文档内容
2023 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数 学
本试卷满分150分.考试时间 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考
试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
的
2. 在复平面内，复数 对应 点的坐标是 ，则 的共轭复数 （ ）
A. B.
C. D.
3. 已知向量 满足 ，则 （ ）
A. B. C. 0 D. 1
4. 下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 的展开式中 的系数为（ ）．
A. B. C. 40 D. 80
6. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上．若 到直线 的距离为5，则 （ ）A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
7. 在 中， ，则 （ ）
A. B. C. D.
8. 若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之
美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若
，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面 的夹角的正
切值均为 ，则该五面体的所有棱长之和为（ ）
.
A B.
C. D.
10. 已知数列 满足 ，则（ ）
A. 当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立
B. 当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
C. 当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立
D. 当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 已知函数 ，则 ____________．
的
12. 已知双曲线C 焦点为 和 ，离心率为 ，则C的方程为____________．
13. 已知命题 若 为第一象限角，且 ，则 ．能说明p为假命题的一组 的值
为 __________， _________．
14. 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．
已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列 ，该数列的前3项成等差数列，后7
项成等比数列，且 ，则 ___________；数列 所有项的和为____________．
15. 设 ，函数 ，给出下列四个结论：
① 在区间 上单调递减；
②当 时， 存在最大值；
③设 ，则 ；
④设 ．若 存在最小值，则a的取值范围是 ．
其中所有正确结论的序号是____________．
三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 如图， 在三棱锥 中， 平面 ， ．（1）求证： 平面PAB；
（2）求二面角 的大小．
17. 设函数 ．
（1）若 ，求 的值．
（2）已知 在区间 上单调递增， ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中
选择一个作为已知，使函数 存在，求 的值．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： 在区间 上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
的
18. 为研究某种农产品价格变化 规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在
描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一
天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．
时段 价格变化第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 +
第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - +
用频率估计概率．
（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；
（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4
天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”
和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）
19. 已知椭圆 的离心率为 ，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是 的
左、右顶点， ．
（1）求 的方程；
（2）设 为第一象限内E上的动点，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ．
求证： ．
20. 设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ．
（1）求 的值；
（2）设函数 ，求 的单调区间；
（3）求 的极值点个数．
21. 已知数列 的项数均为m ，且 的前n项和分别为 ，
并规定 ．对于 ，定义 ，其中，
表示数集M中最大的数.
（1）若 ，求 的值；（2）若 ，且 ，求 ；
（3）证明：存在 ，满足 使得 ．
