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名校联考联合体 2024 年秋季高一第一次联考
数学
时量：120分钟 满分：150分
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.）
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用交集的定义直接求解即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，故A正确.
故选：A
2. 已知命题 ， ，命题 ， ，则（ ）
A. 是真命题， 是假命题 B. 是假命题， 是真命题
C. 和 都是真命题 D. 和 都是假命题
【答案】B
【解析】
【分析】举出反例得到 为假命题，举出实例得到 为真命题.
【详解】对于命题 ：当 时， ，故 为假命题；
对于命题 ：当 时， ，故 为真命题.
故选：B.3. 使 成立的一个充分不必要条件的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先解不等式 得到 ，根据题意找到 的一个真子集即可.
【详解】由 得 ，
对于A，因为 是 的真子集，所以 是 的必要不充分条件，故A错
误；
对于B，因为 是 的真子集，所以 是 的充分不必要条件，
故B正确；
对于C，因为 是 的真子集，所以 是 的必要不充分条件，
故C错误；
对于D，因为 与 不是包含关系，所以 是 的既不充分也不必要条
件，故D错误.
故选：B.
4. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】对A，B，C举反例说明，对D，作差法求解判断.
【详解】若 ，取 ， ，则 ，故A错误；若 ，当 时，则 ，故B错误；
若 ，取 ， ，则 ，故C错误；
若 ，则 ，故D正确.
故选：D.
5. 已知集合 ，则 （ ）
.
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由并集的概念即可直接得答案.
【详解】因为 ，
所以 .
故选：C.
6. 已知集合 满足 ，且 ，则满足条件的集合 有（ ）
A. 2个 B. 4个 C. 8个 D. 16个
【答案】B
【解析】
【分析】根据子集和真子集的概念求解即可.
【详解】由题意可知，集合 中一定包含元素1，2，一定不包含元素3，
且 是 的真子集，所以 或 或 或 ，
即满足条件的集合 有4个.
故选：B.7. 已知正实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A. 9 B. 8 C. 3 D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式进行求解即可
【详解】由条件知 ，
，
当且仅当 时取等号.
故选：C
8. 设集合 ， ，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将两集合结构化为一致即可判断.
【详解】
，
代表所有奇数， 代表所有整数
所以
故选:B二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知不等式 的解集为 或 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 的解集为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得 和3为方程 的根，且 ，进而结合韦达定理得到
，进而判断ABC；将不等式化简可得，求解即可判断D.
【详解】由题意得， 和3为方程 的根，且 ，
b
{ −1+3=−
a
则 ，即 ，故A错误；
c
−1×3=
a
，故B正确；
，故C正确；
由 ，即 ，
即 ，解得 ，故D错误.
故选：BC.
10. 已知 ， ，且 ，则下列说法正确的是（ ）A. B.
C. 的最小值为 D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据基本不等式及其变形可判断A；利用常值代换可判断B；利用消元法可判断C；根据重要不
等式 得到 ，代入即可判断D.
【详解】对于A， ，即 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，故A错误；
对于B，因为 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，故B正确；
对于C，因为 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，则 ，
所以 ，
当 时， 取最小值 ，故C错误；
对于D，由 得 ，即 ，所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，故D正确.
故选：BD.
11. 对任意 ， ，记 ，并称 为集合 ， 的对称差.例如：
若 ， ，则 .下列命题为真命题的是（ ）
A. 若 ， ，则 { 或 }
B. 若 ，且 ，则
C. 若 ， ，则
D. 若 ， ， ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，求出 ，根据定义得到A正确；B选项，举出反例；CD选项，可利用韦恩
图进行说明.
【详解】A选项， ， ，故 { 或 }，A正确；
B选项， ，不妨设 ，
则 ，故 ，
但不满足 ，B错误；
C选项，当 且A与B不是包含关系时，如图1，
①为集合 且 ，②为集合 且 ，③为集合 ，④为集合 ，
表示集合①④的并集， 表示集合①③④的并集，
为集合①，故 为集合③④的并集，
为集合①②的并集，故 为集合③④的并集，故 ；
当 时，如图2，①为集合 ， 表示集合①和集合 的并集，
表示集合①和集合 的并集， 为集合 ，故 为集合①，
为集合 的并集，故 为集合①，故 ；
如图3，当 时， 表示集合①， 为集合 ，
故 为集合①和集合 的并集，
为集合 的并集去掉 的交集，即集合②部分，
故 为集合①和集合 的并集，故 ；如图4，当 时，②为 且 ，①为 ，
表示集合①和②的并集， ，
表示集合②，故 为集合①和集合 的并集，
为集合 的并集去掉 的交集，即集合②部分，
故 为集合①和集合 的并集，故 .
综上，C正确；
D选项，画韦恩图，如下：
情况较多，我们就第一个图进行说明，
①为 且 且 ，
②为 且 且 ，
③为 且 ，④为 ，
⑤为 且 ，⑥为 ，
⑦为 且 ，⑧为 且 且 ，
表示集合①⑤②⑦的并集，故 表示集合①②⑥⑧的并集，表示集合②③⑤⑧的并集， 表示集合①②⑥⑧的并集，
故 ，
当 满足其他关系时，经检验，也满足 ，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：当集合之间的关系较为复杂或解决容斥原理的题型时，常常使用韦恩图来进行求解，
其直观易懂，可大大减少思维量.
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知集合 ，且 ，则 的值为_________.
【答案】0
【解析】
【分析】根据集合相等，列出关于m的方程，结合集合元素的互异性，即可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，解得 或 ，
当 时， ，
而集合的元素具有互异性，故 ，所以 ，
故答案为：0
13. 若命题：“ ，不等式 成立”为假命题，则实数 的取值范围是______.
