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A426李林880题数一高数部分做题本_00.扫描内部讲义汇总（含书籍扫描版增值讲义）_李林880题_李林880数一

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A426李林880题数一高数部分做题本_00.扫描内部讲义汇总（含书籍扫描版增值讲义）_李林880题_李林880数一
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                            公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
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一、选择题161
二、填空题163
三、解答题167
综合题174
一、选择题174
二、填空题175
三、解答题178
拓展题187
解答题187
第七章微分方程及其应用189
基础题189
一、选择题189
·第2页，共267页·公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
二、填空题191
三、解答题194
综合题198
一、选择题198
二、填空题200
三、解答题203
拓展题213
解答题213
第八章无穷级数216
基础题216
一、选择题216
二、填空题219
三、解答题221
综合题226
一、选择题226
二、填空题229
三、解答题231
拓展题238
解答题238
第九章曲线积分与曲面积分240
基础题240
一、选择题240
二、填空题241
三、解答题243
综合题250
一、选择题250
二、填空题252
三、解答题254
拓展题266
解答题266
·第3页，共267页·高等数学
第一章 函数、极限、连续
基础题
一、选择题
(1)函数fx  =xsinxecosx,x∈-∞,+∞  ,是( ).
A. 单调函数 B. 周期函数 C. 偶函数 D. 有界函数
(2)设函数fx  =cossinx  ,gx  =sincosx 
π
,则当x∈0,
2
 时,( ).
A. fx  单调增加,gx  单调减少 B. fx  单调减少,gx  单调增加
C. fx  与gx  都单调增加 D. fx  与gx  都单调减少
(3)设函数fx  = 1+x+x2- 1-x+x2,则( ).
A. fx  为偶函数 B. fx  为奇函数 C. fx  为无界函数 D. limfx
x→∞

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
=1
·第4页，共267页·(4)设当x→+∞时,fx  ,gx  都是无穷大,则当x→+∞时,下列结论中正确的是( ).
A. fx  -gx  是无穷小 B. fx  +gx  是无穷大
gx
C.

fx 
fx
→1 D.
 +gx 
fx  gx 
是无穷小
1 1
(5)当x→0时, sin 是( ).
x2 x
A. 无穷大 B. 无穷小 C. 有界但非无穷小 D. 无界但非无穷大
x2
(6)已知lim -ax-b
x→∞ x+1

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
=0,则( ).
A. a=1,b=1 B. a=-1,b=1 C. a=1,b=-1 D. a=-1,b=-1
·第5页，共267页·(7)设当x→0时,x-sinx  tanx是比ln1+xn  高阶的无穷小,而ln1+xn  是比x2高阶的无穷小,则
n=( ).
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
1+ax2
(8)当x→0时,ex- 与x3是同阶无穷小,则( ).
1+bx
1 1 1 1
A. a= ,b=1 B. a=- ,b=1 C. a= ,b=-1 D. a=- ,b=-1
2 2 2 2
(9)设fx  =ln2x,gx  =x,hx 
x
=e2x>1  ,则当x充分大时,( ).
A. fx  0,若 limxPax -ax+1
x→+∞
 存在,则P的取值范围为_____.
ex2 -e2-2cosx
(3)lim =_____.
x→0 ex4 -1
(4)设fx  =a+bx+cx2+dx3-tanx,当x→0时,fx 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
是比x3高阶的无穷小,则a+b+c+d=__
___.
·第8页，共267页·三、解答题
(1)设fx  是定义在(-a,a)内的函数,证明:fx  可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和.
(2)设函数fx  满足afx 
1
+bf
x

c
= ,其中a,b,c均为常数,且a≠b,求fx
x
 的表达式,并证
明fx  是奇函数.
(3)设函数fx  在区间(-a,a)内有定义,其中a>0,且对任意x 1 ,x 2 ∈-a,a  ,有∣fx 1  -
fx 2  ≤x 1 -x 2 ∣,证明:Fx  =fx 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
+x在(-a,a)内单调增加.
·第9页，共267页·(4)设数列x n  满足limx =limx =a,证明:limx =a. 2k 2k+1 n
k→∞ k→∞ n→∞
(5)求下列极限:
1 1 1 x2-xsinx  ax +bx +cx
(I)lim ; (II)lim
x→∞x2+xsin1 x→+∞ 3
x
 x
a,b,c为正数  ;
lnsin2x+ex
(III)lim
x→0
 -x
lne2x-x2 
1+x
; (IV)lim
-2x x→0

3
x -e3
;
x
etanx-ex 1 1
(V)lim ; (VI)limcotx -
x→0 x3 x→0 sinx x
 ;
(VI)lim1-x2
x→0

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
1
1- 1-x2; (III)limxsinx.
x→0+
·第10页，共267页·(6)求下列极限:
1 2 n
(I)lim + +⋯+
n→∞ n2+n+1 n2+n+2 n2+n+n
 ;
(II)lim 1+2+⋯+n- 1+2+⋯+n-1
n→∞
   ;
n
1
(II)lim ;
n→∞ 4k2-1
k=1
n 1 1 1
(IV)lim 1+ + +⋯+ ;
n→∞ 2 3 n
1+ n3
(V)lim
n→∞ 2

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
n
.
·第11页，共267页·(7)求fx  =1+x 
x
tanx-π 4  在0,2π  内的间断点,并指出其类型.
(8)讨论函数fx 
xn+2-x-n
=lim 的连续性.
n→∞ xn+x-n
(9)设fx  在a,b  上连续,且a0  ,x = a+x ,证明:limx 存在,并求其值. n+1 n n
n→∞
x +y
n n
(11)设x 1 =a≥0,y 1 =b≥0,a≤b,x n+1 = x n y n ,y n+1 = 2 n=1,2,⋯  ,证明:limx =limy n n n→∞ n→∞
综合题
一、选择题
sin1
e x -1
(1)lim
x→∞ 1+1
x

k -1+1
x

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
=a≠0成立的充分必要条件是( ).
A. k≠1 B. k>1 C. k>0 D. 与k无关
·第13页，共267页·2arctanx-ln1+x
(2)已知lim 1-x =c≠0,则( ).
p
x→0 x
4 4 4 4
A. p=3,c=- B. p=-3,c= C. p= ,c=3 D. p=- ,c=-3
3 3 3 3
(3)设当x→0时,αx  =tanx-sinx,βx  = 1+x2- 1-x2,γx 
1-cosx
= sintdt都是无穷小,将它们
0
关于x的阶数从低到高排列,正确的顺序为( ).
A. αx  ,βx  ,γx  B. αx  ,γx  ,βx  C. γx  ,αx  ,βx  D. βx  ,αx  ,γx 
(4)设y=yx  是方程y+2y+y=e3x的解,且满足y0  =y 0  =0,则当x→0时,与yx  为等价
无穷小的是( ).
A. sinx2 B. sinx C. ln1+x2 
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D. ln 1+x2
·第14页，共267页·(5)fx 
xlnx 1
= ex-1
x-1
 x-2  的无穷间断点的个数为( ).
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
(6)下列结论中错误的是( ).
A. 设lima =a>1,则存在M>1,当n充分大时,有a >M
n n
n→∞
B. 设a=lima a-
n n
n→∞ n
(7)设x n  与y n  为两个数列,则下列说法中正确的是( ).
A. 若x n  与y n  无界,则x n +y n  无界
B. 若x n  与y n  无界,则x n y n  无界
C. 若x n  与y n  中,一个有界,一个无界,则x n y n  无界
D. 若x n  与y n  均为无穷大,则x n y n 
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一定为无穷大
·第15页，共267页·(8)设数列x n  单调减少,y n  单调增加,且limx n -y n
n→∞
 =0,则下列选项中正确的是( ).
A. limx =0,limy =0 B. limx ,limy 均存在,且limx =limy
n n n n n n
n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞
C. limx 存在,limy 不存在 D. limx 与limy 均不存在
n n n n
n→∞ n→∞ n→∞ n→∞
(9)设fn  表示方程x1+lnx  =n的正实根,其中x≥1,n为正整数,则下列选项中正确的是( ).
A. fn    fn 收敛 B.   
n
 fn 发散 C.  lnn  
n
 fn 收敛 D.  lnn  
n
 发散
(10)设x n  为数列,则下列结论中正确的是( ).
①若arctanx n  收敛,则x n  收敛；
②若arctanx n  单调,则x n  收敛；
③若x n ∈-1,1  ,且x n  收敛,则arcsinx n  收敛；
④若x n ∈-1,1  ,且x n  单调,则arcsinx n 
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收敛.
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④
·第16页，共267页·(11)下列选择中极限存在的是( ).
1 sinx
A. lim B. lim1+
x→1 1 x→+∞ x
1+21-x

x
C. lim n+-1
n→∞
 n n+1    1 1 1 D. lim + +⋯+
n→∞ 12 22 n2

1
n
(12)设fx  在-∞,+∞  内为连续的奇函数,a为常数,则必为偶函数的是( ).
x u
A.  du tft
0 a

x u
dt B.  du ft
a 0

x u
dt C.  du ft
0 a

x u
dt D.  du tft
a 0
 dt
(13)设fx 
x+2tx
= lim ,则Fx
t→+∞1+2tx

x
= ft
-1

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dt在x=0处( )
A. 可导 B. 间断点 C. 不可导但连续 D. 无法判定
·第17页，共267页·(14)设fx 
x3-1
=
 sinx
x1+x2 
, x≠0,
x∈-∞,+∞
0, x=0,



,则( ). 


A. fx  在-∞,+∞  内有界
B. 存在X>0,当xX时,fx  无界
C. 存在X>0,当xX时,fx  有界
D. 对任意X>0,当x≤X时,fx  有界,但在-∞,+∞  内无界
二、填空题
cosx-ex2
(1)极限lim
x→0
 sinx2
=_____.
x2 +1- 1+x2
2
fx
(2)设lim
x→a
 -b e fx
=A,则lim
x-a x→a

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-eb
=_____.
x-a
·第18页，共267页·n
(3)设a = 3 n+1 xn-1 1+xndx,则limna =_____.
n n
2 0 n→∞
(4)设00;i=1,2,⋯,k i  .
1
(3)(I)设x 1 =1,x 2 =2,x n+2 = 2 3x n+1 -x n  n=1,2,⋯  ,求limx ; n n→∞
1
(II)设x 1 =1,x 2 =2,x n+2 = 2 x n +x n+1 
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,求limx . n n→∞
·第21页，共267页·(4)设f nx  =1-1-cosx  n n=1,2,⋯  .
(I)证明:方程f nx 
1 π
= 在0,
2 2
 内有且仅有一个实根x ; n
π
(II)设x ∈0, n
2
 ,满足f nx n 
1 1 π π
= ,证明:arccos 0,求a,b的值.
1 1
(13)设 0,数列x n  满足x n+1 =lne xn-1  -lnx ,证明:limx 存在,并求值. n n
n→∞
(15)(I)当x<1时,求lim1+x
n→∞
 1+x2  1+x4  ⋯1+x2n  ;
x x x
(II)当x≠0时,求limcos cos ⋯cos ;
n→∞ 2 4 2n
1- sinx
(III)求lim
x→π 2
 1- 3sinx  ⋯1- nsinx 
1-sinx 
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.
n-1
·第26页，共267页·ln 1+ fx
(16)(I)设lim
x→0
    sinx  1
= a>0,a≠1
ax-1 2

fx
,求lim
x→0

;
x2
(II)设fx 
fx
是三次多项式,且有lim
x→2a
 fx
=lim
x-2a x→4a

=1a≠0
x-4a

fx
,求lim
x→3a

.
x-3a
π
(17)设x ∈0, 1 4  ,数列x n 
1
满足x n = 2 x n+1 +tanx n  n=1,2,⋯  .
(I)证明limx 存在,并求其值;
n
n→∞
x
(II)求lim n+1
n→∞ x n

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1
x2 n.
·第27页，共267页·拓展题
解答题
(1)设fx  在a,b  上可导,且 f x   <1,当x∈a,b  时,有a0,f x  >0,f0  =0.取x 1 ∈0,1  ,数列x n  满足
x n+1 -x n  f x n  +fx n  =0n=1,2,⋯ 
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.证明:limx 存在,并求其值. n
n→∞
·第29页，共267页·第二章 一元函数微分学及其应用
基础题
一、选择题
(1)设fx 
1-cosx
, x>0,
= x
x2⋅φx 

 其中φx
, x≤0,
 是有界函数,则fx  在x=0处( ).
A. 可导 B. 连续,但不可导
C. 极限存在,但不连续 D. 极限不存在
(2)设f x 
fx+aΔx
存在,a,b为任意实数,则lim
Δx→0
 -fx-bΔx 
=( ).
Δx
A. a+b  f x  B. a-b  f x  C. af x  D. bf x 
(3)下列函数中,在x=0处不可导的是( ).
A. fx  =xsinx B. fx  =xsin x C. fx  =cosx D. fx 
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=cos x
·第30页，共267页·(4)设fx 
a x, 0≤x≤b,

= 在0,+∞
lnx, x>b
 内可导,在x=0处右连续,则( ).
2 2 1 1
A. a= ,b=e2 B. a= ,b=e C. a= ,b=e2 D. a= ,b=e
e e e e
(5)设f-x  =-fx  ,且在0,+∞  内,f x  >0,f x  >0,则fx  在-∞,0  内必有( ).
A. f x  <0,f x  <0 B. f x  <0,f x  >0
C. f x  >0,f x  <0 D. f x  >0,f x  >0
(6)设fx  在-1,1  上二阶可导,且f x 
1
>0, fx
-1
 dx=2,则f0  的取值范围为( ).
A. (-∞,0] B. 0,+∞  C. -∞,1  D. 1,+∞ 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
·第31页，共267页·(7)设fx  在x=0的某邻域内连续,f0 
fx
=0,lim
x→0

=2,则fx
1-cosx
 在x=0处( ).
A. 不可导 B. 可导且f 0  ≠0 C. 有极小值 D. 有极大值
(8)y=x-1 
2
x-3 
2的拐点个数为(
).
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
(9)设f x
0
 =f x
0
 =0,f x
0
 >0,则下列选项中正确的是( ).
A. x 0 是fx  的极值点 B. fx 0  是fx  的极大值
C. fx 0  是fx  的极小值 D. x ,fx 0 0    是y=fx 
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的拐点
·第32页，共267页·(10)设fx  有一阶连续导数,Fx  =fx  1+sinx  ,则f0  =0是Fx  在x=0处可导的( ).
A. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件
C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件
(11)设fx  在x=a处连续,则fx  在x=a处可导的一个充分条件是( ).
1
A. limx fa+
x→∞ x
 -fa 

 

 fa+x3
存在 B. lim
x→0
 -fa 
存在
x2
fa+Δx
C. lim
Δx→0
 -fa-Δx  fa+x3
存在 D. lim
2Δx x→0
 -fa 
存在
tanx3
(12)设fx  有任意阶导数,且f x  =f2 x  ,则fn  x  =( )n>3  .
A. n!fn+1 x  B. nfn+1 x  C. f2n x  D. n!f2n x 
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·第33页，共267页·(13)设fx  连续,且f x 0  >0,则存在δ>0,使得( ).
A. 对任意x∈x -δ,x 0 0  ,有fx  >fx 0  B. 对任意x∈x ,x +δ 0 0  ,有fx  >fx 0 
C. fx  在x -δ,x 0 0  内单调减少 D. fx  在x ,x +δ 0 0  内单调增加
(14)已知y=x3+ax2+bx+c在x=-2处取得极值,且与直线y=-3x+3相切于点(1,0),则( ).
A. a=1,b=-8,c=6 B. a=-1,b=-8,c=-6
C. a=1,b=8,c=-6 D. a=-1,b=8,c=-6
(15)设可导函数y=yx 
x=arctant,
由
y=ln1-t2 

 确定,则( ).
-siny
A. x=0是y=yx  的极小值点
B. x=0是y=yx  的极大值点
C. 在x=0的邻域-δ,0  δ>0  内,y=yx  单调递减
D. 在x=0的邻域0,δ  δ>0  内,y=yx 
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单调递增
·第34页，共267页·1+e-x2
(16)曲线y= 渐近线的条数为( ).
1-e-x2
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
(17)设fx  为连续函数,且 limex 1+x+fx
x→+∞
   存在,则曲线y=fx  有斜渐近线( ).
A. y=x B. y=-x C. y=x+1 D. y=-x-1
二、填空题
(1)设y=fx  y-x πt 由方程x= sin2
4 1
 1 dt确定,则limn f
n→∞ n
   -1


