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第四章 三角形
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下面几何体中，是圆锥的为（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形是正方体展开图的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，∠AOC=∠BOD=90°，∠AOD=126°，则∠BOC的大小为（ ）
A．36° B．44° C．54° D．63°
4．如图，在△ABC中，D、E分别在AB边和AC边上，DE//BC，M为BC边上一点（不与B、C重
合），连结AM交DE于点N，则（ ）
AD AN BD MN DN NE DN NE
A． = B． = C． = D． =
AN AE MN CE BM MC MC BM
【新考法】 数学与实际生活——利用数学知识解决实际问题
5．如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB与CD平行，入射光线l与出射光线m平
行．若入射光线l与镜面AB的夹角∠1=40°10'，则∠6的度数为（ ）
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A．100°40' B．99°80' C．99°40' D．99°20'
【新考法】 数学与实际生活——利用数学知识解决实际问题
6．如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大面小，需将∠O转化为与它相等
的角，则图中与∠O相等的角是（ ）
A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO
7．【易错题】若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm
【几何模型】 三角形折叠模型
8．如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在
边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（ ）
13 5 7 6
A． B． C． D．
6 6 6 5
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【几何模型】 一线三垂直模型
9．如图，点A(0,3)、B(1,0)，将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC=90°,BC=2AB，则点D的坐
标是（ ）
A．(7,2) B．(7,5) C．(5,6) D．(6,5)
10．如图①，在矩形ABCD中，H为CD边上的一点，点M从点A出发沿折线AH−HC−CB运动到点B
停止，点N从点A出发沿AB运动到点B停止，它们的运动速度都是1cm/s，若点M、N同时开始运动，设
运动时间为t(s)，△AMN的面积为S(cm2)，已知S与t之间函数图象如图②所示，则下列结论正确的是
（ ）
①当0<t≤6时，△AMN是等边三角形．
②在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有3个．
√3
③当0<t≤6时，S= t2．
4
④当t=9+√3时，△ADH∽△ABM．
⑤当9<t<9+3√3时，S=−3t+9+3√3．
A．①③④ B．①③⑤ C．①②④ D．③④⑤
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图，已知△ABC≌△≝¿，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC=8，CE=5，则CF的长
为 ．
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12．一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边长可以是 ．（只填一个即可）
13．【原创题】若直三棱柱的上下底面为正三角形，侧面展开图是边长为6的正方形，则该直三棱柱的表
面积为 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC<AC．点D，E分别在边AB，BC上，连接DE，将
△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B'．若点B'刚好落在边AC上，∠CB'E=30°，CE=3，则BC的
长为 ．
【新考法】 数学与规律探究——图形类规律
15．在平面直角坐标系中，点A 、A 、A 、A ⋯在x轴的正半轴上，点B 、B 、B ⋯在直线
1 2 3 4 1 2 3
√3
y= x(x≥0)上，若点A 的坐标为(2,0)，且△A B A 、△A B A 、△A B A ⋯均为等边三角形．
3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4
则点B 的纵坐标为 ．
2023
16．【创新题】如图，在△ABC中，AB=AC,∠A<90°，点D,E,F分别在边AB，BC,CA上，连接
BC CF
DE,EF,FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设 =k，若AD=DF，则 = （结果用
AB FA
含k的代数式表示）．
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三．解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23
题9分，24题10分，25题13分）
17．如图，AB∥CD，直线MN与AB,CD分别交于点E，F，CD上有一点G且¿=GF，∠1=122°．求
∠2的度数．
【几何模型】 射影定理（相似）
18．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高．
(1)证明：△ABD∽△CBA；
(2)若AB=6，BC=10，求BD的长．
19．△ABC在边长为l的正方形网格中如图所示．
①以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△AB C，使其位似比为1：2．且△AB C位于点C的异侧，
1 1 1 1
并表示出A 的坐标．
1
②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△AB C．
2 2
③在②的条件下求出点B经过的路径长．
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20．如图，在梯形ABCD中AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC=∠ADE，AC=AD
(1)求证：DE=AF
(2)若∠ABC=∠CDE，求证：AF2=BF⋅CE
21．综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：
(1)直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A B C 的大小关系；
1 1 1
(2)证明（1）中你发现的结论．
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9 m
22．如图，一次函数y=kx+ （k为常数，k≠0）的图象与反比例函数y= (m为常数，m≠0)的图象在
4 x
第一象限交于点A(1,n)，与x轴交于点B(−3,0)．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式．
(2)点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
23．【原创题】如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，满
足AD=BE=CF．
(1)求证：△ADF≌△BED；
(2)设AD的长为x，△≝¿的面积为y，求y关于x的函数解析式；
(3)结合（2）所得的函数，描述△≝¿的面积随AD的增大如何变化．
【几何模型】 手拉手模型
24．如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转
60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
(2)延长ED交直线BC于点F．
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①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
25．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点C(0，﹣3)．
（1）求抛物线的表达式；
PM PM
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当 最大时，求点P的坐标及 的最
AM AM
大值；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，
请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
8