【答案】{ 或 }
【解析】
【分析】由题可知命题的否定为真命题，根据一元二次不等式在R上恒成立求解即可.
【详解】由题意得： ，不等式 成立为真命题，
所以 ，即 ，解得 或 .所以实数 的取值范围是{ 或 }.
故答案为：{ 或 }.
14. 设集合 ，若 ，则实数 的取值范围为
__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出集合 ，结合 可得 ，进而分 和 两种情况讨论求解即可.
【详解】 ，
由 ，得 ，
当 时， ，符号题意；
当 时， ，
则 或 ，解得 或 .
综上所述，则实数 的取值范围为 .
故答案为： .
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15. 已知集合 ， ，其中实数 .
（1）若 ，求集合 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.【答案】（1）
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据集合的交集和补集运算求解；
（2）根据集合的交集的定义及空集的概念求解.
【小问1详解】
当 时，集合 ， { 或 }，
又集合 ，所以 .
【小问2详解】
因为 ，所以 ，则集合 非空，
因为 ，所以 或 ，
解得 或 ，又 ，所以 ，
的
故实数 取值范围是 .
16. 已知集合 .
（1）若“命题 ”是真命题，求实数 的取值范围；
（2）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可知 ，进而求解；
（2）由题意可得 是 的真子集，分类讨论求解即可.【小问1详解】
，
因为命题 是真命题，则 ，
所以 或 ，
解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
【小问2详解】
（2）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则 是 的真子集，
当 时， ，即 ；
当 时，有 或 ，
解得 .
综上所述， 的取值范围是 .
17. 如图，长沙湘江新区有一块半径为10米的圆形景观，圆心为 ，有两条与圆形景观相切且互相垂直的
道路.最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，
便于市民快捷地往返两条道路.规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆 相切的小道 .
设点 到道路2的距离为 米，点 到道路1的距离为 米.（1）当 ，求 的值；
（2）求 面积的最大值，并求此时 ， 的值.
【答案】（1）
（2）最大值为 平方米， 米.
【解析】
【分析】（1）根据题意分别设出切点坐标，利用切线长定理和勾股定理得到关系式 ，
将 代入即可求出 的值；
（2）利用（1）中得到的关系式 结合基本不等式求出 的范围即可求出面积的最大
值以及此时 ， 的值.
【小问1详解】
设圆 与道路1、道路2、直线 的切点分为 ， ， ，连接 ， ， ，
由切线长定理可知 ， ，则 ，由题知 且 ， ， ，
即 ，化简得 .①
把 代入①，解得 ；
【小问2详解】
由题有 ， ，
因为 ，所以 ，
令 ，则 ，解得 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，即 ，
解得 ，此时 ， ，
则 ，
所以 的面积的最大值为 平方米，此时 米.
18. 已知函数 ， .
（1）若 ，当 时，求 的最小值；
（2）求关于 的不等式 的解集；
（3）当 时，已知 ， ，若 ，求 的取值范围.
【答案】（1）7 （2）答案见解析
（3） .【解析】
【分析】（1）变形后，利用基本不等式求出最小值；
（2）因式分解，得到 ，分 ， 和 三种情况，得到不等式 的解集；
（3） 化为 ，根据 ，转化为函数不等式恒成立问题，结合二次函
数的开口方向，得到不等式，求出答案.
【小问1详解】
当 时，
，
当且仅当 ，即 时取等号，
故当 时， 的最小值为7.
【小问2详解】
由题知 ，
当 ，即 时，解原不等式得 或 ，
当 ，即 时，解原不等式得 或 ，
当 ，即 时，解原不等式得 .
综上，
当 时，原不等式解集为 或 ；当 时，原不等式解集为 或 ；
当 时，原不等式解集为 .
【小问3详解】
不等式 可化为 ，
因为 ，所以不等式 在 时恒成立，
又 ，结合二次函数图象知， ，解得 .
故 的取值范围是 .
19. 已知二次函数 ，对 ，都有 ，且当 时， .
（1）求 ， 的值；
（2）存在 ，对任意 ，都有 ，求正实数 的最大值；
（3）若 ，是否存在正整数 ，使得 为正整数？
【答案】（1）
（2）8 （3）不存在，证明过程见解析
【解析】
【分析】（1）根据根的判别式和 时， ，得到方程组，求出 ， 的值；
（2）结合二次函数的开口方向，只需 在 ， 处都成立即可，从而得到不等式，
求出 ， ，求出 最大值为8，从而得到答案；（3）反证法，假设 为正整数，得到 也为完全平方数，但 ，
即 介于两个相邻的完全平方数之间，得到矛盾，假设不成立，故不存在正整数 ，使得
为正整数？
【小问1详解】
由题知 且 ，解得
【小问2详解】
由（1）知 ， 在 上恒成立，
当 确定时， 表示开口向上的二次函数，
当 时，该函数 的最大值必在端点处取到，
则只需 在 ， 处都成立即可.
当 时，有 ，解得 ；
当 时，有 ，解得 ；
其中 在 上单调递减，
故当 时， 取得最大值，最大值为8，
所以 ，所以当 ， 时满足上述不等式，
则 的最大值为8.
【小问3详解】不存在，证明过程如下：
假设存在，设 为正整数，
因为 ，所以 为正整数，
则 ，即 .
而 ， 均为完全平方数， 为正整数，
所以 也为完全平方数，
又 ，即 介于两个相邻的完全平方数之间，
不为完全平方数，矛盾，
所以当 时，不存在正整数 ，使得 为正整数.