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=_____.
·第35页，共267页·(2)设函数fx 
sinx fx
有连续导数,且lim +
x→0 x2
 

 x

=2,则fx  的一阶麦克劳林展开式为_____.
(3)设函数fx  在-∞,+∞  内连续,f x  的图形如图所示,则曲线y=fx  的拐点个数为____
_.
(4)设f 0  存在,f0  1-cosfx =0,且lim 1+
x→0
  
 sinx

1
x =e,则f 0 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
=_____.
·第36页，共267页·(5)当x→0时,ex+ln1-x

-1与xn是同阶无穷小,则n=_____.
(6)设fx 
x
=n2en -1+n  x在x=x 处有水平切线,则lime xn=_____. n
n→∞
(7)设y=fx 
x=t2+1,
由参数方程 t≥0
y=4t-t2
  2n+1  确定,则limn f
n→∞ n
   -3


公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
=_____.
·第37页，共267页·d
(8)设 fx3
dx
  
1
= ,则f x
x
 =_____.
(9)设fx  =ln 1+x2-x  ,则f5  0  =_____.
(10)设fx 
f2x-1
是连续函数,且lim
x→1
 f 1+sint
=1,则lim
x-1 t→0

2
  -f1+sint 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
=_____.
t
·第38页，共267页·(11)设y=yx 
t
 x= ,
 1+t3
由参数方程  t2 确定,则曲线y=yx
y=

 1+t3
 的斜渐近线方程为_____.
(12)设 lim ax2-x+3-2x
x→+∞
 =b,其中a,b为常数,a>0,则曲线y= ax2-x+3在0,+∞  内的斜
渐近线方程为_____.
(13)设fx 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
=cosx+x2 x在x=0处存在的最高阶导数的阶数为_____.
·第39页，共267页·(14)曲线x=acos3t,y=asin3ta>0 
π
在t= 处的曲率=_____.
4
(15)设fx  在-∞,+∞  内有定义,且对任意的x,y,有fx+y  -fx  = fx   -1  y+αy  ,其中
αy
lim
y→0

=0,且f0
y
 =2,则fx  =_____.
(16)设函数y=yx 
x
x2+y2
π
由方程arctan =ln + x>0,y>0
y 2 4
 确定,则yx 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
的极大值为___
__.
·第40页，共267页·三、解答题
(1)计算下列函数的导数:
(I)y=2sinx;
(II)y=lntanx+secx;
(III)y=1+x2  sinx 1 ; (IV)y=ln .
x+ x2+1
(2)设y=yx 
arctan
y d2y
由方程 x2+y2=e x 确定,求 .
dx2
(3)设y=yx 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
 x=t-sint, dy d2y
由参数方程  确定,求 , .
y=1-cost dx dx2
·第41页，共267页·π
(4)求心形线r=1-cosθ在对应于θ= 处的切线方程.
2
(5)设fx 
1
xksin , x≠0,
= x 问:
0, x=0.
(I)当k为何值时,fx  在x=0处不可导;
(II)当k为何值时,fx  在x=0处可导,但导函数不连续;
(III)当k为何值时,fx  在x=0处导函数连续.
(6)设fx  在0,+∞  内满足fxy  =fx  +fy  ,且f 1  =1,证明:fx  在0,+∞  内可导,并求
fx 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
.
·第42页，共267页·(7)设fx 
-1
=   e x2, x≠0, 求fn
0, x=0,
 0 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
.
(8)设气体以100cm3/s的速率注入球状气球,求当半径为10 cm时,气球半径增加的速率.(设气体压
力不变)
(9)一动点P在曲线9y=4x2上运动,已知点P横坐标变化速率为30cm/s,问:当点P经过(3,4)时,从
原点到点P的距离S的变化率为多少?(设坐标轴的单位长为1cm)
·第43页，共267页·(10)设fx  二阶可导,f0  =0,f 0  =1,f 0 
fx
=2,求lim
x→0
 -x
.
x2
(11)设函数fx 
xfx
在x=0处连续,且lim
x→0
 -1+x 
2x
+1
=1.证明:fx
x2
 在x=0处可导,并求
f 0 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
.
·第44页，共267页·(12)设fx  在a,b  上连续,在(a,b)内可导,01.
(18)设fx  在0,1  上连续,在(0,1)内可导,且f0  =0,f1  =1.证明:
(I)存在x 0 ∈0,1  ,使得fx 0  =21-x 0  ;
(II)存在ξ与η∈0,1  ,且ξ≠η,使得f ξ  1+f η   
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
=2.
·第47页，共267页·(19)设fx  在0,1  上二阶可导, f x   ≤1,fx  在(0,1)内取得最小值,证明: f 0   + f 1   ≤1.
(20)设fx  在a,b  上连续,在(a,b)内可导,fa  =fb  ,且fx  在a,b  上不恒为常数.证明:存在
相异的ξ,η∈a,b  ,使得f ξ  ⋅f η  <0.
(21)设fx  在0,1  上二阶可导,且f0  =f1 
1
=2 fx
1
2
 dx,证明:
(I)至少存在一点ξ∈0,1  ,使得f ξ  =0；
(II)对∀λ∈R,至少存在一点η∈0,1  ,使得f η  -λf η 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
=0.
·第48页，共267页·(22)设a,b为正数,证明:至少存在一点ξ∈a,b  ,使得
aeb-bea
=eξ 1-ξ
a-b
 .
(23)证明下列不等式:
x x
(I)当0 ; (II)当eba；
2 π
(III)当x>0时,有x2-1  lnx≥x-1  2 ; (IV)若lim fx
x→0
 =1,且f x
x
 >0,有fx 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
≥x.
·第49页，共267页·(24)求函数y=x-1 
π+arctanx
e2 的单调区间与极值,并求其渐近线.
(25)设fx 
x2x, x>0,
= 求fx
x+2, x≤0,
 的单调区间与极值.
(26)设函数y=yx 
x=tlnt,
由参数方程 1 t≥1
y= lnt
t


 确定,求y=yx 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
的单调区间、凹凸区间、极值和
拐点.
·第50页，共267页·1
(27)求曲线y= 4x2+xln2+
x
 的全部渐近线.
x π
(28)证明:方程lnx= - 1-cos2xdx在0,+∞
e
0

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
内有且仅有两个不同实根.
(29)讨论曲线y=4lnx+k与y=4x+ln4x交点的个数.
·第51页，共267页·综合题
一、选择题
(1)设fx  在1-δ,1+δ  δ>0  内存在导数,f x  严格单调减少,且f1  =f 1  =1,则( ).
A. 在1-δ,1  和1,1+δ  内,均有fx  x
C. 在1-δ,1  内,fx  x
D. 在1-δ,1  内,fx  >x;在1,1+δ  内,fx  xfa  B. bfx  >xfb  C. xfx  >bfb  D. xfx  >afa 
(3)设fx  在a,b  上可导,fx  在x=a处取得最小值,在x=b处取得最大值,则( ).
A. f + ′ a  <0且f - ′ b  <0 B. f + ′ a  >0且f - ′ b  <0
C. f + ′ a  ≥0且f - ′ b  ≥0 D. f + ′ a  <0且f - ′ b 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
>0
·第52页，共267页·(4)设fx  在x=0的某邻域内有定义,则Fx  =fx  sinx在x=0处可导的充分必要条件是( ).
A. limfx
x→0
 存在
B. limfx
x→0
 =f0 
C. fx  在x=0处可导
D. limfx
x→0-
 与limfx
x→0+
 均存在,且limfx
x→0-
 =-limfx
x→0+

(5)设fx  在-∞,+∞  内是连续的奇函数,Fx 
x
= ft
0
 dt,则下列选项中正确的是( ).
A. Fx  是不可导的奇函数 B. Fx  是可导的偶函数
C. Fx  是不可导的偶函数 D. Fx  是可导的奇函数
(6)设fx 
fx
在(-1,1)内可导,且lim
x→0

=1,则( ).
x2
f x
A. lim
x→0
 f x
存在 B. lim
x x→0

不存在
x
C. f 0  =0,f 0  =2 D. f0  是fx 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
的极小值
·第53页，共267页·(7)设y=fx 
x=tt,

由
y=t 
t
eu2 du
确定,则下列选项中正确的是( ).
0
A. f x  在x=0处连续 B. fx  在x=0处不连续
C. f 0  不存在 D. f 0  存在
(8)设y=fx  在x 的某邻域内有四阶连续导数,且f x 0 0  =f x 0  =f x 0  =0,且f4  x 0  <0,
则( ).
A. fx  在x 0 处取得极小值 B. fx  在x 处取得极大值 0
C. x ,fx 0 0    是y=fx  的拐点 D. fx  在x 的某邻域内单调减少 0
(9)设fx  在a,b  上可导,fx  在x=a处取得最小值,在x=b处取得最大值.Fx 
x
= ft
0
 dt,x∈
a,b  ,则( ).
A. F + ′′ a  >0且F - ′′ b  <0 B. F + ′′ a  ≥0且F - ′′ b  ≥0
C. F + ′′ a  <0且F - ′′ b  <0 D. F + ′′ a  <0且F - ′′ b 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
>0
·第54页，共267页·(10)设fx  fx 在x 的某邻域内连续,且lim 0 x→x0  -fx 0  x-x
0
 =1,则( ). n
A. 当n为奇数时,x 0 是fx  的极大值点 B. 当n为奇数时,x 0 是fx  的极小值点
C. 当n为偶数时,x 0 是fx  的极小值点 D. 当n为偶数时,x 0 是fx  的极大值点
(11)设fx  在-∞,+∞  内可导,则下列命题中正确的是( ).
A. 若 lim fx
x→-∞
 =-∞,则必有 lim f x
x→-∞
 =-∞ B. 若 lim f x
x→-∞
 =-∞,则必有 lim fx
x→-∞
 =-∞
C. 若 lim fx
x→+∞
 =+∞,则必有 lim f x
x→+∞
 =+∞ D. 若 lim f x
x→+∞
 =+∞,则必有 lim fx
x→+∞
 =+∞
x
(12)设k>0,方程lnx- +k=0在0,+∞
e

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
内不同实根的个数为( ).
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
·第55页，共267页·1
(13)设当x≠0时,方程kx+ =1有且只有一个实根,则( ).
x2
2 2 2 2
A. k> 3 B. k< 3 C. k= 3 D. k=- 3
9 9 9 9
(14)设可导函数fx  ,x∈0,1  满足f x 
1
≥M>0,且f
2
 ≥0,则在区间( )上,有fx 
1
≥ M.
4
A.  0, 1
 4
 B.   1 , 1
 4 2
 C.   1 , 3
 2 4
 D.   3 ,1
 4

(15)设函数f 1x  ,f 2x  有二阶连续导数,且f 1 ′′ x  >0,f 2 ′′ x  >0,若曲线y=f 1x  与y=f 2x  在点
x ,y 0 0  处有公切线y=gx  ,且在该点处曲线y=f 1x  的曲率半径小于y=f 2x  的曲率半径,则在
点x 的某邻域内有( ).
0
A. gx  ≥f 2x  ≥f 1x  B. gx  ≥f 1x  ≥f 2x 
C. f 1x  ≥f 2x  ≥gx  D. f 1x  ≥gx  ≥f 2x 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
·第56页，共267页·(16)设f x  在0,4  上连续,曲线y=f x  与x=0,y=0,x=4围成如图所示的三个区域,其面积
S ,S ,S 满足S >S >S ,则下列选项中正确的是( ).
1 2 3 2 1 3
A. f1  >f3  >f4 
B. f4  >f3  >f1 
C. f3  >f4  >f1 
D. f4  >f1  >f3 
(17)设fx  在0,1  上二阶可导,且f x  >0,f0  =f1  .当x∈0,1  时,下列结论中正确的是(
).
①1-x  fx  -f0    x f1  -fx    ;
③x fx  -f0    <1-x  f1  -fx    ; ④x fx  -f0    >1-x  f1  -fx    .
A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ①③
(18)设在[0,+∞)上的可导函数y=fx  满足y-px  y>0,且f0  ≥0,其中px  在[0,+∞)上
为正值连续函数,当01,
β  α<0,β>0
0, x≤1
 ,若f x  在x=1处连续,则( ).
A. α<-1且α+β<-1 B. α<-1且α+β≤-1
C. α≤-1且α+β<-1 D. α≤-1且α+β≤-1
二、填空题
(1)设函数fx  π = tan x
4
   -1

 π tan x2
4
   -2

 π ⋯ tan x100
4
   -100

 ,则f 1 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
=_____.
·第58页，共267页·(2)设fx  =3x2+kx-3,若对任意x∈0,+∞  ,都有fx  ≥20,则k至少为_____.
(3)已知fx  在-∞,+∞  内可导,且limf x
x→∞

x+k
=e,lim
x→∞ x-k

x
=lim fx
x→∞
 -fx-1    ,则k=____
_.
(4)设y=fx  在-∞,+∞  内连续,且其导函数f x  的图形如图2-3所示,其中x=0和x=x 5
是f x  的铅直渐近线,则y=fx 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
极值点的个数为_____,拐点的个数为_____.
·第59页，共267页·(5)设fx  在x=x 处可导,且fx 0 0 
fx +1
≠0,则lim 0 x x→∞

fx 0 

  
 x
=_____.
(6)设y=fx  在x 处有三阶连续导数,f x 0 0  =1,f x 0  =2,f x 0  =3,y=fx  有反函数x=
gy  ,且y =fx 0 0  ,则g y 0  =_____.
(7)设fx  为-1,+∞  内的连续函数,fx 
x
= e -ft
0
  dt,若gx  =xfx+1  ,则gn  0 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
(n>2)=_
____.
·第60页，共267页·(8)设fx  有连续的二阶导数,曲线y=fx 
fx
在点(0,0)处与x轴相切,且lim
x→0

=1,则曲线y=
x2
fx  在点(0,0)处的曲率圆方程为_____.
三、解答题
(1)已知fx  是周期为5的连续函数,fx  在x=1的某邻域内满足f1+sinx  -3f1-sinx  =8x+
αx  ,其中αx  是当x→0时比x高阶的无穷小,且fx  在x=1处可导,求曲线y=fx  在点
6,f6    处的切线方程.
(2)设fx  =nx1-x  n (n为正整数),求fx  在0,1  上的最大值Mn  及limMn
n→∞

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
.
·第61页，共267页·(3)设fx  在0,1 
fx
上二阶可导,且lim
x→0+
 fx
=lim
x x→1-

=1,证明:
x-1
(I)至少存在一点ξ∈0,1  ,使得fξ  =0；
(II)至少存在一点η∈0,1  ,使得f η  =fη  .
(4)设fx  与gx  在a,b  上连续,在(a,b)内可导,且fa  =gb  =0,证明:至少存在一点ξ∈(a,
b),使得f ξ 
b
 gt
ξ
 dt+g ξ 
ξ
 ft
a

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
dt=0.
·第62页，共267页·(5)在x=0的右邻域内,用多项式e+ax+bx2近似表示函数fx  =1+x 
1
x,使其误差是比x2高阶
的无穷小x→0+  ,求a,b的值.
(6)设fx  在a,b  上可导,证明:
(I)若f + ′ a  f - ′ b  <0,则存在ξ∈a,b  ,使得f ξ  =0；
(II)若f + ′ a  ≠f - ′ b  ,则对介于f + ′ a  和f - ′ b  之间的每个实数μ,都存在ξ∈a,b  ,使得f ξ 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
=μ.
·第63页，共267页·(7)设函数fx  在区间a,b  上有二阶导数,且fa  =fb  =0,f + ′ a  f - ′ b  >0.证明:在(a,b)内存
在两点ξ与η,使得fξ  =0,f η  =0.
(8)设fx  在[0,+∞)上有二阶导数,f0  =0,f + ′ 0  <0,f x  ≥M>0x>0  .证明:fx  =0在
0,+∞ 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
内有唯一实根.
·第64页，共267页·(9)设fx  在0,1  上连续,在(0,1)内可导,fx 
fx+1
≠0,且lim
x→0-

存在,证明:
x
(I)存在ξ∈0,1 
1-e
,使得
1
e ft
0

1
=-
dt
eξfξ

;
(II)存在η∈0,1 
1
,使得e ft
0
 dt=e-1  eξ ξ-1  f η  .
(10)设fx  在0,1  上具有二阶导数,且 fx   ≤a, f x   ≤b,其中a,b都是非负常数,c是(0,1)内
任一点.
(I)写出fx  在x=c处带拉格朗日余项的一阶泰勒公式；
(II)证明: f c 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
b
 ≤2a+ .
2
·第65页，共267页·(11)证明下列结论:
(I)设fx  = x dt + 1 x dt x>0
0
1+t2
0
1+t2
 ,则fx  π = ;
2
1 2x π
(II)当x≥1时,arctanx- arccos = .
2 1+x2 4
(12)设函数fx  有二阶连续导数,且x-1  f x  =1-e1-x+2x-1  f x  ,证明:当x=x 0 是fx 
的极值点时,fx 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
在x 处取得极小值. 0
·第66页，共267页·(13)求椭圆x2-xy+y2=3上纵坐标最大和最小的点.
(14)设fx  =arctanx,求fn  0  .
(15)设R=Rx  是抛物线y= x上任一点Mx,y  x≥1  处的曲率半径,s=sx  是该抛物线上介于
点A1,1 
d2R dR
与M之间的弧长,计算3R -
ds2 ds

