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第一章 数与式
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【原创题】《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：
1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（ ）
A． B． C． D．
2．不一定相等的一组是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【新考法】 数学与实际生活——生活中的数学原理
3．照相机成像应用了一个重要原理，用公式 表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示
物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ）
A． B． C． D．
4．与 结果相同的是（ ）．
A． B．
C． D．
5．若 取1.442，计算 的结果是（ ）
A．-100 B．-144．2
C．144.2 D．-0.01442
6．【原创题】要比较 与 中的大小（x是正数），知道 的正负就可以判断，则下列
说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知 ，则 （ ）
A．y B． C． D．
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8．已知： ， ， ，则a，b，c大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【新考法】 数学与规律探究——乘方类规律
9．我国宋代数学家杨辉发现了 （ ，1，2，3，…）展开式系数的规律：
以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律， 展开式的系数和是（ ）
A．64 B．128 C．256 D．612
10．对于多项式 ，在任意一个字母前加负号，称为“加负运算”，例如：对b和d进行
“加负运算”，得到： ．规定甲同学每次对三个字母进行“加负运
算”，乙同学每次对两个字母进行“加负运算”，下列说法正确的个数为（ ）
①乙同学连续两次“加负运算”后可以得到 ；②对于乙同学“加负运算”后得到的任何代数
式，甲同学都可以通过“加负运算”后得到与之相反的代数式；③乙同学通过“加负运算”后可以得到16
个不同的代数式
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1
11. 【原创题】 的倒数是_________.|-2024|的相反数是_________. - [+(-2024)]= _________.
2024
12．写出一个无理数x，使得 ，则x可以是 （只要写出一个满足条件的x即可）
【新考法】 数学与实际生活——游戏中的数学
13．小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，
根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24．小明抽到的牌如
图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式 ．
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14．如果单项式 与 的和是单项式，那么 ．
15．现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．
（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为 ；
（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片
块．
【新考法】 信息题
16．当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的
日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相
同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门
用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这
200个方格可以生成 个不同的数据二维码，现有四名网友对 的理解如下：
YYDS（永远的神）： 就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）： 等于 ；
JXND（觉醒年代）： 的个位数字是6；
QGYW（强国有我）：我知道 ，所以我估计 比 大．
其中对 的理解错误的网友是 （填写网名字母代号）．
三．解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23
题9分，24题10分，25题13分）
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【新考法】 数学与实际生活——游戏中的数学
17．如图，佳佳玩一个摸球计算游戏，在一个密闭的容器中放入五个小球，小球分别标有如图所示的数
（x为正整数）；现从容器中摸取小球，规定：若摸取到白色球，就加上球上的数：若摸到灰色球，就减
去球上的数．
(1)若佳佳摸取到如下两个小球，请计算出结果；
(2)佳佳摸出全部的五个球，若计算结果为3，求出x的值．
18．【原创题】根据 这条性质，解答下列问题：
(1)当 ________时， 有最小值，此时最小值为________；
(2)已知 ， 互为相反数，且 ， ，求 的值．
19．发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两
个正整数的平方和．验证：如， 为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．
探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．
20．（1）计算： ．
（2）化简求值： ，其中 ．
21．已知数轴上有两个点A：－3，B：1．
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(1)求线段AB的长；
(2)若 ，且m<0；在点B右侧且到点B距离为5的点表示的数为n．
①求m与n；
②计算2m+n+mn；
22．仔细阅读下列解题过程：
若 ，求 的值．
解：
∴
∴
∴
∴
根据以上解题过程，试探究下列问题：
(1)已知 ，求 的值；
(2)已知 ，求 的值；
(3)若 ，求 的值．
【新考法】与实数有关的新定义问题
23．对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称
N是m的“和倍数”．
例如：∵ ，∴247是13的“和倍数”．
又如：∵ ，∴214不是“和倍数”．
(1)判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
(2)三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且 ．在a，b，c中
任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为 ，最小的两位数记为 ，若 为整数，
求出满足条件的所有数A．
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24．在第一阶段质量监测的选择题中，我们发现在三边长分别为 ， ， （ ）的三角形中，有
．
(1)推导该结论的一种思路可以用如下的框图表示，请填写其中的空格．
(2)推导该结论的其他思路还有：
①利用 ， ， ，再配方，……
②利用 ，使用平方差公式，……．
③利用 ，……
上述思路都不完整，请写出一种完整的推导思路．
【新考法】 利用数形结合解决计算问题
25．【阅读理解】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变
得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论．初中数学里的一些代数公式，很
多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．例如：求1+2+3+4+…+ 的值（其中 是正整数）．如果采
用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求
1+2+3+4+…+ 的值，方案如下：如图1，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，
3，…， 个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1+2+3+4+…+ 的值．为求
式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的
小圆圈共有 行，每行有 个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为 个，因此，组成
一个三角形小圆圈的个数为 ，即 ．
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【问题提出】求 的值（其中 是正整数）．
【问题解决】为解决上述问题，我们借鉴已有的经验，采用由特殊到一般，归纳的研究方法，利用数形结
合法，借助图形进行推理获得结论．
探究1：如图2， 可以看成1个 的正方形的面积，即
探究2：如图3， 表示1个 的正方形，其面积为： ； 表示1个 的正方形，其面积为：
； 分别表示1个 的长方形，其面积的和为： ； 的面积和为
，而 恰好可以拼成一个 的大正方形．由此可得：
．
(1)探究3：请你类比上述探究过程，借助图形探究： ______=______．（要求自己构造图形并
写出推证过程）
(2)【结论归纳】将上述探究过程发现的规律，推广到一般情况中去，通过归纳，我们便可以得到：
______=______（要求直接写出结论，不必写出推证过程）
(3)【结论应用】图4是由若干个棱长为1的小正方体搭成的大正方体，图中大小正方体一共有多少个？为
了准确数出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即数出棱长分别是1，2，3，4，5，6的正方体的个
数，再求总和．
例如：棱长是1的正方体有： 个，
棱长是2的正方体有： 个，
……
棱长是6的正方体有： 个；
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然后利用上面归纳的结论，通过计算，可得图4中大小正方体的个数为______．
(4)【逆向应用】如果由若干个棱长为1的小正方体搭成的大正方体中，大小正方体一共有36100个，那么
棱长为1的小正方体的个数为_________．
(5)【拓展探究】
观察下列各式：
若 （ 为正整数）按上面规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则 的值______．
8
