文档内容
A.
2021 年普通高等学校招生全国统一考试（新高考 I 卷）
B.
数 学
C.
一、单选题
D.
1.设集合 ， ，则 （ ）
答案：
B
A.
解析：
B.
设母线长为 ，则 .
C.
4.下列区间中，函数 单调递增的区间是（ ）
D.
答案： A.
B
解析：
B.
，选B.
C.
2.已知 ，则 （ ）
A.
D.
B.
C.
答案：
D.
A
答案：
解析：
C
解析：
单调递增区间为： ，令 ，
，选C.
故选A.
3.已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）7.若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
5.已知 ， 是椭圆 的两个焦点，点 在 上，则 的最大值为（ ）
A.
A.
B.
B.
C.
D. C.
答案：
D.
C
解析：
答案：
D
由椭圆定义， ，则 ，故选C.
解析：
设切点为 ，
6.若 ，则 （ ）
∵ ，∴ ，
则切线斜率 ，
A.
切线方程为 ，
B.
又∵ 在切线上以及 上，
则有 ，
C.
整理得 ，
令 ，
D.
则 ，
答案：
∴ 在 单调递减，在 单调递增，
C
解析：
则 在 时取到极小值即最小值 ，
，故选C. 又由已知过 可作 的两条切线，
等价于 有两个不同的零点，则 ，得 ， 9.有一组样本数据 ，由这组数据得到新样本数据 ，其中 ，
又当 时， ，则 ， 为非零常数，则（ ）
A.两组样本数据的样本平均数相同
∴ ，
B.两组样本数据的样本中位数相同
当 时，有 ，
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样本数据的样本极差相同
即 有两个不同的零点.
答案：
∴ .
C、D
解析：
8.有 个相同的球，分别标有数字 ，从中有放回的随机取两次，每次取 个球.甲表示事件“第一次
取出的球的数字是 ”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 ”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 对于A选项： ， ，∴ ，∴A错误；
”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 ”，则（ ）
A.甲与丙相互独立 对于B选项：可假设数据样本 中位数为 ，由 可知数据样本 的中位数为
B.甲与丁相互独立
，∴B错误；
C.乙与丙相互独立
D.丙与丁相互独立
对于C选项：
答案：
B
解析：
由题意知，两点数和为 的所有可能为： ， ， ， ， ，
，∴C正确；
两点数和为 的所有可能为： ， ， ， ， ， ，
对于D选项：∵ ，∴两组样本数据极差相同，∴D正确。
∴ ， ， ， ，
10.已知 为坐标原点，点 ， ， ， ，则（
）
， ， ， ，
A.
故 ，B正确，故选B.
B.
二、多选题C.
则 到 的距离的取值范围为 ，
D.
又 ，
答案：
A、C 则A正确，B错误，
由图易得，
解析：
当 在点 处时， 与圆 相切，
， ，∴A正确；
此时 最小，
，
， ，
， ,∴B错；
∴ ，
同理当 在点 处， 最大，
， ，∴C正确；
此时 .
， ，
故C、D正确.
∴D错.
11.已知点 在圆 上，点 ， ，则（ ）
A.点 到直线 的距离小于
B.点 到直线 的距离大于
C.当 最小时，
D.当 最大时，
答案：
A、C、D
12.在正三棱柱 中， ，点 满足 ，其中 ， ，
解析：
由已知易得直线 的方程为 . 则（ ）
A.当 时， 的周长为定值
圆心 到直线 的距离 ，
B.当 时，三棱锥 的体积为定值
∴直线 与圆相离，C.当 时，有且仅有一个点 ，使得 对于C，当 时， ，分别取 ， 的中点 ，此时 在线段 上运动，要使
D.当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面 ，只需 在平面 上的射影 与 垂直，此时 在 或 的位置，有两个 ，C错误.
答案：
B、D
解析：
对于A，当 时， ，∴ ，此时 在线段 上运动，此时 的周长不为
定值，A错.
对于D， 时， ，分别取 的中点 ，则 在线段 上运动，∵正三棱
柱 中， ， ，要使得 平面 ，只需 在平面 上的
射影与 垂直，有且只有一个点 即为 点时，满足题意，D正确.
对于B，当 时， ，此时 在线段 上运动,
平面 ， 点 到平面 的距离即为点 到平面 的距离，
为定值，B正确.
三、填空题
13.已知函数 是偶函数，则 .
答案：
解析：因为 为偶函数，则 ，即 ，整理则有 方形纸，对折 次共可以得到 ， 两种规格的图形，它们的面积之和 ，
对折 次共可以得到 ， ， 三种规格的图形，它们的面积之和
，故 .