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
2
的值.
·第67页，共267页·(16)已知函数fx  在[0,+∞)上有二阶连续导数,f0  =f 0  =0,且x∈[0,+∞),有f x  >0,设
Fx  是曲线y=fx  上任一点 x,fx    处的切线在x轴的截距x>0  ,求lim Fx
x→0+
 +F x    .
(17)设fx  在区间(a,b)内可导,f x  在(a,b)内严格单调增加,对任意的x 1 ,x 2 ∈a,b  ,且x ≠x , 1 2
0<λ<1.证明:f λx 1 +1-λ   x 2  <λfx 1  +1-λ  fx 2 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
.
·第68页，共267页·(18)设函数fx 
1 x fx
1 1
在区间(a,b)内可导,行列式A=

1 x fx 2 2 
1 x fx
3 3

 
.证明:导函数f x  在(a,b)内严
格单调递增的充分必要条件是对(a,b)内任意的x
1
0.
(19)设fx  在a,b  上二阶可导, f x   ≤k<1,f x 0  =0,f x 0  ≠0,x 0 ∈a,b  ,且满足fx 0  =
x 0 .∀x 1 ∈a,b  ,x n+1 =fx n  n=1,2,⋯  .
(I)证明:limx 存在,且limx =x ;
n n 0
n→∞ n→∞
x -x
(II)求lim n+1 0
n→∞
x n -x 0 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
.
2
·第69页，共267页·(20)设fx  在0,1  上连续,在(0,1)内可导,且f0  =0,f1  =1.证明:
(I)存在ξ 与ξ 满足0<ξ <ξ <1,使得f ξ
1 2 1 2 1
 +f ξ
2
 =2.
(II)在(0,1)内存在ξ与η,使得ηf ξ  =fη  f η  .
拓展题
解答题
(1)设fx  有二阶连续导数,f0  =f 0  =0,f 0  >0,u=ux  是曲线y=fx  在点(x,fx  )处
x
的切线在x轴上的截距,求lim
x→0 ux 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
.
·第70页，共267页·(2)设fx  在a,b  上有二阶连续导数,且fa  =fb  =0,M=max f x
a≤x≤b
  .证明:
(I)max fx
a≤x≤b

1
 ≤ Mb-a
8

2；
(II)max f x
a≤x≤b

1
 ≤ Mb-a
2
 .
(3)设fx  在a,b  上有连续的导数,且f x  >0,假设f fx    存在,证明:存在ξ∈a,b  ,使得
f fb    -f fa    = f ξ    2 b-a 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
.
·第71页，共267页·(4)设fx  在a,b  上有二阶连续的导数, f x   ≥1,记Fx 
1 1 1
= a b x
fa  fb  fx 
 
,x∈a,b  ,记
Fx 0   = max
x∈a,b 
Fx   ,x 0 ∈a,b  .证明: Fx 0 
b-a
 ≥

3
. 8
(5)设不恒为零的函数fx  在0,1  上有二阶连续导数,且f0  =f1  =0,记M= max
x∈0,1 
fx     ,
f x   ≥M.证明:
(I)至少存在一点ξ∈0,1  ,使得 f ξ   ≥2M；
(II) f 0   + f 1 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
 ≥M.
·第72页，共267页·第三章 一元函数积分学及其应用
基础题
一、选择题
(1)设fx  是连续函数,且fx  ≠0,若∫xfx 
dx
dx=arcsinx+C,则
fx 
=( ).
1
A. 1-x2
3

3 2
2 +C B. 1-x2
3

3 1
2 +C C. - 1-x2
3

3 2
2 +C D. - 1-x2
3

3
2 +C
(2)设fx  是连续函数,Fx  是fx  的原函数,则( ).
A. 当fx  为奇函数时,Fx  必为偶函数 B. 当fx  为偶函数时,Fx  必为奇函数
C. 当fx  为周期函数时,Fx  必为周期函数 D. 当fx  为单调函数时,Fx  必为单调函数
(3)设Fx  是sinx2的一个原函数,则d Fx2    =( ).
A. sinx4dx B. sinx2dx2 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
C. 2xsinx2dx D. 2xsinx4dx
·第73页，共267页·(4)设fx  sinx, 0≤x<π, = Fx
2, π≤x≤2π,
 x = ft
0
   dt,则( ).
A. x=π是Fx  的跳跃间断点 B. x=π是Fx  的可去间断点
C. Fx  在x=π处连续但不可导 D. Fx  在x=π处可导
(5)fx 
x2+1, x≤0,
= 的一个原函数为( ).
cosx, x>0
A. Fx 
1
 x3+x, x≤0
= 3 B. Fx
sinx+1, x>0

1
 x3+x+1, x≤0
= 3
sinx+2, x>0
C. Fx 
1
 x3+x+1, x≤0
= 3 D. Fx
sinx, x>0

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
1
 x3+x, x≤0
= 3
sinx, x>0
n k+1 dx
(6)lim =( ).
n→∞ k=1 k x x-1
π
A. 1 B. C. π D. 2π
2
·第74页，共267页·(7)设fx  在0,1  上连续,fx  >0,f x  <0,f x 
1
>0,记M= fx
0
 dx,N=f1  ,P=
1
f0
2
 +f1   
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
,则( ).
A. MI >I B. I >I >I C. I >I >I D. I >I >I
1 2 3 3 2 1 2 1 3 3 1 2
1 x t2
(9)设lim  dt=c,且c≠0,则( ).
x→0 sinx-ax b 1+t2
A. a=1,b=0,c=-2 B. a=1,b=-2,c=-2
C. a=0,b=1,c=-2 D. a=1,b=1,c=1
·第75页，共267页·(10)设函数y=fx 
t
x=2e-u2
du,
由 0 t
y=sint-u
0




 确定,则当x→0时,fx
  du 
 是x2的( )
A. 高阶无穷小 B. 等价无穷小
C. 同阶但不等价无穷小 D. 低阶无穷小
(11)下列反常积分中收敛的是( ).
+∞ dx 1 dx
A.  B.
1 x2 1+x 0 ln1+x 
1 dx +∞ x
 C.  D.  dx
-1 sinx -∞ 1+x2
+∞ 2x2+ax+b
(12)已知  -1
1
2x2+bx
  dx=1b>0  ,则( ).
A. a=e-1,b=e B. a=b=2e-1 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
C. a=e,b=e-1 D. a=b=2e-1
二、填空题
·第76页，共267页·(1)设Fx  是fx 
π
的一个原函数,F
4

π π
=0,当 0,Fx  fx 
lntanx
=

,则
sinxcosx
fx  =_____.
(2)设对任意x,有fx+4  =fx  ,且f x  =1+x,x∈-2,2  ,f0  =1,则f9  =_____。
(3)设Fx 
x
= tfx2-t2
0
 dt,fx  在x=0某邻域内可导,且f0  =0,f 0 
Fx
=1,则lim
x→0

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
=___
x4
__；
·第77页，共267页·(4)设fx  在[0,+∞)上可导,f0  =0,y=fx  的反函数为gx 
x+fx
,若

 gt-x
x
 dt=x2ln1+x  ,
则f1  =_____.
x u2
 arctan1+t
0 0
(5)极限lim
x→0


 dt 


 du
x1-cosx 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
=_____.
x
 sintdt
(6)lim 0 =_____.
x→+∞ x
·第78页，共267页·(7)函数y= x2 在  1 , 3
1-x2  2 2
 上的平均值为_____.
(8)设fx 
a-x
= e t2a-t
0
  dta>0  ,x∈0,a  ,则曲线y=fx  与两坐标轴所围成图形的面积为___
__.
x
(9)曲线y= 绕x轴旋转一周所得的旋转体,将它在x=0与x=ξξ>0
1+x2
 之间部分的体积记为
Vξ  ,且Va 
1
= limVξ
2 ξ→+∞

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
,则a=_____.
·第79页，共267页·θ
(10)曲线r=asin3 a>0,0≤θ≤3π
3

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
的弧长s=_____.
x
(11)曲线y= costdt的全长s=_____.
-π
2
(12)设D是由曲线y=sinx+1与直线x=0,x=π,y=0所围平面图形,则D绕x轴旋转一周所得旋
转体的体积V=_____.
·第80页，共267页·n-x
(13)设n为正数,lim
x→0 n+x

2 +∞
x = xe-4xdx,则n=_____.
1 n
(14)设质点以速度 te- t t≥0  m/s做直线运动,则质点从开始运动到停止运动经过的路程为___
__m,它从t=0到t=4s时间段内的平均速度为_____m/s.
三、解答题
(1)求下列积分:
2x⋅3x dx
(I) dx; (II)
9x-4x x2 1-x4

;
dx
(III)
x4 1+x2

arctanx
; (IV)
x2 1+x2

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
dx;
·第81页，共267页·x+ln1-x
(V)

dx.
x2
(2)求下列积分:
dx
(I)
x1+ x 
xex
; (II) dx;
ex-1
x3 dx
(III) dx; (IV)
1+x2 2x2+1

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
;
1+x2
arctan x-1 x
(V) dx; (VI) dx.
x x-1 1-x x
(3)求下列积分:
dx dx
(I) ； (II) ;
sin2xcos4x 1+sinx
·第82页，共267页·sinx 3sinx+cosx
(III) dx; (IV) dx;
sinx+cosx sinx+2cosx
dx dx
(V) ; (VI) a2+b2>0
sin2x+2sinx a2sin2x+b2cos2x
 .
(4)求下列积分:
lnx
(I)arctan xdx; (II)
1-x 
dx;
2
x2ex
(III)
x+2 
dx; (IV)sinlnx
2
 dx;
1 1-x (V) dx; (VI)e2x 1+tanx
x2 1+x

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
2 dx.
·第83页，共267页·(5)求下列积分:
π (I) 4 x2ln 1+x -cosx
-π 1-x
4
 1  dx; (II) 2+sinx
-1
  1-x2dx;
2 (III) x+x
-2
  e -xdx; (IV) 1 2x2+xex+e-x
-1
  dx.
1+ 1-x2
(6)求下列积分:
2
(I) x-1
0

π
 2 2x-x2dx; (II) e-cosx-ecosx
0
  dx.
(7)求下列积分:
2
(I) min2,x2 
-3

x
dx; (II) 1-t
-1
  dtx≥-1 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
;
·第84页，共267页·1
(III) x-yexdxy≤1
-1

π
; (IV) 1-sinxdx.
0
(8)求下列积分:
π
(I) 2 x+sin2x
-π
2

1
 cos2xdx； (II) x1-x4
0

3
2dx;
π 1
(III) tsintdt; (IV) 2x-x2+ 1-x2
0 0
 3  
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 dx.
(9)求下列积分:
(I) +∞ dx ； (II) 3 2 dx .
1 ex+1+e3-x 1 2 x-x2 
·第85页，共267页·(10)设fx 
π
=2 x-tsint dt,x∈-∞,+∞
0
 ,求fx  的单调区间与极值.
(11)设fx  在0,a  上具有二阶导数a>0  ,且fx  >0,f x 
a
>0,证明: fx
0

a
dx>af
2
 .
(12)设fx  在a,b 
b
上连续且单调增加,证明: xfx
a

a+b b
dx≥  fx
2
a

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
dx.
·第86页，共267页·(13)设fx  在a,b  上连续,且y=fx 
a+b
的图形关于直线x= 对称,证明:
2
b
 xfx
a

a+b b
dx=  fx
2
a
 dx.
(14)设fx  在[0,+∞)上连续,且单调增加,证明:当00 
1
,梯形OABC的面积为S,曲边梯形OABC的面积为S ,其曲边由y= +x2 1 2
S 3
确定,证明: < .
S 2
1
π
(17)设曲线y=sinx0≤x≤ 2  ,直线y=k0≤k≤1 
π
与x=0所围面积为S ,y=sinx(0≤ x≤ 1 2 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
,y
π
=k与x= 所围面积为S ,求S=S +S 的最小值.
2 2 1 2
·第88页，共267页·x=acos3t,
(18)设星形线 0≤t≤2π,a>0
y=asin3t

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本

 .求:
(I)所围面积A;
(II)弧长L;
(III)绕x轴旋转一周所得体积V和表面积S.
(19)设立体图形的底是介于y=x2-1和y=0之间的平面区域,而它的垂直于x轴的任一截面是等
边三角形,求立体体积V.
·第89页，共267页·综合题
一、选择题
(1)设在(-1,1)内fx  是奇函数,Fx  是fx  在(-1,1)内的一个原函数,则在(-1,1)内fx  +
Fx  ( ).
A. 是可导的偶函数 B. 是连续的奇函数
C. 存在原函数 D. 存在原函数且原函数为奇函数
(2)设δ>0,在-δ,δ  内有 fx   ≤x2,f x 
δ
>0,I= fx
-δ
 dx,则( ).
A. I=0 B. I>0 C. I<0 D. 不能确定
π
(3)设I 1 =2 sinsinx
0

π
dx,I 2 =2 cossinx
0

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
dx,则( ).
A. I <1I >I B. I >I >I C. I >I >I D. I >I >I
1 2 3 3 2 1 2 1 3 3 1 2
(5)设fx  在0,1  上可导,fx  >0,f x  <0,Fx 
x
= ft
0
 dt,则在x∈0,1  内,有( ).
A. xF1 
1
>2 Fx
0
 dx B. F1 
1
>2 Fx
0
 dx
C. Fx 
1
<2 Fx
0
 dx D. Fx 
1
>2 Fx
0
 dx
(6)设函数fx  在0,a  a>0  上有二阶连续导数,且f0  =0,f x  >0,则下列选项中正确的是(
).
a
A. 3 xfx
0

a
dx<2 afx
0

a
dx B. 3 xfx
0

a
dx>2 afx
0
 dx
a
C. 2 xfx
0

a
dx>3 afx
0

a
dx D. 2 xfx
0

a
dx<3 afx
0

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
dx
·第91页，共267页·(7)设fx  二阶可导,则下列结论中正确的是( ).
①当f x 
π
<0时,则 fx
-π
 sinxdx<0; ②当f x 
π
<0时,则 fx
-π
 sinxdx>0;
③当f x 
π
>0时,则 fx
-π
 cosxdx>0; ④当f x 
π
>0时,则 fx
-π
 cosxdx<0.
A. ②③ B. ①② C. ②④ D. ①④
+∞ -cos1
(8)设反常积分 xke x -e-1
1
 dx收敛,则下列选项中正确的是( ).
A. k>-1 B. k<-1 C. k>1 D. k<1
(9)设连续函数fx  满足fx  =f2a-x  a≠0 
b
,b为常数,则I= fa-x
-b
 dx=( ).
b
A. 2 f2a-x
0

b
dx B. 2 f2a-x
-b

b
dx C. 2 fa-x
0

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
dx D. 0
·第92页，共267页·(10)设螺线r=θ0≤θ≤2π  与极轴所围区域的面积为A,则A=( ).
n 4π3i2 n 4π3i2 n 8π3i2 n 2π3i2
A. lim B. lim C. lim D. lim
n→∞ n3 n→∞ n2 n→∞ n3 n→∞ n2
i=1 i=1 i=1 i=1
(11)设fx  有连续导数,f0  =0,f 0  =6,αx 
x3
= ft
0
 dt,βx 
x
=  ft
0
   dt


3
,则当x→0时,αx 
与βx  是( ).
A. 同阶无穷小 B. 等价无穷小 C. 高阶无穷小 D. 低阶无穷小
+∞ln1+x
(12)设反常积分
0

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 dx收敛,则( ).
p
x
A. 01
·第93页，共267页·+∞ dx
(13)设积分I= p>0,q>0
p q
1 x ln x
 收敛,则( ).
A. p>1且q<1 B. p>1且q>1 C. p<1且q<1 D. p<1且q>1
+∞x 1-p arctanx
(14)设积分 dxp>0
p
0 2+x
 收敛,则p的取值范围为( ).
A. 11,I=ln2 C. a=1,I=ln2 D. a<1,I=ln4
·第94页，共267页·二、填空题
(1)fx  =max1,x2   在-∞,+∞  内满足F0  =1的一个原函数为_____.
(2)设fx  在a,b  上连续,若x 0 ∈a,b  ,x∈a,b 
1 x
,则极限lim ft+Δx Δx→0Δx x0  -ft     dt=_____.
(3)双纽线x2+y2

