝜋 20 ∬𝑓(𝑥,𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦=∬sin(𝜋√𝑥2+𝑦2) 𝑑𝑥 𝑑𝑦+ ∬ 𝑑𝑥 𝑑𝑦= + ⋅ = . 𝜋 2 3𝜋 4 3 𝐷 𝐷 𝐷 [易错点]：极坐标变换时积分限确定错误，积分计算（尤其是含三角函数的积分）失误，或 解方程时运算错误。𝑘 −2 2 1 0 2 7.（数一二三）设𝐴 =(−3 3 −1)，𝐵 =(0 2 0 )，且𝐴 ∼𝐵，求𝑘的值及可逆矩阵 −15 8 −6 0 4 −1 𝑃，使得𝑃−1𝐴𝑃 =𝐵. [知识点]：相似矩阵迹相等；求矩阵特征值、特征向量，结合相似对角化性质构造可逆矩阵。 [解析]：由𝐴 ∼𝐵 ,知𝐴,𝐵有相同的迹，即 𝑘+3+(−6)=1+2+(−1)， 解得𝑘 =5. 由 ∣𝜆−1 0 −2 ∣ |𝜆𝐸−𝐵|= ∣ ∣ 0 𝜆−2 0 ∣ ∣ =(𝜆−1)(𝜆−2)(𝜆+1)=0， ∣ 0 −4 𝜆+1∣ 得B的三个不同特征值分别为𝜆 =1,𝜆 =2,𝜆 =−1,由此可知B相似于对角矩阵. 1 2 3 由(𝐸−𝐵)𝑥 =0,得特征向量𝛼 =(1,0,0)T; 1 由(2𝐸−𝐵)𝑥 =0,得特征向量𝛼 =(8,3,4)T; 2 由(−𝐸−𝐵)𝑥 =0,得特征向量𝛼 =(1,0,−1)T. 3 令𝑃 =(𝛼 ,𝛼 ,𝛼 ),则 1 1 2 3 1 0 0 𝑃−1𝐵𝑃 =(0 2 0)=𝛬. 1 1 0 0 −1 又由于𝐴∼B,故 1,2,−1 也是𝐴的特征值. 由(𝐸−𝐴)𝑥 =0,得特征向量 𝛽 =(1,1,−1)T; 1 由(2𝐸−𝐴)𝑥 =0,得特征向量 𝛽 =(0,1,1)T; 2 由(−𝐸−𝐴)𝑥 =0,得特征向量 𝛽 =(1,0,−3)T. 3 令𝑃 =(𝛽 ,𝛽 ,𝛽 ),则 2 1 2 3 1 0 0 𝑃−1𝐴𝑃 = (0 2 0 )=𝛬. 2 2 0 0 −1 综上可得，𝑃−1𝐴𝑃 =𝑃−1𝐵𝑃 ，即(𝑃 𝑃−1)−1𝐴(𝑃 𝑃−1)=𝐵，故 𝑃−1𝐴𝑃 =𝐵，其中 2 2 1 1 2 1 2 1 8 1 − 0 3 1 0 1 1 8 1 −1 11 𝑃 =𝑃 𝑃−1 =( 1 1 0 )(0 3 0 ) = 1 − 1 . 2 1 3 −1 1 −3 0 4 −1 1 −1 2 ( 3 ) [易错点]：求特征值、特征向量时计算错误，构造可逆矩阵时矩阵乘法（尤其是逆矩阵计算） 失误，影响最终结果。