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2021 年普通高等学校招生全国统一考试（新高考 I 卷）
数 学
一、单选题
1.设集合 ， ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
，选B.
2.已知 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
，选C.
3.已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A.B.
C.
D.
答案：
B
解析：
设母线长为 ，则 .
4.下列区间中，函数 单调递增的区间是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
单调递增区间为：
，令 ，故
选A.5.已知 ， 是椭圆 的两个焦点，点 在 上，则 的最
大值为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
由椭圆定义， ，则 ，故选C.
6.若 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：，故选C.
7.若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
设切点为 ，
∵ ，∴ ，
则切线斜率 ，
切线方程为 ，
又∵ 在切线上以及 上，
则有 ，
整理得 ，
令 ，
则 ，
∴ 在 单调递减，在 单调递增，
则 在 时取到极小值即最小值 ，
又由已知过 可作 的两条切线，等价于 有两个不同的零点，
则 ，得 ，
又当 时， ，则 ，
∴ ，
当 时，有 ，
即 有两个不同的零点.
∴ .
8.有 个相同的球，分别标有数字 ，从中有放回的随机取两次，每次取 个球.
甲表示事件“第一次取出的球的数字是 ”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 ”，
丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 ”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是
”，则（ ）
A.甲与丙相互独立
B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立
D.丙与丁相互独立
答案：
B
解析：
由题意知，两点数和为 的所有可能为： ， ， ， ， ，
两点数和为 的所有可能为： ， ， ， ， ， ，
∴ ， ， ， ，
， ， ， ，
故 ，B正确，故选B.二、多选题
9.有一组样本数据 ，由这组数据得到新样本数据 ，其中
， 为非零常数，则（ ）
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样本数据的样本极差相同
答案：
C、D
解析：
对于A选项： ， ，∴
，∴A错误；
对于B选项：可假设数据样本 中位数为 ，由 可知数据样本
的中位数为 ，∴B错误；
对于C选项：
，∴C正确；
对于D选项：∵ ，∴两组样本数据极差相同，∴D正确。
10.已知 为坐标原点，点 ， ，， ，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A、C
解析：
， ，∴A正确；
，
， ,∴B错；
， ，∴C正确；
， ，
∴D错.
11.已知点 在圆 上，点 ， ，则（ ）
A.点 到直线 的距离小于
B.点 到直线 的距离大于
C.当 最小时，
D.当 最大时，
答案：
A、C、D
解析：由已知易得直线 的方程为 .
圆心 到直线 的距离 ，
∴直线 与圆相离，
则 到 的距离的取值范围为 ，
又 ，
则A正确，B错误，
由图易得，
当 在点 处时， 与圆 相切，
此时 最小，
， ，
∴ ，
同理当 在点 处， 最大，
此时 .
故C、D正确.
12.在正三棱柱 中， ，点 满足 ，其中， ，则（ ）
A.当 时， 的周长为定值
B.当 时，三棱锥 的体积为定值
C.当 时，有且仅有一个点 ，使得
D.当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面
答案：
B、D
解析：
对于A，当 时， ，∴ ，此时 在线段 上运动，此
时 的周长不为定值，A错.
对于B，当 时， ，此时 在线段 上运动,
平面 ， 点 到平面 的距离即为点 到平面 的距离，
为定值，B正确.对于C，当 时， ，分别取 ， 的中点 ，此时 在线
段 上运动，要使 ，只需 在平面 上的射影 与 垂直，此时
在 或 的位置，有两个 ，C错误.
对于D， 时， ，分别取 的中点 ，则 在线段
上运动，∵正三棱柱 中， ， ，要使得
平面 ，只需 在平面 上的射影与 垂直，有且只有一个点 即
为 点时，满足题意，D正确.三、填空题
13.已知函数 是偶函数，则 .
答案：
解析：
因为 为偶函数，则 ，即 ，整理则有
，故 .
14.已知 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ， 为 上一点， 与
轴垂直， 为 轴上一点，且 .若 ，则 的准线方程为 .
答案：
解析：
因为 垂直 轴，故点 坐标为 ，又因为 ，则 ，即
，故 ，则准线方程为 .
15.函数 的最小值为 .