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
2 =x2-y2围成的平面图形的面积为_____.
·第95页，共267页·1 1
(4)曲线θ= r+
2 r
 在区间r∈1,3  上的弧长为_____.
(5)闭曲线x2+y2

3 =x4+y4所围区域的面积S=_____.
(6)设f2 
1
= ,f 2
2

2
=0,且 fx
0

1
dx=1,则I= x2f 2x
0

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dx=_____.
·第96页，共267页·公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
+∞sinx π +∞sin2x
(7)设 dx= ,则I= dx=_____.
0
x 2
0
x2
+∞ 1 x+1
(8) ln dx=_____.
1 x x
n
1 n+2k
(9)lim ln =_____.
n→∞ n 3n-2k
k=1
·第97页，共267页·(10)已知曲线y=yx 
1
上任一点(x,y)处的切线斜率为 ,且曲线通过点(-2,0),则该曲线方
x x2-1
程为y=_____.
三、解答题
(1)(I)设fx 
x dt 1
= ,求I= x2fx
1 1+t4 0
 dx;
(II)设fx 
x2 1
= e-t2 dt,求I= xfx
1 0

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
dx.
·第98页，共267页·(2)设fsin2x 
x x
= ,求I= fx
sinx 1-x
 dx.
xcos3x-sinx
(3)计算积分I=esinx⋅ dx.
cos2x
e-sinx⋅sin2x
(4)计算I=
sin4  π - x
4 2

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
dx.
·第99页，共267页·(5)设flnx 
ln1+x
=

,求I=fx
x
 dx.
(6)设f x  =arctanx-1  2 ,f0 
1
=0,求I= fx
0

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
dx.
2
1 x 4-x2u2du-2x
2
(7)求极限lim 0 .
x→0 1+2x3-1
·第100页，共267页·(8)设fx 
x
在(-∞,0]上连续,且满足 tft2-x2
0

x2 1
dt= - ln1+x2
1+x2 2
 ,求函数fx  及其极值.
2x
 1- t sintdt
x
(9)计算lim 0 .
x→0 x2
(10)设fx  在1,2 
x
上可导,且 tf2x-t
0

1
dt= arctanx2,f1
2

1
= ,证明:至少存在一点ξ∈(1,2),
2
使得f ξ 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
=0.
·第101页，共267页·(11)设fx 
x2 x
满足e-x- =1+ ft-x
2
0
 dt,求fx  在-∞,+∞  内的最值.
1 2 n
1 xn  2n 2n 2n
(12)证明:lim dx=0.(13)求极限lim + +⋯+

n→∞ 0 1+x n→∞  n+1 n+1 n+1
2 n

.
1
(14)求极限lim nnn+1
n→∞n
 n+2  ⋯2n-1 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
.
·第102页，共267页·(15)设fx  是连续的偶函数,函数gx  连续,且满足gx  ⋅g-x  =1.
a fx
(I)证明:
-a

1+gx 
a
 dx= fx
0
 dx;
π
(II)计算 4 dx
-π
4
1+ex

 .
cos2x
+∞
(16)设 fx
0
 dx收敛,且fx 
1 e-x +∞
= -  fx
1+x2 1+ex
0

+∞
dx,求 fx
0

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
dx.
·第103页，共267页·π
(17)设a =4 tannxdx,证明: 1 n
0 2n+1 
1 0 n  的递推关系；
3x+4
(II)计算I=
x2+2x+2

dx.
2
(20)证明:fx 
x
= t-t2
0
  sin2nt dtx>0  的最大值为f1  ,且f1 
1
≤
2n+2  2n+3 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
.
·第105页，共267页·(21)设fx  在a,b  上有二阶连续导数,且fb  =f b  b =0,证明: fx
a
 1 b dx=  f x
2
a
 x-a  2 dx.
(22)设fx  在a,b  上二阶可导,且f x 
a+b
>0,证明:f
2

1 b
<  fx
b-a
a

fa
dx<
 +fb 
.
2
(23)(I)设fx  与gx  均在a,b 
b
上连续,证明:  fx
a
 gx    dx


2 b
≤ f2 x
a

b
dx g2 x
a

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
dx.
·第106页，共267页·(II)设fx  在a,b  上有连续导数,且fa  =fb 
b
=0,证明: f2 x
a

b-a
dx≤

2
b
 f′2 x
8
a
 dx.
(24)设fx  在a,b  aga  , fb  >gb 
b
,  fx
a

b
dx= gx
a
 dx.证
明:至少存在一点ξ∈a,b  ,使得f ξ  >g ξ 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
.
·第107页，共267页·(26)设fx  在-a,a  a>0  内连续,且f 0  =A≠0.证明:
(I)对x∈0,a  ,存在θ∈0,1 
x
,使得 ft
0

-x
dt+ ft
0
 dt=x fθx  -f-θx    ;
1
(II)limθ= .
x→0+ 2
(27)设y=fx  在0,1  上是非负连续函数.
(I)证明:存在x 0 ∈0,1  ,使得在0,x 0  上以fx 0  为高的矩形面积,等于在x ,1 0  上以y=fx  为曲
边的曲边梯形面积;
(II)又设fx  在(0,1)内可导,且f x 
2fx
>-

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
,证明:(I)中的x 是唯一的. x 0
·第108页，共267页·(28)设曲线y=fx  上任一点 x,fx    处的切线斜率为a2x2-4ax+3,且y=fx  在x=1处取得
极小值0.
(I)求fx  及fx  的其他极值;
1
(II)证明:0≤ fut
0

2
 dt≤ ,u∈0,1
3u
 .
(29)设fx  在-∞,+∞  内连续,且满足fx+T  =fx  ,T>0,f-x  =fx  .
nT
(I)证明: xfx
0

n2T T
dx=  fx
2
0

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
dx(n为正整数);
nπ
(II)计算I= xcosxdx.
0
·第109页，共267页·(30)设fx  在-∞,+∞ 
1 a
内有连续导数,证明:lim ft+a
a→0+4a2
-a
 -ft-a     dt=f 0  .
(31)设曲线y=a xa>0  与y=ln x在点x ,y 0 0  处有公切线.求:
(I)常数a及点x ,y
0 0

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
；
(II)两曲线与x轴所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.
·第110页，共267页·(32)设fx  在a,b  上可导,fa  >0,f x  >0,S 1x  与S 2x  为如图3-1所示阴影部分的面积,证
明:存在唯一的ξ,使得
S 1ξ 
S 2ξ 
=k(k为正的常数).
2
(33)求曲线4y= x 12-x2u2dux≥0
0

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
的全长.
·第111页，共267页·(34)设平面图形D由x2+y2≤2x与y≥x确定,求图形D绕直线x=2旋转一周所得旋转体的体积.
(35)求曲线y=e-x sinxx≥0 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
绕x轴旋转所得旋转体的体积.
·第112页，共267页·x=at-sint
(36)设摆线
 ,
y=a1-cost 
0≤t≤2π,a>0 

 与x轴所围平面图形为D.求:
(I)D绕x轴,y轴各旋转一周所得旋转体的体积；
(II)D绕直线y=2a旋转一周所得旋转体的体积.
(37)求圆x-2 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
2 +y2=1绕y轴旋转一周所得旋转体的表面积.
·第113页，共267页·(38)求双纽线r2=a2cos2θa>0  绕极轴旋转所成旋转曲面的面积.
(39)设fx  =xn 1-x2,x∈0,1  与y=0所围平面区域的面积为S n ,gx  =sin n 2x,x∈ 0, π  2  与y=
0所围平面区域绕x轴旋转一周所得体积为V nn=1,2,⋯ 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
πS
,求极限lim n .
n→∞ V n
·第114页，共267页·(40)设曲线y=sinx在x∈0,nπ  n=1,2,⋯ 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
上与x轴所围成的区域为D,D绕y轴旋转一周所得旋
转体的体积为a .
n
(I)求a ;
n
n 2kπ2 kπ
(II)求极限lim sin .
n→∞ k=1 a n 2n
(41)将半径为R的球沉入水中,它与水面相切,设球的密度与水的密度相等,现将球从水中取出,问
至少需要做功多少?
·第115页，共267页·公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
(42)设如图(a)和(b)所示为同一等腰三角形薄板,已知其底为2b、高为h,将其垂直放入静水中,图
(a)是其底与水面相齐,图(b)是其顶点与水面相齐,设图(a)与图(b)薄板一侧所受压力分别为P 和
1
P
P,求 2 .
2 P
1
(43)求曲线y=3-x2-1与x轴围成封闭图形绕直线y=3旋转所得旋转体的体积.
·第116页，共267页·(44)设心形线r=41+cosθ 
π
与θ=0,θ= 所围图形为D,求D绕极轴旋转一周所得旋转体的体积.
2
1
(45)设D位于曲线y=
xlnx 
α>0,2≤x<+∞
α+1
 下方,x轴上方的无界区域.求:
(I)D的面积Sα  ;
(II)Sα 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
的最小值.
·第117页，共267页·(46)设fx  在[0,+∞)上连续且单调减少,fx 
n
≥0,a n = fk
k=1

n
- fx
1
 dxn=1,2,⋯ 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
,证明:
lima 存在.
n
n→∞
1 π b
(47)设a = xn 1-x2dx,b =2 sinnxcosnxdx,求lim n .
n n
0 0
n→∞a
n
·第118页，共267页·(48)设非负函数fx  在区间0,1  上有连续的二阶导数,且f0  =1,f x  <0,证明:
(I)当x∈0,1 
x
时,有 ft
0

1
dt≥ xfx
2
  +x  ;
1 2
(II)  -x
3
0
  fx 
1
dx≥ .
6
拓展题
解答题
π
(1)已知曲线L的极坐标方程为r=1+cosθ0≤θ≤
2

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
.求:
π
(I)曲线L在θ= 对应点处的切线T的直角坐标方程；
4
(II)曲线L、切线T与x轴所围图形的面积.
·第119页，共267页·(2)如图(a)所示,在水平放置的椭圆底柱形容器内存放液体(密度为ρ,单位:kg/m3),容器长为4 m,
x2
椭圆方程为 +y2=1(单位:m),如图3-3(b)所示.
4
(I)当液面在过点0,y  -1≤y≤1  处的水平线时,问容器内液体的体积是多少？
(II)当容器内存满了液体后,平均每分钟从容器顶端抽出0.16 m3的液体,当液面降至y=0处时,求
液体下降的速度.
(III)问抽出全部液体需做多少功?
(3)设fx  在a,b  上有二阶导数,且fa  =fb  =0,f x  <0,证明:当x∈a,b  时,有0a  上可导且不恒为常数,fa  fb  <0.证明:至少存在一点ξ∈a,b  ,使得
2
b-a 
b
 fx
2
a
 dx< f ξ   .
(5)设fx  在a,b  上有连续的二阶导数.
b
(I)证明: fx
a

1
dx= b-a
2
 fa  +fb   
1 b
+ x-a
2
a
  x-b  f x  dx;
(II)记M= max
x∈a,b 
f x    
b
,证明:  fx
a

1
dx- b-a
2
 fa  +fb   
b-a
 ≤

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
3
M.
12
·第121页，共267页·(6)设fx  在a,b  上有连续的二阶导数,且f a  =f b  .证明:存在一点ξ∈a,b 
b
,使得 fx
a
 dx
1
= b-a
2
 fa  +fb   
b-a
+

3
f ξ
24
 .
(7)设fx  有二阶连续导数,f0  =f1  =1,M= max
x∈0,1 
f x     .
(I)证明:当x∈0,1  时,有 f x 
1
 ≤ M;
2
1
(II)在第(I)问的基础上,证明:  fx
0

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
M
 dx≤1+ .
8
·第122页，共267页·(8)设fx  在[0,+∞)上有连续的二阶导数,且 f x   ≤1.
1
(I)证明:  fx
0

1
dx-f
2

1
 ≤ .
24
(II)若对任意的x∈[0,+∞),有fx  =fx+1  n ,n为正整数.证明:  fx
0
 1  dx≤n + f0
6
    

 .
(9)设fx  在0,1  上有连续的导数,f0  =0,f1 
1
=1,证明:limn  fx n→∞ 0 
n 1 k
dx-  f n n k=1 

  

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
1
=- . 2
·第123页，共267页·(10)设fx  在0,1  上有连续的二阶导数,fx  不恒为零,且f0  =f1  =0, fx   在x=x 0 处取得
最大值,x 0 ∈0,1  .证明:
(I)至少存在点ξ ∈0,x
1 0
 ,ξ ∈x ,1
2 0
 ,使得f ξ
2
 -f ξ
1

1
= f ξ
x 2
0
 ;
1
(II) f x
0
   dx≥4 fx 0   .
(11)设fx  在a,b  上有连续的二阶导数,且M= max
x∈a,b 
f x     .证明:
b
(I)  fx
a
 dx-b-a 
a+b
f
2

b-a
 ≤

3
M;
24
(II)存在ξ∈a,b 
b
,使得 fx
a
 dx=b-a 
a+b
f
2

b-a
+

3
f ξ
24

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
.
·第124页，共267页·(12)设fx  在-1,1  上有连续的二阶导数,证明:
(I)存在ξ∈-1,1 
1
,使得 xfx
-1

1
dx= 2f ξ
3
 +ξf ξ    ;
(II)若fx  在(-1,1)内取得极值,则存在一点η∈-1,1  ,使得
2f η  +ηf η 
1
 ≥ f1
2
 -f-1 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
 .
·第125页，共267页·第四章 空间解析几何
基础题
一、选择题
(1)设向量a=1,2,1  ,b=-1,0,2  ,c=0,k,-3 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
共面,则k=( ).
A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
x-1 y-5 z+8  x-y=6,
(2)设直线L
1
:
1
=
-2
=
1
与L
2
:
2y+z=3,
则L
1
与L
2
的夹角为( ).
π π π π
A. B. C. D.
6 4 3 2
x+3y+2z+2=0,

(3)设直线L: 平面π:4x-2y+z-2=0,则直线L( ).
2x-y-10z-1=0,
A. 平行于平面π B. 在平面π上 C. 垂直于平面π D. 与平面π斜交
·第126页，共267页·y2
(4)方程x2- +z2=1表示( ).
4
A. 旋转单叶双曲面 B. 双叶双曲面 C. 双曲柱面 D. 锥面
二、填空题
(1)设向量a=-1,3,0  ,b=3,1,0  ,c=r(常数).当c满足a=b×c时,r的最小值为_____.
(2)设向量a=2,-3,1  ,b=1,-2,3  ,c=2,1,2 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
,向量r满足r⊥a,r⊥b,Prj r=14,则r=____ c
_.
·第127页，共267页·x-2y+4z-7=0,

(3)过点(2,0,-3)且与直线

垂直的平面方程为_____.
3x+5y-2z+1=0
(4)点P1,-1,2  到平面π:2x-y+5z-12=0的距离d=_____.
(5)点P1,-1,0 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
x y z+1
到直线L: = = 的距离d=_____.
3 3 2
·第128页，共267页·x-1=0, x+2y=0,
 
(6)直线L
1
: 与L
2
: 之间的距离d=_____.
y=z z+2=0
x+2y-3z=2,

(7)直线L: 在平面z=0上的投影为_____,在平面z=1上的投影为_____.
2x-y+z=3
(8)过点A1,1,-1  ,B-2,-2,2  和C1,-1,2 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
三点的平面方程为_____.
·第129页，共267页·公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
x2+2z2=4,
(9)曲线

绕z轴旋转一周所得的旋转曲面方程为_____.
y=0
z=2x2+3y2,
(10)曲线

在xOy面上的投影曲线方程为_____.
z=12-x2-3y2
π
(11)设α与β均为单位向量,其夹角为 ,则以α+2β与3α+β为邻边的平行四边形的面积为___
6
__.
·第130页，共267页·π α+xβ-α
(12)设α与β是非零常向量,β=2(β表示β的模),α与β之间的夹角为 ,求lim =_
3 x→0 x
____.
三、解答题
(1)求平行于平面x+y+z=9且与球面x2+y2+z2=4相切的平面方程.
(2)设平面π与点P1,2,1 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
3x-2y+2=0,

的距离为1,且过直线L: 求平面π的方程.
x-2y-z+6=0,
·第131页，共267页·公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
x+5y+z=0,