，以此类推.则对折 次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折 次，那么
14.已知 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ， 为 上一点， 与 轴垂直， 为 轴
上一点，且 .若 ，则 的准线方程为 .
.
答案：
答案：
解析：
因为 垂直 轴，故点 坐标为 ，又因为 ，则 ，即 ，故 ，则准
解析：
（1）易知有 ， ， ， ， ，共 种规格.
线方程为 .
（2）由题可知对折 次共有 种规格，且面积为 ，故 ，则 ，记
15.函数 的最小值为 .
答案：
，则 ，故
解析：
当 时， ， ， 时， ， 时， ，
，则 ，故
在 上单调递减，在 上单调递增，当 时， ，函数单调递减，
.
综上，函数在 上单调递减，在 上单调递增，所以函数最小值为 .
四、解答题
16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为 的长（1）若小明先回答 问题，记 为小明累计得分，则 的取值可能为： ， ， ，因为各题互相独立，
17.已知数列 满足 ， .
由分步完成原理得 ， ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
，列表如下：
（2）求 的前 项和.
答案：
见解析；
解析：
则 的数学期望 .
（1） ， ， ，
（2）若小明先回答 问题，记 为小明的累计得分，则 的取值可能为 ， ， ，因为各题互相独立，
，
由独立性原理知 ， ， ，列
∴ 是以 为公差的等差数列，∴ .
表如下：
（2） ，
，∴ .
先答 类，则 的数学期望为： ，
18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 ， 两类问题.每位参加比赛的同学先在
两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若
由（1）知 ，∴小明先选B类问题作答.
回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛
结束. 类问题中的每个问题回答正确得 分，否则得 分； 类问题中的每个问题
19.记 的内角 的对边分别为 .已知 ，点 在边 上， .
回答正确得 分，否则得 分.
（1）证明： ；
已知小明能正确回答 类问题的概率为 ， 能正确回答 类问题的概率为 ，
（2）若 ，求 .
且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
答案：
（1）若小明先回答 类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
见解析；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
解析：
答案：
见解析； （1）由 ，根据正弦定理可得，∴ ，
解析：解析：
又 ，∴ ，∴ .
（1）平面 平面 ，平面 平面 ，∵ ， 为 中点，∴ ，
（2） ， ，又由（1）
平面 ，∴ 平面 ， 平面 ，∴ .
（2）方法一：取 中点 ，∵ 为正三角形，∴ ，过 作 与 交于 点，则
，∴ ， ， 两两垂直，以 为坐标原点，分别以 ， ， 为 ， ， 轴建立
， ，
空间直角坐标系， ， ， ，设 ，则 ， 平面 ，
，∴ ，
∴ ， ，∴ 或 ，
∴平面 的法向量为 ， ，∴ ，不妨设 ，则 ， ，
或 （舍），∴ .
则 ，二面角 的大小为 ，∴ ，∴ ，
20.如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， 为 的中点.
，∴ ，∴ .
（1）证明： ；
（2）若 是边长为 的等边三角形，点 在棱 上， ，且二面角 的大小为 ，
方法二：过 作 交 于点 ，再过 作 交 于点 ，显然这样会有 平面 ，
求三棱锥 的体积.
而这个正三角形 加上 ，可知 ，意味着 ，同时很自然的也会有 ，
而二面角 很显然就是 ，这个是 ，说明 ，
综合上面的条件，会得到 ，然后 ，再然后 ，故 ，同时
答案：
，得到 ，那么就有 .
见解析21.在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，点 满足 .记 的轨迹
，
为 .
（1）求 的方程；
∴
（2）设点 在直线 上，过 的两条直线分别交 于 ， 两点和 ， 两点，且
，求直线 的斜率与直线 的斜率之和. ，
答案：
见解析
设 ，同理可得 ，
解析：
（1） ， ， ， ，
∴ ，∴ ，
表示双曲线的右支， 的方程为 .
∵ ，∴ ， .
（2）设 ，设直线 的方程为： ， ， ， 22.已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
答案：
见解析
解析：
（1） ，令 ，
当 ， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
，
（2） ，∴ ，令 ， ，即证 ，∴ ，
令 ， ，令 ，
当 ， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
∵ ，∴ ， ，
要证 ，即证 ，即证 ，
令 ， ，
， 单调递增，∴ ，左边证毕！再证右边：∵
，要证 ，即证 ，
令 ， ，∴ ，
∴ 在 上单调递增，∴ ，∴ ，证毕！