答案：解析：
当 时， ， ， 时， ，
时， ， 在 上单调递减，在 上单调递增，当
时， ，函数单调递减，综上，函数在 上单调递减，在 上
单调递增，所以函数最小值为 .
16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格
为 的长方形纸，对折 次共可以得到 ， 两种规格
的图形，它们的面积之和 ，对折 次共可以得到 ， ，
三种规格的图形，它们的面积之和 ，以此类推.则对折 次共可
以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折 次，那么 .
答案：
解析：
（1）易知有 ， ， ， ， ，
共 种规格.
（2）由题可知对折 次共有 种规格，且面积为 ，故 ，则，记 ，则 ，故
，则 ，故
.
四、解答题
17.已知数列 满足 ， .
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前 项和.
答案：
见解析；
解析：
（1） ， ， ，
，
∴ 是以 为公差的等差数列，∴ .
（2） ，
，∴
.18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 ， 两类问题.每位参加比赛的同学先在
两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若
回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛
结束. 类问题中的每个问题回答正确得 分，否则得 分； 类问题中的每个问题
回答正确得 分，否则得 分.
已知小明能正确回答 类问题的概率为 ， 能正确回答 类问题的概率为 ，
且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答 类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
答案：
见解析；
解析：
（1）若小明先回答 问题，记 为小明累计得分，则 的取值可能为： ， ， ，
因为各题互相独立，由分步完成原理得 ，
， ，列表如下：
则 的数学期望 .
（2）若小明先回答 问题，记 为小明的累计得分，则 的取值可能为 ， ， ，
因为各题互相独立，由独立性原理知 ，
， ，列表如下：
先答 类，则 的数学期望为： ，由（1）知 ，∴小明先选B类问题作答.
19.记 的内角 的对边分别为 .已知 ，点 在边 上，
.
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
答案：
见解析；
解析：
（1）由 ，根据正弦定理可得，∴ ，
又 ，∴ ，∴ .
（2） ， ，又由（1）
， ，
，∴ ，
∴ ， ，∴ 或 ，
或 （舍），∴ .
20.如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， 为 的中点.
（1）证明： ；（2）若 是边长为 的等边三角形，点 在棱 上， ，且二面角
的大小为 ，求三棱锥 的体积.
答案：
见解析
解析：
（1）平面 平面 ，平面 平面 ，∵ ， 为
中点，∴ ， 平面 ，∴ 平面 ， 平面 ，∴
.
（2）方法一：取 中点 ，∵ 为正三角形，∴ ，过 作
与 交于 点，则 ，∴ ， ， 两两垂直，以 为坐标原点，分
别以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系， ， ，
，设 ，则 ， 平面 ，∴平面 的法向量为
， ，∴ ，不妨设 ，则 ， ，则 ，二面角 的大小为 ，∴ ，∴
，
，∴ ，∴
.
方法二：过 作 交 于点 ，再过 作 交 于点 ，显然这样
会有 平面 ，而这个正三角形 加上 ，可知 ，意味着
，同时很自然的也会有 ，而二面角 很显然就是 ，
这个是 ，说明 ，
综合上面的条件，会得到 ，然后 ，再然后 ，故
，同时 ，得到 ，那么就有
.
21.在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，点 满足
.记 的轨迹为 .
（1）求 的方程；
（2）设点 在直线 上，过 的两条直线分别交 于 ， 两点和 ， 两点，且，求直线 的斜率与直线 的斜率之和.
答案：
见解析
解析：
（1） ， ， ， ，
表示双曲线的右支， 的方程为 .
（2）设 ，设直线 的方程为： ， ， ，
，
，
∴，
设 ，同理可得 ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ， .
22.已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
答案：
见解析
解析：
（1） ，令 ，
当 ， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
（2） ，∴ ，
令 ， ，即证 ，∴ ，
令 ， ，令 ，
当 ， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
∵ ，∴ ， ，要证 ，即证 ，即证 ，
令 ， ，
， 单调递增，∴ ，左边
证毕！再证右边：∵ ，要证 ，即证
，
令 ， ，∴ ，
∴ 在 上单调递增，∴ ，∴ ，证毕！