(3)设平面π过直线L: 且与平面π
1
:x-4y-8z+12=0的夹角为45°,求平面π的方程.
x-z+4=0,
x+2 2-y z+1
(4)求直线L: = = 在平面π:2x+3y+3z-8=0上的投影直线方程.
3 1 2
x y z
(5)求过点(-1,2,3),垂直于直线 = = 且平行于平面7x+8y+9z+10=0的直线方程.
4 5 6
·第132页，共267页·公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
x+4 z-4
(6)求与直线L :x+2=3-y=z+1和L : =y= 都垂直相交的直线方程.
1 2 2 3
x-3 z-1 x+1 y-2
(7)求直线L : =y= 与L : = =z的公垂线方程.
1 2 0 2 1 0
x-1 y z-1
(8)求直线 = = 绕z轴旋转一周所得的旋转曲面方程.
0 1 2
·第133页，共267页·公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
x-1 y-2 z+1  x=2,
(9)求直线L: = = 绕直线  旋转一周所得的曲面方程.
3 4 1 y=3
拓展题
解答题
(1)求满足下列条件的动点的轨迹方程,并说明它们分别表示什么曲面.
(I)动点到坐标原点的距离等于它到平面z=4的距离；
(II)动点到坐标原点的距离等于它到点(2,3,4)的距离的一半；
(III)动点到点(0,0,5)的距离等于它到x轴的距离;
(IV)动点到x轴的距离等于它到yOz面的距离的两倍.
·第134页，共267页·第五章 多元函数微分学及其应用
基础题
一、选择题
(1)设fx,y  =arcsin x2+y4,则下列选项中正确的是( ).
A. f x ′ 0,0  存在,f y ′ 0,0  存在 B. f x ′ 0,0  不存在,f y ′ 0,0  存在
C. f x ′ 0,0  不存在,f y ′ 0,0  不存在 D. f x ′ 0,0  存在,f y ′ 0,0  不存在
(2)设f x ′ x 0 ,y 0  ,f y ′ x 0 ,y 0  均存在,则下列选项中正确的是( ).
A. limfx,y
x→x0
y→y0
 存在 B. fx,y  在x ,y 0 0  处连续
C. limfx,y 0
x→x0
 存在 D. fx,y 
∘
在Ux ,y 0 0  内有定义
(3)设fx,y 
x2+y2
sinxy2
= x2+y4


 , x2+y2≠0,
则正确的是( ). 
  0, x2+y2=0,
A. f x ′ y ′ 0,0  存在,f y ′′ x0,0  存在 B. f x ′ y ′ 0,0  不存在,f y ′′ x0,0  存在
C. f x ′ y ′ 0,0  存在,f y ′′ x0,0  不存在 D. f x ′ y ′ 0,0  不存在,f y ′′ x0,0 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
不存在
·第135页，共267页·(4)设fx,y  = xy,则( ).
A. 当x>0时,f x ′ x,y 
1 y
=- 2  x  B. 当x<0时,f x ′ x,y 
1 y
=   2 x
C. 当y≠0时,f x ′ 0,y  =0 D. 当y≠0时,f x ′ 0,y  不存在
(5)设方程xy-zlny+exz=1,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程( ).
A. 可确定隐函数y=yx,z  和z=zx,y  B. 可确定隐函数x=xy,z  和z=zx,y 
C. 可确定隐函数x=xy,z  和y=yx,z  D. 只能确定隐函数z=zx,y 
(6)设可微函数fx,y  在点Px ,y 0 0  处取得极大值,则( ).
A. fx ,y
0
 在y=y 处导数小于零 B. fx ,y
0 0
 在y=y 处导数大于零
0
C. fx ,y
0
 在y=y 处导数等于零 D. fx ,y
0 0

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
在y=y 处导数不存在
0
·第136页，共267页·(7)设fx,y  =e2x x+y2+2y  ,则fx,y 
1
在点P ,-1
2
 处( ).
e e
A. 取得极小值- B. 取得极大值- C. 取得极大值e D. 不取得极值
2 2
(8)设z=fx,y  在点(0,0)的某邻域内有定义,且f x ′ 0,0  =1,f y ′ 0,0  =1,则( ).
A. dz
0,0 
=dx+dy
z=fx,y
B. 曲线
 , 
 在点 0,0,f0,0
y=0
   处的切向量为(1,0,1)
C. 曲面z=fx,y  在点 0,0,f0,0    处的法向量为(1,1,1)
D. limfx,y
x→0
y→0
 必存在
(9)设曲面S由方程Fax-bz,ay-cz 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
=0所确定,F有连续偏导数,a,b,c是不为零的常数,则曲面S
上任一点的切平面都平行于直线( ).
x y z x y z x y z x y z
A. = = B. = = C. = = D. = =
a b c b c a c b a c a b
·第137页，共267页·二、填空题
y
lnx+e
(1)lim
x→3
y→0

=_____.
x2+y2
x+y
(2)lim =_____.
x→∞
x2-xy+y2
y→∞
1
(3)lim1-
2x
x→∞
y→0

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x2
x+y =_____.
·第138页，共267页·(4)设z=1+xy  y ,则dz
1,1 
=_____.
(5)设函数fx,y  可微,且f1,2  =2,f x ′ 1,2  =3,f y ′ 1,2  =4,Fx  =f x,fx,2x    ,则F 1  =___
__.
y=fx,t
(6)设
 ,
Fx,y,t 
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 dy
 f,F 有一阶连续偏导数,则 =_____.
=0, dx
·第139页，共267页·(7)设z=zx,y  由方程e 2yz +x+y2+z= 7 确定,则dz
4  1,1
2 2

=_____.
(8)设fx,y  = xy sint dt,则 ∂2f 
0
1+t2 ∂x2
0,2 
=_____.
(9)设zx,y  的全微分dz=x2+2xy-y2  dx+x2-2xy-y2  dy,则zx,y 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
=_____.
·第140页，共267页·(10)设z=zx,y  由方程z+lnz-
x
e-t2 dt=0确定,则
∂2z
=_____.
y ∂x∂y
x
(11)设z=fxy,
y

y
+g
x

∂2z
,f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,则 =_____.
∂x∂y
(12)曲面z=x2+y2-1在点P2,1,4 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
处的切平面方程为_____,法线方程为_____.
·第141页，共267页·x2+y2=10,
(13)曲线L: 在点P3,1,1
x2+z2=10
 处的切线方程为_____,法平面方程为_____.
x+ky
(14)设
 dx+y dy
x+y 
为某二元函数的全微分,则k=_____.
2
(15)设fx,y  有连续偏导数,在P1,-2  处有f x ′ 1,-2  =1,f y ′ 1,-2  =-1,则fx,y  在P1,-2 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
处
增加最快的方向为_____.
·第142页，共267页·(16)函数u=lnx2+y2+z2  在点P1,2,-2  处的梯度graduP  =_____.
三、解答题
(1)设y=yx  ,z=zx 
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x2+y2+z2=3x, dy dz
由方程组  确定,求 , .
2x-3y+5z=4 dx dx
(2)设x≥0,y≥0时,有x2-y2 e -x2-y2 ≤k成立,求k的最小值.
·第143页，共267页·(3)求fx,y  y =1+e  cosx-ye y的极值.
(4)设曲面S:x-y 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
2 -z2=1,求坐标原点到S的最短距离.
(5)求函数z=x3-3x2-3y2在闭区域D:x2+y2≤16上的最大值.
·第144页，共267页·公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
z=x2+y2,
(6)设椭圆

上的点(x,y,z)到原点的距离为d,求其最值以及使得d取最大和最小的点.
x+y+z=4
(7)在第一象限内,过曲线3x2+2xy+3y2=a上任一点作其切线,若切线与两坐标轴所围成的三角形
1
面积的最小值为 ,求a的值.
4
·第145页，共267页·(8)设ux,y 
∂2u ∂2u ∂2u
有二阶连续偏导数,利用变换ξ=x+ay,η=x+by,将方程 +4 +3 =0
∂x2 ∂x∂y ∂y2
∂2u
化为 =0,求a,b的值.
∂ξ∂η
(9)设fu  有二阶连续导数,且z=fexsiny 
∂2z ∂2z
满足 + =ze2x,求fu
∂x2 ∂y2

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
.
·第146页，共267页·综合题
一、选择题
(1)设fx,y  在点x ,y 0 0  处不可微,则下列命题中一定不成立的是( ).
A. fx,y  在点x ,y 0 0  处不连续
B. fx,y  在点x ,y 0 0  处两个偏导数均存在且偏导数连续
C. fx,y  在点x ,y 0 0  处两个偏导数均存在且至少有一个不连续
D. fx,y  在点x ,y 0 0  处沿任何方向的方向导数均不存在
(2)设fx,y 
fx,y
在点(0,0)处连续,且lim
x→0
y→0

=1,则( ).
x2+y2
e -1
A. fx,y  在点(0,0)处取得极小值 B. fx,y  在点(0,0)处取得极大值
C. fx,y  在点(0,0)处不取得极值 D. 不能确定fx,y  在点(0,0)处取得极值
(3)设fx,y 
fx,y
在点(0,0)的某邻域内连续,且lim
x→0
y→0
 -f0,0 
=-1,则fx,y
x+y4

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
在点(0,0)处( ).
A. 取得极小值 B. 取得极大值
C. 不取得极值 D. 无法确定是否取得极值
·第147页，共267页·(4)设fx,y 
1
yarctan , x,y
= x2+y2
 ≠0,0  ,
0, x,y  =0,0 

 则fx,y
,
 在点(0,0)处( ).
A. 连续但不可微 B. 偏导数存在但不连续
C. 可微 D. 连续但偏导数不存在
(5)设函数fx,y  =x+y-1 
x
arcsin ,则在点(0,1)处( ).
y
A. f x ′ 0,1  =f y ′ 0,1  =1 B. df
0,1 
=dy
C. df
0,1 
=dx D. df
0,1 
不存在
(6)设fx,y  在点(0,0)的某邻域内有定义,f0,0 
fx,y
=0,且lim
x→0
y→0
 - x2+y2
=kk为常数
x2+y2
 ,则当
k>-1时,( ).
A. fx,y  在点(0,0)处可微 B. fx,y  在点(0,0)处取得极小值
C. fx,y  在点(0,0)处取得极大值 D. f x ′ 0,0  ,f y ′ 0,0 
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都存在
·第148页，共267页·(7)设fx,y 
∂fx,y
可微,对任意的x,y,有
 ∂fx,y
>0, ∂x

<0,则使得fx ,y ∂y 1 1  y B. x >x ,y >y C. x x ,y 
0,F x ′ x ′ x 0 ,y 0  <0,则由方程Fx,y  =0确定的隐函数y=yx  在x=x 处( ). 0
A. 取得极小值 B. 取得极大值
C. 不取得极值 D. 不能确定是否取得极值
(9)设fx,y  有一阶连续偏导数,且fx,y  =1-x-y+o x-1   2 +y2  ,gx,y  =fx+y,xy  ,则全
微分dg
1,0 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
=( ).
A. -2dy B. -dx C. -dx-2dy D. dx-2dy
·第149页，共267页·二、填空题
(1)设z=zx,y 
∂2z
有二阶连续偏导数,满足 =x+y,并且zx,0
∂y∂x
 =x,z0,y  =y2,则zx,y  =__
___.
(2)设z= 2x ,则 ∂nz 
x2-y2 ∂yn
2,1 
=_____.
(3)设fx,y  对任意的x,y  ∈R2满足fx,y  x+y-2 =e +oρ  ,其中ρ= x-1  2 +y-1  2 ,则
f1+2h,1
lim
h→0
 -f1,1-2h 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
=_____.
h
·第150页，共267页·(4)设曲线x2+2y2+3z2=21的切平面平行于平面x+4y+6z=0,则该切平面方程为_____.
(5)设可微函数fx,y  对任意x,y,t,满足ftx,ty  =t2fx,y  ,P 01,-2,2  是曲面z=fx,y  上一点,
且f x ′ 1,-2  =4,则曲面在P 点处的切平面方程为_____. 0
(6)设ux,y,z  =xy2z3在点P1,2,-1 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
处沿曲面x2+y2=5的外法线方向的方向导数为_____.
·第151页，共267页·三、解答题
x
(1)设f有一阶连续导数,证明:z=f
y

∂z ∂z
的充分必要条件是x +y =0.
∂x ∂y
(2)设z=zx,y 
1 1 1
是由方程F - -
x y z

1 ∂z ∂z
= 确定的隐函数,其中F可微,求x2 +y2 .
z ∂x ∂y
(3)设y=gx,z  与z=zx,y  是由方程fx-z,xy 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
dy
=0确定的函数,求 .
dx
·第152页，共267页·(4)求函数fx,y  =1+y  2 +1+x  2在条件x2+y2+xy=3下的最大值.
x2 y2 z2
(5)求椭球面 + + =1a,b,c>0
a2 b2 c2
 在第一卦限上的切平面与三个坐标面围成的四面体的最
小体积.
(6)设fx,y  =x3+y3-ax2-by2 a>0,b>0 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
x2 y2
有极小值-8,求a,b的值,使得椭圆 + =1所
a2 b2
围面积最大.
·第153页，共267页·(7)设fx,y  =e-x ax+b-y2  在点-1,y 0  处取得极大值,求a,b满足的条件.
(8)设函数fx,y  =x2+2kxy+y2 k>0  满足x2+y2=1的最大值与最小值分别为λ 与λ ,求λ +λ . 1 2 1 2
(9)求fx,y  = 1 e - 2 1 y2 x-a
y2
 2+y-1  2  
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
(y≠0,a为常数)的极值.
·第154页，共267页·(10)设函数z=zx,y  由方程x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0确定,求z=zx,y  的极值.
(11)设可微函数fx,y  在点Px,y  处沿l 1 =-1,0  与l 2 =0,-1  的方向导数分别为x2-y与1-
x,且f1,1 
1
=- .
3
(I)求fx,y  ;
(II)求fx,y  在D= x,y   ∣0≤y≤7-x,0≤x≤7 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
上的最大值.
·第155页，共267页·(12)设函数fx,y  的全微分为dfx,y  =2ax+by  dx+2by+ax  dya,b为常数  ,且f0,0  =-3,
f x ′ 1,1  =3.
(I)求fx,y  ;
(II)求点(-1,-1)到曲线fx,y 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
=0上的点的距离的最大值.
(13)求曲线x2+xy+y2=1上的点到坐标原点的最长距离与最短距离.
·第156页，共267页·(14)设可微函数fu,v 
∂f ∂f
满足 + =u+v
∂u ∂v
 eu-v,且f0,v  =0,若u=x,v=x+y,求:
∂fx,x+y
(I)

;
∂x
(II)fu,v  的极值.
(15)设x=xy  ,z=zy 
Fy-x,y-z
由方程组
 =0,
z
Gxy,
y

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本

dx dz
 确定,求 , .
=0 dy dy
·第157页，共267页·1 1 (16)设α,β为正数,且 + =1,求fx,y
α β
 = 1 xα+ 1 y β在条件xy=1x>0,y>0
α β
 下的最小值.
(17)设w=xy-z,z=zx,y 
∂2z ∂2z ∂2z
有二阶连续偏导数,且满足 +2 + =0.作变换u=x+y,v
∂x2 ∂x∂y ∂y2
=x-y.
∂2w
(I)求 ;
∂u2
∂w0,v
(II)若

=ve-v,w0,v
∂u

v2
= ,求zx,y
4

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
的表达式.
·第158页，共267页·x2 y2 z2
(18)求函数u= + + 在点Px,y,z
a2 b2 c2
 处沿l=xi+yj+zk的方向导数,并讨论在哪些点该方
向导数等于梯度的模.
拓展题
一、选择题
下列( )选项条件成立时,能够推出函数fx,y  在点x ,y 0 0  处可微,且全微分dfx,y   x 0 ,y 0  =0.
A. f x ′ x 0 ,y 0  =f y ′ x 0 ,y 0  =0
B. fx,y  在点x ,y 0 0 
ΔxΔy
处的全增量Δf=
Δx 
2
+Δy 
2
C. fx,y  在点x ,y 0 0 
sin Δx
处的全增量Δf=

2
+Δy 
2
 
Δx 
2
+Δy 
2
D. fx,y  在点x ,y 0 0  处的全增量Δf= Δx  2 +Δy  2   1 sin
Δx 
2
+Δy 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
2
·第159页，共267页·二、解答题
设fx,y  在点(0,0)的某邻域内有定义,f0,0 
fx,y
=0,且lim
x→0
y→0

=1+k(k为常数).证明:
x2+y2
I  fx,y  在点(0,0)处连续;
(II)当k≠-1时,fx,y  在点(0,0)处不可微;
(III)当k=-1时,fx,y 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
在点(0,0)处可微.
·第160页，共267页·第六章 重积分及其应用
基础题
一、选择题
1 (1)设D为由直线x+y= 2 ,x+y=1与两坐标轴所围的区域,I 1 = lnx+y
D
    9 dxdy,I = 2
x+y
D
  9 dxdy,I 3 = sinx+y
D
    9 dxdy,则( ).
A. I ≤I ≤I B. I ≤I ≤I C. I ≤I ≤I D. I ≤I ≤I
1 2 3 1 3 2 3 2 1 3 1 2
(2)设D是xOy平面上以A1,1  ,B-1,1  ,C-1,-1  为顶点的三角形区域,D 是D在第一象限的部 1
分,则I= xy+cosxsiny
D
  dxdy=( ).
A. 0 B. 2 xydxdy
D1
C. 2 cosxsinydxdy D. 4 xy+cosxsiny
D1 D1
  dxdy
2 x2
(3)积分I= dx2 fx,y
0 0

2 2 8-x2
dy+ dx fx,y
2 0
 dy=( ).
2 8-y2
A.  dy fx,y
0 y

2 8-y2
dx B.  dy fx,y
0 2y
 dx
2 8-y2
C.  dy fx,y
0 2y

2 8-y2
dx D.  dy fx,y
0 y

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
dx
·第161页，共267页·(4)设D:x2+y2≤x,则 fx,y
D
 dxdy=( ).
π cosθ
A.  dθ frcosθ,rsinθ
0 0

π sinθ
rdr B.  dθ frcosθ,rsinθ
0 0
 rdr
π cosθ
C. 2 dθ frcosθ,rsinθ
-π
2 0

π sinθ
rdr D. 2 dθ frcosθ,rsinθ
-π
2 0
 rdr
π 2sinθ
(5)将二重积分I=2 dθ frcosθ,rsinθ
π
4 0
 rdr化为直角坐标系下的二次积分,则I=( ).
1 x
A.  dx fx,y
0 1- 1-x2

1 1-x2
dy B.  dx fx,y
0 x
 dy
1 y
C.  dy fx,y
0 0

2 2y-y2
dx+ dy fx,y
1 0

1 2y-y2
dx D.  dy fx,y
0 y

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
dx
(6)设V:x2+y2+z2≤R2,z≥0,V 是V位于第一卦限的部分,则( ).
1
A.  zdV=4 zdV B.  xdV=4 xdV
V V1 V V1
C.  ydV=4 ydV D.  xyzdV=4 xyzdV
V V1 V V1
·第162页，共267页·二、填空题
(1)I= 1 1 x -2 3dx π 4 csc2ydy=_____.
3
0 arctanx
(2)设ft  t t =dx e -x-y
0 x
 2  dyt≥0  ,则f 1  =_____.
(3)设D:x2+y2≤4,x≥0,y≥0,fx 
a fx
在[0,+∞)上连续且取正值,则I=
D
 +b fy 
fx  + fy 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
 dxdy
=_____.
·第163页，共267页·(4)设fx  在0,1 
1
上连续,且 fx
0

1 1
dx=A,则I= dx fx
0 x
 fy 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
dy=_____.
1+x-y
(5)设D:x2+y2≤1,x≥0,y≥0,则I= dxdy=_____.
D1+x2+y2
dxdy
(6)设D:2x≤x2+y2,0≤y≤x≤2,则I= =_____.
D x2+y2
·第164页，共267页·(7)设D= x,y   ∣0≤y≤1-x,0≤x≤1 
x
,则 ex+ydxdy=_____.
D
x2 y2
(8)设D:x2+y2≤1,则I=  +
4 9
D

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
 dxdy=_____.
(9)设区域D由x=- 2y-y2,x=-2,y=0,y=2所围,则I= ydxdy=_____.
D
·第165页，共267页·(10)设D:x2+y2≤2x,则I= 2x+3y
D
  dxdy=_____.
(11)设V:x2+y2+z2≤2y-2x,则I= x+y+z
V
  dV=_____.
(12)球体x2+y2+z2=R2 R>0 
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被圆柱面x2+y2=Rx所截得含在圆柱面内的立体的体积为___
__.
·第166页，共267页·(13)r≤1与r≤1+cosθ所围平面区域的形心坐标为_____.
(14)设平面薄片(密度ρ=1)由y2=x3与直线y=x所围,则D对x轴和y轴的转动惯量分别为I =
x
_____,I =_____.
y
三、解答题
(1)(I)设D由x-y=0,x+y=0及x=1所围,求I= xyx-y
D

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
dxdy;
·第167页，共267页·siny
(II)设D由y= x,y=x所围,求I= dxdy;
y
D
(III)设D由y=x2 x≥0 
xy
,y=1,x=0所围,求I= dxdy;
D 1+y3
(IV)设D:-1≤x≤siny,y≤
π
,求I= xe
x2+cosy
siny-1
2
D

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
dxdy.
·第168页，共267页·(2)设D= x,y   ∣1≤x+y≤2,x≥0,y≥0 
xex+y
,计算I=
D
 2
 dxdy.
x+y
(3)设D:x2+y2≤ 2x,0≤y≤x,计算I=  x2+y2-1dxdy.
D
(4)设D= x,y   ∣0≤x≤2,0≤y≤ 2x-x2  
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,计算I= x+y-2dxdy.
D
·第169页，共267页·y
(5)设D:1≤x2+y2≤2x,y≥0,计算I=
D 1+x2+y2 
 dxdy.
x2+y2
(6)设D:0≤x≤2,0≤y≤2,计算I= 1+x+y
D
  dxdy,其中1+x+y  表示不超过1+x+y的最大
整数.
(7)设D= x,y   ∣0≤x≤1,0≤y≤1  ,计算I= max 2x-x2,1-y
D
 2   
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dxdy.
·第170页，共267页·(8)计算I= sgnx2-y2+2
D

dxdy,其中D:x2+y2≤4.
(9)设fx,y 
1
= x2+y2 
  , 1≤x≤3, 3 x≤y≤x,
2 3 D由x=3,x=1,y=0,y=3所围,计算I= 


0, 其他,
 fx,y
D

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dxdy.
·第171页，共267页·(10)计算I= xydxdy,其中D由下列双纽线所围.
D
(I)x2+y2  2 =2x2-y2  ;
(II)x2+y2 
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2 =2xy.
(11)设V由曲面z= R2-x2-y2与z= x2+y2所围,求I= zdV.
V
·第172页，共267页·(12)设V是由曲面z= 1-x2-y2与z+1= x2+y2所围的区域,计算I= z2dV.
V
(13)求曲面z= 5-x2-y2与x2+y2=4z所围立体体积.
(14)设V是由x2+y2+z2=R2与x2+y2+z-R

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2 =R2所围的区域,计算I= z2dV.
V
·第173页，共267页·综合题
一、选择题
(1)I 1 = cos x2+y2dxdy,I 2 = cosx2+y2
D D
 dxdy,I 3 = cosx2+y2
D
 2 dxdy,其中D:x2+y2≤1,则(
).
A. I >I >I B. I I >I D. I >I >I
1 2 3 1 2 3 2 1 3 3 1 2
n n
1
(2)lim
n→∞ i=1j=1 1+ i
n
 n2+j2 
 =( ).
π π π
A. ln2 B. ln2 C. ln2 D. πln2
4 8 2
(3)设D是以1,1  、-1,1  和(-1,-1)为顶点的三角形区域,D 1 是D在第一象限的部分,且fx,y 
=xy+ fx,y
D
 dxdy,其中fx,y  在D上连续,则( ).
A.  fx,y
D
 dxdy= fx,y
D1
 dxdy B.  fx,y
D
 dxdy=2 fx,y
D1
 dxdy
C.  fx,y
D
 dxdy= fy,x
D
 dxdy D.  fx,y
D
 dxdy=2 fy,x
D1

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dx dy
·第174页，共267页·二、填空题
(1)设D:0≤x≤y≤2π,则I= sinx-y
D
   dxdy=_____.
(2)设D= x,y    x ≤x2+y2≤ x , y ≤x2+y2≤ y 
4 2 4 2
 1 ,则I= dxdy=_____.
xy
D
1 y2
(3)积分I= dy ysin1-x
0 0

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2 dx=_____.
·第175页，共267页·π a sin2θ
(4)交换积分顺序I=2 dθ frcosθ,rsinθ
0 0
 rdra>0 
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为_____.
x2 y2
(5)(选做)设D: + ≤1,则I= y2dxdy=_____.
a2 b2
D
ez
(6)设V是由z= x2+y2,z=1,z=2所围成的立体,计算I= dxdydz=_____.
V x2+y2
·第176页，共267页·1 1-x 1-x-z (7)积分I= dx dz 1-y
0 0 0
  e -1-y-z  2 dy=_____.
(8)设V是由曲面x2+y2-2z2=1、平面z=1及z=2所围成的区域,则I= zdV=_____.
V
(9)设V由曲面z= x2+y2与z= 1-x2-y2所围,则I= x+z
V

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 dV=_____.
·第177页，共267页·三、解答题
(1)设D是由曲线xy+x+y=1与x轴所围成的有界区域,计算I= [2ln1+y
D
 -y+x]dxdy.
(2)设D= x,y  ∣x-1  2 +y-1   2 ≤1,x2+y2≤1   ,计算I= 2x-y2
D
  dxdy.
(3)设平面曲线x+y  3 =xy在第一象限所围区域为D,计算I= x-y
D
 3  +1 
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 dxdy.
·第178页，共267页·1 2-x (4)计算积分I= dx ex+y
0 1-x
 2  sin2x+cos2y  2 2-x dy+ dx ex+y
1 0
 2  sin2x+cos2y  dy.
1 t t (5)求极限lim  dxsinxy
t→0+t6
0 x
 2 dy.
(6)设D= θ,r  π   0≤θ≤ , 0≤r≤1 
2

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,计算I= r3er2cos2θsin2θdθdr.
D
·第179页，共267页·(7)设D= x,y   ∣x2+y2≤1,0≤y≤x  
xy
,计算I= dxdy. D1+x2-y2
(8)设D= x,y   ∣0≤x≤1,0≤y≤x  ,计算I= arcsin2 x-x2
D
 dxdy.
(9)设可导函数fx  fx 满足lim
x→0

t t2-x2
dx f x2+y2
=1,求极限lim 0 - t2-x2
x t→0+
  +2y 
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 dy
.
t3
·第180页，共267页·(10)设ft  在-∞,+∞  内有连续导数,且ft  =2 x2+y2
D
  f x2+y2  dx dy+t4,D:x2+y2≤t2,
求ft  .
(11)设fx,y  在区域:0≤x≤1,0≤y≤1上连续,f0,0  =0,且fx,y  在点(0,0)处可微,f y ′ 0,0  =
x2 t
 dt ft,u
1,求lim 0 x
x→0+
 du
.
-x4
1-e 4
(12)设D:x2+y2≤4,x≥0,y≥0,fx,y  在D上连续,且fx,y  =x2+y2-x+y-1  +
 fu,v
D
 dudv,求fx,y 
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.
·第181页，共267页·(13)设D是由y= 1-x2,y= 4-x2与x+y=0及x轴所围且位于x+y≥0部分的区域,计算I=
x2+y2
 dxdy.
D
x2+2y2
(14)设D= x,y   ∣4≤x2+y2≤9,x≥0,y≥0   ,fx,y  在D上连续,且fx,y  =sinπ x2+y2  +
1 xfx,y
π
D

 dxdy.求I= fx,y
x+y
D

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dxdy.
·第182页，共267页·(15)设fx 
1
 xf2 x
是连续正值函数,且单调减少,证明: 0
 dx
1
 xfx
0

1
 f2 x
≤ 0
dx
 dx
1
 fx
0

.
dx
x=t-sint,
(16)设D为由摆线 0≤t≤2π
y=1-cost

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
 及x轴所围的平面区域,求D的质心坐标.
·第183页，共267页·(17)设V:0≤z≤ R2-x2-y2 R>0  ,求I= 3x2+5y2+7z2
V
  dV.
(18)设Ft  = z2+fx2+y2
V
    dV,fu  连续,其中V:0≤z≤h,x2+y2≤t2.求:
dF
(I) ;
dt
1
(II)lim Ft
t→0 t2

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.
·第184页，共267页·公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
(19)设V是由平面z=0,z=1及圆柱面x2+y2=2所围成的图形,计算I= z- x2+y2dxdydz.
V
(20)某均匀物体由上、下两部分组成,上部分是半径为a的半球体,下部分是底面半径为a、高为3
的直圆锥体,且半球体的底面圆与圆锥的底面重合,问当a为何值时,此物体的质心恰好在球心位置?
·第185页，共267页·(21)设fx  在0,1  上是连续正值函数,且fx  单调减少,D:0≤x≤1,0≤y≤1,证明
 xfx
D
 fy  fx  -fy    dxdy≤0.
(22)设fu  在-1,1  上连续,D:x+y≤1,证明: fx+y
D

1
dxdy= fu
-1

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du.
·第186页，共267页·(23)设非负函数fx  在区间0,a  a>0  上有连续的二阶导数,且f0  =f 0  =0,f x  严格单调
递增,平面区域D= x,y  ∣0≤x≤a,0≤y≤fx   
 
的形心坐标为x,y 
 3
.证明:x> a.
4
拓展题
解答题
(1)设D由x轴,曲线y=fx  fx   ≥0  ,x=0,x=aa>0  围成,平面图形D的质心(形心)的横坐
 2
标为x= a.
3
(I)记Fx 
x
= ft
0
 dt,证明:F x 
2Fx
=

;
x
(II)求fx 
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.
·第187页，共267页·x=1-cost,
(2)设D是由曲线 0≤t≤2π
y=t-sint


 与y轴所围平面区域,计算I= 2x+y
D

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 dxdy.
1
(3)设在第一象限内,x2+y2= 与x2+y2=x4+y4及x=0,y=0所围区域为D.计算
4
xy
I= dxdy.
Dx2+y2
·第188页，共267页·第七章 微分方程及其应用
基础题
一、选择题
dy x
(1)下列选项中(C为任意常数)是微分方程 + =0的通解的是( ).
dx y
A. x2+y2=C2 B. x2-y2=C2 C. x2+y2=C D. x2-y2=C
(2)设y+Px  y=0的一个特解为y=cos2x,则该方程满足y0  =2的特解为( ).
A. 2cosx B. 2cos2x C. cos2x D. cos2x+1
(3)微分方程y+2y-3y=e-x+x的一个特解形式为( ).
A. ae-x+bx+c B. axe-x+xbx+c  C. axe-x+bx+c D. aex+xbx+c 
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·第189页，共267页·(4)设y 1x  ,y 2x  是y+Px  y=0的两个不同特解,其中Px  在-∞,+∞  内连续,且Px  不恒
为0,则下列结论中错误的是( ).
A. y 1x  -y 2x  =常数 B. C y 1x  -y 2x    是方程的通解
C. y 1x  -y 2x  在任一点不为0 D.
y 2x 
y 1x 
≡常数 y 1x   ≠0 
(5)设y 1x  ,y 2x  ,y 3x  是微分方程y+px  y+qx  y=fx  的三个线性无关的解,fx  ≠0,则该
方程的通解为( ).
A. C 1 y 1x  +C 2 y 2x  +y 3x  B. C 1 y 1x  +1-2C 1  y 2x  +C 1 y 3x 
C. C -C 1 2  y 1x  +C 2 y 2x  +y 3x  D. C 1 y 1x  +C 2 y 2x  +C 3 y 3x  C +C +C =1 1 2 3 
(6)设fx  在[0,+∞)上可导, lim fx
x→+∞
 =bb≠0  ,yx  为方程y+ay=fx  a>0  的任一解,则y
=yx 
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有水平渐近线( ).
b a
A. y=ab B. y=-ab C. y= D. y=
a b
·第190页，共267页·二、填空题
(1)微分方程1+y2  dx+2x-1  ydy=0的通解为_____.
y y
(2)y= +tan 满足y1
x x

π
= 的特解为_____.
6
y
(3)微分方程y-6 +xy2=0y不为常函数
x

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的通解为_____.
·第191页，共267页·x
(4)微分方程 1+ey 
x
x dx+ey1-
y
 dy=0y>0  的通解为_____.
(5)微分方程xy= x2+y2+y的通解为_____.
(6)方程y+2y+y=xex满足y0  =0,y 0 
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=0的特解为_____.
·第192页，共267页·(7)方程y-3y+2y=10e-xsinx满足当x→+∞时,yx  →0的特解为_____.
(8)方程1-x2  y-xy=0满足y0  =0,y 0  =1的特解为_____.
(9)欧拉方程x2y-xy+y=0x>0  满足y1  =1,y 1  =1的解yx 
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=_____.
·第193页，共267页·(10)设二阶线性非齐次微分方程y+px  y+qx  y=fx  有三个特解为x,ex,e-x,则该方程的通解
为_____.
(11)设二阶常系数线性微分方程y+ay+by=cex有特解y*=e-x 1+xe2x  ,则该方程的通解为_
____.
三、解答题
(1)求x2y-y′2=0过点P1,0 
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,且在点P与y=x-1相切的积分曲线.
·第194页，共267页·(2)求微分方程xcosy+cosx 
dy
-ysinx+siny=0的通解.
dx
(3)设fx  是连续函数,且fx 
x
=cosx- x-t
0
  ft  dt,求fx  .
(4)设fx  可导,对任何实数x,y满足fx+y  =exfy  y +e fx  ,且f 0  =e,求fx 
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.
·第195页，共267页·1
(5)求微分方程y+ y′2=2y满足y0
2
 =y 0  =2的特解.
(6)求微分方程y-y=0的一条积分曲线,使此积分曲线在原点处有拐点,且以直线y=2x为切线.
(7)设fu  有二阶连续导数,z=f x2+y2 
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∂2z ∂2z
满足 + =x2+y2,求z的表达式.
∂x2 ∂y2
·第196页，共267页·(8)设L是一条平面曲线,其上任意一点Px,y  x>0  到原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的
1
截距,且L过点 ,0
2
 .求:
(I)曲线L的方程；
(II)L位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L以及两坐标轴所围的面积最小

(9)设OA是连接O0,0  和A1,1  的一段向上凸的曲线弧,Px,y 
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 
为OA上任一点,曲线弧OP与有
 
向线段OP所围图形的面积为x2,求曲线弧OA的方程.
·第197页，共267页·(10)设fx  满足xf x  -fx  =a1-lnx  +x2 x>0,a≠0  ,f1  =1-a.
(I)求fx  的表达式;
(II)若方程fx  =0在x∈0,+∞ 
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内有唯一实根,求a的取值范围.
综合题
一、选择题
(1)下列方程中,以y=C ex+C cosx+C sinxC ,C ,C 为任意常数)为通解的是( ).
1 2 3 1 2 3
A. y-y+y-y=0 B. y+y+y-y=0
C. y+y-y-y=0 D. y-y-y-y=0
·第198页，共267页·(2)若二阶常系数线性齐次微分方程y+py+qy=0的通解为y=C ex+C xex,则非齐次微分方程
1 2
y+py+qy=x满足y0  =2,y 0  =0的特解为y=( ).
A. xex-x-2 B. xex-x+2 C. -xex+x+2 D. -xex-x+2
(3)设C为任意常数,则以y=eCx+x2为通解的一阶微分方程为(
).
A. xy-ylny=x2y B. xy+ylny=xy2 C. xy-ylny2=xy D. xy+ylny=xy
(4)设y 1 ,y 2 是一阶线性非齐次微分方程y+Px  y=Qx 
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的两个解,若常数λ,μ使得λy +μy 是该 1 2
方程的解,λy -μy 是对应的齐次微分方程的解,则( ).
1 2
1 1 1 1 1 2 2 2
A. λ=- ,μ=- B. λ= ,μ= C. λ= ,μ= D. λ= ,μ=
2 2 2 2 3 3 3 3
·第199页，共267页·二、填空题
y
(1)微分方程y=
x+y+1 
(y不为常函数)的通解为_____.
2
(2)微分方程y-y=sinx满足y0  =0,y 0 
3
= 的特解为_____.
2
y2-x
(3)微分方程y=
2yx+1 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
的通解为_____.
·第200页，共267页·dy y-x
(4)微分方程 = 满足y1
dx y+x
 =0的特解为_____.
x
(5)微分方程ysec2y+ tany=x满足y0
1+x2

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
=0的特解为_____.
(6)微分方程y+y=x+cosx的通解为_____.
·第201页，共267页·(7)设函数yx  满足y+2ay+b2y=0a>b>0  ,且y0  =1,y 0 
+∞
=1,则 yx
0
 dx=_____.
(8)设fx  有连续导数,对任意a满足fx+a 
x+att2+1
=
x

ft 
 dt+fx  ,且f1  = 2,则fx  =__
___.
(9)设fx  有二阶连续导数,且fx 
x
= f1-t
0
 dt+1,则fx 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
=_____.
·第202页，共267页·三、解答题
(1)设fx  满足fx+y 
fx
=
 +fy 
1-fx  fy 
,且f 0  存在,求f x  及fx  .
(2)利用变量替换x=sint,y=yt 
π
00 
fx
,且lim
x→0+

=0.
x
(I)求fx  的表达式;
(II)若y=fx  在0,nπ  上与x轴所围图形的面积为A nn=1,2,⋯ 
A
,求lim n
n→∞ n+1 
.
2
(12)设ft  有二阶连续导数,f1  =f 1  =1,在x>0的平面区域内,存在函数ux,y  ,使得
dux,y  y2 y = +xf x x       y dx+ y-xf x      dy.求ft  及ft 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
的极值.
·第208页，共267页·(13)设ft  在0,+∞  内有二阶连续导数,记gx,y 
y
=f
x
 .若gx,y 
∂2g ∂2g
满足x3 +x2y +
∂x2 ∂x∂y
∂2g
xy2 =y,且gy,y
∂y2

∂g
=1, 
∂y y,y 
2
= ,求ft
y
 .
(14)设fx  在0,1  上有连续导数,f0  =1,f + ′ 0  =1,且 f x+y
D
 dxdy=
fx+y
D
 +x-y  3    dxdy,其中D= x,y   ∣0≤y≤t-x,0≤x≤t  02.
1 2
(16)设上凸曲线y=yx  y>0  上任一点Mx,y  处的切线与x轴交于点N,且满足OM=ON,
y0  =1,y x  >0,求y=yx 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
.
·第210页，共267页·(17)设y=yx 
1
是向上凸的连续曲线,其上任一点(x,y)处的曲率为 ,且此曲线上点(0,1)
1+y′2
处的切线方程为y=x+1,求该曲线的方程.
(18)(I)设at 
+∞
在[0,+∞)上是非负连续函数,证明:当且仅当 at
0

dx
dt发散时,微分方程 +
dt
at  x=0的每一个解xt  满足 limxt
t→+∞
 =0;
(II)设a>0,ft 
dx
在[0,+∞)上连续有界,证明:方程 +ax=ft
dt
 t≥0 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
的所有解在[0,+∞)上有
界.
·第211页，共267页·(19)设在第一象限内的曲线y=yx  满足y0  =0,且y x  >0,曲线上任一点Mx,y  处的切线段
 
为MT,点M到x轴的垂线为PM,如图所示,△PMT的面积与曲边三角形OPM的面积之比恒为常数
1
kk>
2
 .求y=yx  .
(20)设yx  在[0,+∞)上有二阶连续导数,点Px,y  x>0  为凹曲线y=yx  上的任意一点,沿曲
线从点(0,1)到点Px,y  的弧长在数值上等于该曲线在点Px,y  处的切线的斜率,且曲线在点(0,1)
处有水平切线.
(I)求y=yx  的表达式;
(II)求曲线y=yx 
5
从点ln2,
4

5
到点ln3,
3

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
的一段弧长.
·第212页，共267页·公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
(21)一架质量为4.5t的歼击机以600km/h的航速开始着陆,在减速伞的作用下滑跑500m后速度减
为100km/h,设减速伞的阻力与飞机的速度成正比,忽略飞机所受的其他外力,求减速伞的阻力系数.
若保障飞机安全着陆,跑道长度至少应为多少?
拓展题
解答题
(1)设环境保持恒定温度20°C,有一物体的温度在10 s内从100°C降到60°C,若物体温度下降的速
度与该物体与环境温度之差成正比,问此物体从100°C降到25°C需要多少时间？
·第213页，共267页·(2)设ft  t≥0  有连续导数,且满足ft 
1
=  ft- x2+y2
2π x2+y2≤t2
 dxdy+t,求ft  .
(3)设全微分方程为 xyx+y  -fx   y  dx+ x2y+f x    dy=0,其中fx  有二阶连续导数,且f0 
=0,f 0  =1,求fx 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
及全微分方程的通解.
·第214页，共267页·(4)发现一架飞机在原点O0,0  处沿y轴正向以常速度v飞行,随即从点P 016,0  处发射导弹追击,
且导弹方向始终指向飞机,导弹速度为2v,如图7-2所示.求:
(I)导弹飞行轨迹y=yx 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
的表达式；
(II)飞机被击中的位置及所需时间T.
·第215页，共267页·第八章 无穷级数
基础题
一、选择题
∞ ∞
(1)设级数u
n
与v
n
均发散,则( ).
n=1 n=1
∞
A. u n +v n
n=1

∞
 必发散 B. u n v n 必发散
n=1
∞
C. u n+v n
n=1

∞
 必发散 D. u2 n +v2 n
n=1
  必发散
(2)下列结论中正确的是( ).
∞ ∞ ∞
A. 若u
n
v n收敛,则u2
n
与v2
n
都收敛
n=1 n=1 n=1
∞ ∞ ∞
B. 若u2 n 和v2 n 都收敛,则 u n +v n
n=1 n=1 n=1
  2收敛
∞ ∞
C. 若v
n
收敛且u
n
≤v
n
,则u
n
收敛
n=1 n=1
∞
D. 若u n 发散u n ≥0
n=1

1
,则u ≥ n
n
(3)下列结论中正确的是( ).
∞ ∞ ∞
A. 若u
n
与v
n
都收敛,则u
n
v
n
必收敛
n=1 n=1 n=1
∞ ∞ ∞
B. 若u
n
与v
n
都发散,则u
n
v
n
必发散
n=1 n=1 n=1
∞ ∞ ∞
C. 若u
n
收敛,v
n
发散,则u
n
v
n
必发散
n=1 n=1 n=1
∞ ∞
D. 若u n 收敛,v nv n >0
n=1 n=1

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
∞
收敛,则u n v n收敛
n=1
·第216页，共267页·∞
(4)设u
n
收敛,则下列级数中收敛的是( ).
n=1
∞ ∞
A. u2 n B. u n +u n+1
n=1 n=1

∞
 C. -1
n=1

∞
u
 n-1 n D. u -u n 2n-1 2n
n=1
 
∞
(5)设u nu n >0
n=1
 收敛,则下列结论中正确的是( ).
∞ ∞ u
A. u2 n 收敛 B.  u n 收敛 C. lim n+1 <1 D. limnu n <1
n=1 n=1 n→∞ u n n→∞
(6)下列结论中正确的是( ).
∞
A. 若u nu n >0
n=1
 收敛,则limn2u =0 n
n→∞
∞ ∞
B. 若u n 收敛,则 -1
n=1 n=1
  n-1 u n 必条件收敛
∞
C. 若 -1
n=1
 n-1  u nu n >0 
∞
条件收敛,则u n 发散
n=1
∞
D. 若 u +u 2n-1 2n
n=1

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
∞
 收敛,则u n 必收敛
n=1
·第217页，共267页·∞
n+1- n-1
(7)级数 sinn+k
n
n=1
 k为常数  ( ).
A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 收敛性与k有关
∞
(8)设幂级数a nx-1
n=1

∞
n在x=-1处条件收敛,则a n ( ).
n=1
A. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 无法确定敛散性
∞ ∞
a
(9)设级数a n xn在x=2处条件收敛,则 n x-1
n+1
n=0 n=0

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
n在x=-1处( ).
A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 敛散性不确定
·第218页，共267页·二、填空题
(1)设fx 
∞
=xn,则Fx
n=0

xfx
=

展开为x的幂级数为_____.
1-x
∞
(2)设a nx-1
n=0
 n的收敛域为-1,3 
∞
,则a n x2n的收敛域为_____.
n=0
(3)fx 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
x
= e-t2 dt展开为x的幂级数为_____.
0
·第219页，共267页·∞
1 1+x 1
(4)设
4
ln
1-x
+
2
arctanx-x=a
4n+1
x4n+1,x<1,则a
4n+1
=_____.
n=1
(5)设fx 
-1, -π0,p>0
n p n
n=1
 ;
∞ 1 ∞ 1 1
(III) ; (IV) an -an+1
n
n=1 1+x3 dx n=1
0
  a>0  ;
∞
1 1 (V) -ln1+
n n
n=1
  


∞
1  ; (VI)  na- 1+
n
n=1
  a>0  .
(2)判别下列级数的敛散性,若收敛,则判断是条件收敛还是绝对收敛:
∞
(I)设 -1
n=1

∞
 n-1 a n en收敛,判别a n 的敛散性;
n=1
∞
(II) -1
n=1

n-1 1

ln1+n 
∞ -1
; (III)
n=1

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
n
 ;
n-lnn
·第221页，共267页·∞
(IV) -1
n=1
  n-1  n3-1  .
(3)求下列级数的收敛域:
∞ -1
(I)
n=1
 n xn ∞ x-3
 ; (II)
2n n
n=1
 n
 ;
n⋅3n
∞
(II) -1
n=1
  n nnxn; (IV)
∞ x2n-1
.
3n
n=1
(4)求下列级数的收敛域:
∞ xn2 ∞ x2n+1
(I) ; (II) ;
2n 3n+n2
n=1 n=1
∞ 1
(III) 1+
n
n=1

-n2 ∞ 1 1
 xn; (IV)  +
nlnn 2n
n=2

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
 xn.
·第222页，共267页·(5)求下列幂级数的收敛域及和函数:
∞ xn-1 ∞ n-1
(I) ; (II)
n2n
n=1 n=0
 2
 xn;
n+1
∞ n2+1 ∞ -1
(III) xn; (IV)
n! n=0 n=0
 n n+1 
2n+3 
 x2n.
!
(6)将下列函数展开为x的幂级数,并确定收敛域:
(I)f 1x 
1
=
x2-3x+2
; (II)f 2x  =ln1-x-2x2  ;
(III)f 3x  =lnx+ 1+x2  ; (IV)f 4x 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
=xarctanx-ln 1+x2,
·第223页，共267页·(7)将fx 
x
= 展开为x-5的幂级数.
x2-5x+6
(8)将fx 
π
=sin x在x=-2处进行幂级数展开.
2
(9)求下列级数的和:
∞
1
(I)
n=2
n2-1

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
∞
2n+1
 ; (II) .
2n n!
n=0
·第224页，共267页·(10)(I)证明:yx 
x3 x6 x9 x3n
=1+ + + +⋯+
3! 6! 9! 3n 
+⋯-∞0, 收敛, 发散,则( ).
nn na
n=1 n=2
1 1
A. a>e B. a=e C. 1 D. p<0
二、填空题
∞ ∞
(1)设a n xn的收敛半径为3,则na nx+1
n=0 n=0

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
n+1的收敛区间为_____.
·第229页，共267页·∞ ∞
a
(2)设a
n
xn的收敛半径为R=1,则 n xn的收敛域为_____.
n!
n=0 n=0
n 1 1 1
(3)lim  1+
n→∞n 3k k
k=1

k2
=_____.
1 2 n
(4)lim + +⋯+
n→∞ a a2 an
 a>1 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
=_____.
·第230页，共267页·∞
(5)设 -1
n=1

∞ ∞
 n-1 u n =2,u 2n-1 =5,则u n =_____.
n=1 n=1
三、解答题
(1)已知函数y=yx  满足方程y=x+y,且y0 
∞
1 =1,讨论级数 y
n
n=1
   -1- 1
 n
  的敛散性.
∞ xn
(2)求
n=1 n 3n+-2  n  
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
 的收敛区间,并讨论在端点处的敛散性.
·第231页，共267页·(3)(I)设k>0,x>0,证明:kx<1+k2x2  arctankx;
∞ -1
(II)判别级数
n=1
 n arctankn
 k>0
n
 是绝对收敛还是条件收敛.
∞
1
(4)设 =a
n
xn.证明:
1-x-x2
n=0
(I)a 0 =1,a 1 =1,a n+2 =a n+1 +a nn=0,1,2,⋯ 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
;
∞ a
(II) n+1 收敛,并求其和.
a a
n=1 n n+2
·第232页，共267页·∞
(5)设u nu n >0
n=1
 发散,S =u +u +⋯+u . n 1 2 n
∞
1 1
(I)求  -
S S
n=1 n n+1
  的和;
∞
u
(II)证明: n 收敛.
S2
n=1 n
(6)设fx  可导,且fx  >0, f x   ≤afx  01 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
∞
,证明:当x<1时,a n xn收敛,并求其和
n=0
函数.
·第236页，共267页·x
(16)设曲线y=n n sintdt(n为正整数)在0,nπ
0
 上的全长为S . n
(I)求S ;
n
∞ xn
(II)求级数 的收敛域及和函数.
S S
n=1 n n+1
(17)设fx 
∞ xn
= ,证明:fx
n2
n=1
 +f1-x  +lnxln1-x 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
∞ 1
= .
n2
n=1
·第237页，共267页·(18)设fx  = ∞ a n xn满足 f x n! n=0  -f x  -2fx  =0, f0  =0,f 0    求fx =1,  及a . n
∞
(19)求形如b n sinnx的级数,使其在0,π
n=1

1
内的和函数为 π-x
2

π
,当x= 时,求此级数的和.
2
拓展题
解答题
1 π
(1)设a n = xn 1-x2dx,b n =2 sinntdtn=1,2,⋯
0 0

∞
,求级数 -1
n=1

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
a
 n-1 n 的和.
b
n
·第238页，共267页·(2)设a 0 =1,a 1 =0,n+1  a n+1 =na n +a n-1n=1,2,⋯  ,Sx 
∞
=a n xn.求:
n=0
∞
(I)lima
n
,并计算级数a
n
xn的收敛半径;
n→∞
n=0
(II)Sx  满足的一阶微分方程,并求和函数Sx  .
(3)设fx  满足f x  +2f x  +fx  =0,且f0  =1,f 0 
+∞
=0,a n = fx
n
 dx.求:
(I)fx 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
及a ; n
∞
(II)级数a
n
的和.
n=1
·第239页，共267页·第九章 曲线积分与曲面积分
基础题
一、选择题
(1)设L为圆周x2+y2=2x,则I= xds=( ).
L
A. 2π B. π C. 1 D. 0
(2)设S为球面x-a  2 +y-b  2 +z-c  2 =1a,b,c均大于零  ,则I= x+y+z
S
  dS=( ).
A. 4π B. 4πa+b+c 
4
C. 0 D. πa+b+c
3

(3)设S:x2+y2+z2=R2 z≥0 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
,S 为S在第一卦限的部分,则( ). 1
A.  xdS=4 xdS B.  ydS=4 ydS C.  zdS=4 zdS D.  xyzdS=4 xyzdS
S S1 S S1 S S1 S S1
·第240页，共267页·(4)设D= x,y  ∣x-1  2 +y-1  2  ≤2   x+y ,L为D的边界曲线,取顺时针方向,I = xdx+ 1
L

2
dy, 8
x-y
I = xdx+
2
L

2
x+y
dy,I =
8 3
L

2
 dx+ydy,则( ).
8
A. I >I >I B. I >I >I C. I >I >I D. I >I >I
1 2 3 3 2 1 2 3 1 2 1 3
二、填空题
(1)设S为平面x+y+z=4被圆柱面x2+y2=1截出的有限部分,则I= zdS=_____.
S
(2)设L为x2+y2=R2 y≥0 
R R
上由点A- ,
2 2
 到点BR,0 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
的一段弧,则 yds=_____,
L
 ydx=_____.
L
·第241页，共267页·(3)设L为球面x2+y2+z2=R2与平面x+y+z=0的交线,则I= z+x2
L
  ds=_____.
9
(4)设曲线L为x2+y2+z2= 与x+z=1的交线,则I= x2+y2+z2
2
L
  ds=_____.
(5)设曲面S:x+y+z=1,则I= x+y+z
S

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
 dS=_____.
·第242页，共267页·(6)设L为点(1,-1,2)到点(2,1,3)的直线段,则I= x2+y2+z2
L
  ds=_____.
(7)设曲线L为上半圆周y= 1-x2,则 x-y
L
  2 e x2+y2 ds=_____.
三、解答题
(1)设L为由r=aa>0 
π
,θ=0和θ= 所围凸平面区域的边界,r,θ
4

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
为极坐标,计算I=
 e
x2+y2
ds
L
·第243页，共267页·1
(2)设L为x-
2

2 1
+y2= y≥0
4
 上从点O0,0  到点A1,0  的一段弧,计算
I= 3+2- 2
L
  y+exsiny   dx+ 2x+excosy  dy.
xdy-ydx
(3)计算积分I= ,其中
L
x2+y2
(I)L为x+2  2 +y-2 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
2 =1,取逆时针方向；
(II)L为x2+y2=1,取逆时针方向;
x2 y2
(III)L为 + =1,取逆时针方向.
a2 b2
·第244页，共267页·(4)设L:x2+y2=R2 R>1 
xdy-ydx
,取逆时针方向,计算I= .
L
4x2+9y2
(5)设曲线L:x2+y2=R2 R>0  ,取逆时针方向,问R为何值时,积分IR  = y3dx+(3x- x3
L
 dy取
得最大值,并求最大值.
(6)设平面力场为F=2xy3-y2cosx

i+1-2ysinx+3x2y2

j,求质心在F作用下,沿L:2x=πy2从点
O0,0 
π
到点A ,1
2

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
所做的功W.
·第245页，共267页·xdy-ydx
(7)计算I= ,其中L是从点A1,1
L
x2+y2
 沿直线到点B-1,0  ,再沿曲线y=x2-1到点
C1,0  .
(8)设Px,y 
x x2+y2
=

k
,Qx,y
y

x2  x2+y2
=-

k
,D= x,y
y2
  ∣y>0  .
(I)若积分I= Pdx+Qdy在D内与路径无关,求k的值;
L
(II)在D内求函数ux,y 
2,2
,使得du=Pdx+Qdy,并计算I=

1,1 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
 Pdx+Qdy.
·第246页，共267页·(9)设曲线L为z=4-x2-y2与z=3的交线,从z轴正向看是逆时针方向,计算
I= x2y3dx+zdy+ydz.
L
(10)设曲线L为锥面z= x2+y2与圆柱面x2+y2=2x的交线,从z轴正向往负向看去,L为逆时针
方向,计算I= y2+z2
L
  dx+z2-x2  dy+x2+y2 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
dz.
·第247页，共267页·(11)设曲面S为上半圆锥z= x2+y2被圆柱面x2+y2=2axa>0  所截出的有限部分,计算I=
x2y+yz2+z2x
S
  dS.
(12)设S为z=x2+y2介于z=0与z=1之间部分的下侧,计算I= x2dydz+zdxdy.
S
(13)设S为曲面4-y=x2+z2上y≥0的部分,取外侧,计算I= yzdydz+x2+z2
S

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
ydzdx+xydxdy.
·第248页，共267页·(14)设曲面为z= x2+y2介于z=1与z=2之间的部分,取上侧,计算I= xz2dydz+y2dzdx+
S
zxdxdy.
xdydz+z2dxdy
(15)设S是x2+y2=1,z=-1,z=1所围成的圆柱体的全表面,计算I=
S
外
x2+y2+z2
S 表示外侧
外

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
.
·第249页，共267页·dV
(16)一个体积为V,表面积为S(不含底面)的雪堆,融化速度为 =-aS,其中a>0为常数,设在融
dt
x2+y2
化期间雪堆的形状保持为z=h- z>0 h  ,其中h=ht  ,问一个高度为h h >0 0 0  的雪堆全部
融化需要多长时间?
综合题
一、选择题
(1)设曲线L为x2+y2=1,取逆时针方向,fx,y  >0,fx,-y  =fx,y  .L ,L ,L 如图所示,记I = 1 2 3 1
 fx,y
L1
 dx,I 2 = fx,y
L2
 ds,I 3 = fx,y
L3

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
dx,则( ).
A. I >I >I B. I >I >I
1 2 3 2 3 1
C. I >I >I D. I >I >I
3 2 1 2 1 3
·第250页，共267页·ax dy-by dx
(2)设L为闭曲线x+y=1,取逆时针方向,则I= =( ).
L x+y
A. 8a+b  B. 2a+b  C. 8a-b  D. 2a-b 
(3)设L为平面光滑简单闭曲线,取逆时针方向,L所围区域的面积为S,则( ).
1
A. S= ydy-xdx B. S=  xdy-ydx
2
L L
1
C. S= xdy-ydx D. S=  ydy-xdx
2
L L
(4)设∑为曲面z= x2+y2的下侧,P=Px,y,z  ,Q=Qx,y,z  均为连续函数,则 Pdydz-Qdzdx
∑
=( ).
x y
A. - P+ Q
z z
∑

x y
 dxdy B. - P- Q
z z
∑
  dxdy
x y
C.  P- Q
z z
∑

x y
 dxdy D.  P+ Q
z z
∑

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
 dxdy
·第251页，共267页·二、填空题
ex2 -x2y xy2-e y2
(1)设L:x2+y2=R2,取顺时针方向,则I= dx+ dy=_____.
L
x2+y2 x2+y2
(2)设积分I= Fx,y
L
 ydx+xdy  与路径无关,且Fx,y  =0确定的隐函数的图形过点(1,2)且与坐
标轴无交点,其中Fx,y  可微,则Fx,y 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
=0确定的隐函数为_____.
(3)设曲面S:x2+y2+z2=2x,其密度为ρ=x2+y2+z2,则曲面S的质量m=_____.
·第252页，共267页·(4)设光滑有向曲面S的边界曲线为光滑有向闭曲线L,方向符合右手法则,则I= gradsin(x+y+
L
z)ds=_____.
(5)向量场Ax,y,z  =x+y+z  i+xyj+zk在点P1,1,1 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
处的旋度rotA=_____,divA=_____.
(6)设γ=xi+yj+zk,n为球面S:x2+y2+z2=1的外单位法向量,则 γ⋅ndS=_____.
S
·第253页，共267页·三、解答题
(1)设fx  有二阶连续导数,f0  =0,f 0  =1,曲线积分I= xe2x-6fx
L
    sinydx-
5fx  -f x    cosydy与路径无关,求fx  的表达式.
(2)设D:x2+y2≤1,x≥0,y≥0,L为D的正向边界,证明: xe y2 dy-ye-x2 dx≥ π .
2
L
(3)设fx,y 
x2 x2
在 +y2≤1上有二阶偏导数,L为 +y2=1,取顺时针方向,计算
4 4
I= -3y+f x ′ x,y
L
    dx+f y ′ x,y 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
dy.
·第254页，共267页·(4)设L为y=πcosx从Aπ,-π  到B-π,-π 
x+y
的曲线,计算I=
L
 dx-x-y  dy
 .
x2+y2
-ydx+xdy
(5)设平面曲线L为lnx+lny=1,取逆时针方向,计算I= .
L lnx+lny
(6)设fx  有连续导数,L为从点A2,2π  沿x-1  2 +y-π  2 =1+π2的上半圆周到点O(0,0)的一
段弧,计算I= f x
L
 sinydx+ fx   cosy-πx 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
dy.
·第255页，共267页·(7)设fy  有连续导数,f0 

=0,曲线OA的极坐标方程为r=a1-cosθ  ,a>0,0≤θ≤π,O(0,0)
与A分别对应于θ=0与θ=π,计算I= fy

OA
  ex-πy   dx+ f y   ex-π  dy.
(8)设fx  在-∞,+∞ 
2
内有连续导数,L为从点A3,
3
 到点B1,2  的直线段,计算
1+y2fxy
I=
L
 x
 dx+ y2fxy
y y2
  -1 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
dy.
·第256页，共267页·(9)设fx  ,gx  在0,+∞  内有连续导数,且Vx,y  =yfxy  dx+xgxy  dy.
(I)若存在函数ux,y  ,使得du=V,求fxy  -gxy  ;
(II)若fx  =φ x  ,求函数ux,y  ,使du=V.
(10)设曲线L为微分方程y=fx,y  fx,y   ≠0  确定的一条简单闭曲线,且L所围平面区域D的面
积为A,计算I= xfx,y
L

y
dx-
fx,y 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
dy.(L为D的正向边界)
·第257页，共267页·(11)设在D= x,y   ∣y>0  内,fx,y  有一阶连续偏导数,fx,y  ≠0,且对任意t>0,有ftx,ty  =
t2fx,y 
y
,证明:对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有
L fx,y 
x
 dx-
fx,y 
dy=0.
(12)设曲面∑:z=x2+y2 z≤1 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
与平面z=1所围均匀立体为V,M为∑上一动点,当曲面∑在点M处
的切平面与V的质心距离最近时,点M的轨迹方程记为L.
(I)求V的质心坐标;
(II)求曲线L,并计算I= xdy-ydx+zdz,从Oz轴的正向往负向看去,L取逆时针方向.
L
·第258页，共267页·(13)设曲面S为由圆柱面x2+y2=R2、平面z=0和z-x=RR>0  所围立体的表面,计算
I= zdS
S
(14)设球面为x2+y2+z2=R2,柱面为x2+y2=RxR>0 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
,球面在柱体内的面积为S ,柱面在球体 1
S
内的面积为S ,求 1 .
2 S
2
·第259页，共267页·(15)设薄片型物体S为圆锥面z= x2+y2被柱面z2=2x割下的有限部分,其上任一点的密度为
μx,y,z 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
=9 x2+y2+z2,记圆锥面与柱面的交线为C.求:
(I)C在xOy面上的投影曲线方程;
(II)S的质量.
(16)在半径为a的球表面上取一点,以该点为球心作半径为R的球,问R为何值时,该球位于定球内
的表面积最大?
·第260页，共267页·(17)设立体Ω由曲面∑:x2+y2=-2xz-1  0≤z≤1  与平面z=0围成.Ω的密度ρ=1.

(I)求Ω的形心坐标x;
2x2
(II)计算I=
∑ 4x4+x2+y2

 dS.
2
(18)设fu  有连续导数,S为z= x2+y2与两个半球面z= 1-x2-y2,z= 4-x2-y2所围立体的
1 x+4 全表面的外侧,计算I= f
y+3 y+3
S
   +3xy2

 1 x+4  dydz+ f
x+4 y+3
   +3x2y


公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
dzdx+z3dxdy.
·第261页，共267页·(19)已知点A0,0,0  与B0,1,1 

,∑是由直线段AB绕z轴旋转一周所得的旋转曲面(介于z=1与z
=2之间部分的内侧),fx  可导.
(I)求曲面∑的方程;
x (II)计算I- xf
y ∑
   +x

 x  dydz+ yf
y
   +y

 x dzdx+ zf
y
   +4z

 dxdy.
x=0,

(20)设∑是直线

绕直线L:x=y=z旋转一周所得的曲面,L
1
为∑与平面x+y+z=1的交线,
y=0
L 1 的正向与n=1,1,1 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
满足右手法则.
(I)求曲面∑的方程;
(II)计算I= zdx+xdy+ydz.
L1
·第262页，共267页·(21)设曲面S:x2+y2+z2=R2,z≥0,n=cosα,cosβ,cosγ  是S向外的单位法向量,计算
I= zn-yn
S
 cosα+xn-zn  cosβ+yn-xn   cosγ   dSn≥1  .
(22)设曲面S:z= R2-x2-y2 R>0 
Rxdydz+R+z
,取下侧,计算I=
S

2
dxdy
 .
x2+y2+z2
xdydz+ydzdx+zdxdy
(23)设S为椭球面x2+2y2+3z2=1外侧,计算I=
S x2+y2+z2 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
 .
3 2
·第263页，共267页·(24)设Ω= x,y,z   ∣x2+y2+z2≤2ty,t>0   ,Ω的边界曲面记为∑,取外侧,fu  在Ω上可导,且f0 
=1,It  = xfz
∑
 dydz+zfx  dzdx+xfy 
It
dxdy.计算lim
t→0+

.
t3
(25)在球面z= 1-x2-y2,x≥0,y≥0上,取以M 11,0,0  ,M 20,1,0 
2 2
,M  ,0, 3 2 2 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
为顶点的球
xdydz+zdxdy
面三角形∑,∑的法向量的方向余弦cosγ>0,计算I= .
∑
x2+y2+z2
·第264页，共267页·x2+y2
(26)设曲面S为球面x2+y2+z2=4z与锥面z= 所围,且位于锥面上方部分的立体表面,
3
流速场为Ax,y,z 
1 1 1
= x3+x2y+x2z, y3+y2z, z3
3 3 3
 ,求Ax,y,z  从曲面S内部流向外部的流量Φ.
(27)设∑:x2+y2+z2=2y,计算I= x2+2y2+3z2
∑

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
 dS.
·第265页，共267页·(28)设fr  r>0  有二阶连续导数,u=f x2+y2+z2  满足divgradu  = x2+y2+z2,求函数u的
表达式.
拓展题
解答题
(1)设fx,y  在D= x,y   ∣x2+y2≤1   上有二阶连续偏导数,且
∂2f
+
∂2f
=e -x2+y2 ∂x2 ∂y2  ,计算I=
∂f ∂f
x +y
∂x ∂y
D

公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
 dxdy.
·第266页，共267页·(2)设fx,y  在x2+y2≤1上有一阶连续偏导数,且在边界上取值为零,证明:
-1 xf x ′ x,y
lim
t→0+ 2π D
 +yf y ′ x,y 
 dxdy=f0,0
x2+y2
 ,其中D:t2≤x2+y2≤1,t>0.
(3)设∑为光滑闭曲面,取外侧I= x3-x
∑
  dydz+y3-y  dzdx+z3-z 
公众号：做题本集结地 880·数一高数做题本
dxdy.
(I)确定曲面∑使得I最小,并求I的最小值；
(II)若满足(I)的曲面∑被锥面z= x2+y2所截且位于锥面上方的部分为​,求曲面​的面积.
1 1
·第267页，共267页·                        
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