文档内容
初二数学
考生须知：
1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间100分
钟．
2．在试卷上和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育ID号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签
字笔作答．
5．考试结束后，请将答题卡交回．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．下列四个式子中，最简二次根式为（ ）
A． B． C． D．
2．在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ）
A．1：2：3：4 B．1：2：2：1 C．1：2：1：2 D．1：1：2：2
3．下列各式中，计算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．奥运会的跳水项目是优美的水上运动，中国跳水队被称为“梦之队”．在一次女子
单人10米台跳水比赛中，甲、乙两名选手五轮得分的折线统计图如图所示．设甲、乙
的平均分依次为 、 ，方差依次为 ， ．以下四个推断中，正确的是（ ）
试卷第1页，共3页A． ， B． ，
C． ， D． ，
5．如图，矩形 的两条对角线相交于点O．若 ， ，则边
的长为（ ）
A． B．2 C． D．1
6．在平面直角坐标系 中，点 都在函数 的图象上．若
，则下列四个推断中错误的是（ ）
A．点P在第二象限 B．坐标原点不在此函数图象上
C． D．
7．在平面直角坐标系 中，已知点 ．若直线 与线段 有交
点，则m的值不可能是（ ）
A．1 B． C． D．
8．画一个四边形，使得该四边形的面积等于已知图形面积的一半．
（1）如图1，已知等腰 ，D，E分别是 的中点，画四边形 ；
（2）如图2，已知四边形 ， ．四边的中点分别为E，F，G，H，画四
试卷第2页，共3页边形 ；
（3）如图3，已知平行四边形 ，点E，G分别在 上，且 ．点
F，H分别在 上，画四边形 ．
以上三种画法中，所有正确画法的序号是（ ）
A．（1）（3） B．（2） C．（2）（3） D．（1）（2）
（3）
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．若二次根式 有意义，则x的取值范围是 ．
10．北京某月连续10天的最低气温（单位：℃）分别是：13，14，15，15，15，16，
16，18，21．这组数据的众数是 ．
11．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则m的值是 ．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣
3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 ．
13．如图，在平行四边形 中， ，对角线 交于点O，点E为边
的中点．若 ，则 的长为 ．
试卷第3页，共3页14．如图，将矩形纸片 沿 折叠，顶点B落在 边上点F处．若
，则 ．
15．如图，在正方形 中，边长为2的等边三角形 的顶点E，F分别在
上，则 的面积为 ．
16．已知A，B两地相距 ．甲、乙两辆货车分别从A，B两地同时出发，匀速相
向而行．图1表示甲、乙两辆货车距A地的距离s（单位： ）与行驶时间t（单位：
）的数量关系；图2表示甲、乙两辆货车间的距离d（单位： ）与行驶时间t（单
位： ）的数量关系．
根据以上信息得到以下四个推断：
①甲货车从A地到B地耗时6小时，即 ；
②出发后 小时甲、乙两辆货车相遇，即 ；
③乙货车的速度是 ；
④点P的坐标是 ．
所有正确推断的序号是 ．
三、解答题（本题共68分，第17题8分，第18－20题，每小题5分，第
21题6分，第22－26题，每小题5分，第27－28题，每小题7分）解答应
写出文字说明、演算步骤或证明过程．
试卷第4页，共3页17．计算：
(1) ；
(2) ．
18．已知 ，求代数式 的值．
19．如图，在
▱
ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求
证：AE=CF．
20．如图， 为等边三角形．
求作：菱形 ，使得 ．
作法：如图，
①作 的平分线 ，交 于点D；
②以点A为圆心， 长为半径画弧交 的延长线于点E；
③分别以点B，E为圆心， 长为半径画弧，两弧交于点F（不是点A）；
④连接 ．
则四边形 为所求作的菱形．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：∵ ，
∴四边形 为菱形（______）（填推理依据）．
∵ 为等边三角形，∴ ．
∵ 平分 ，∴ ______ ．
∵ ，∴ ______ ．
试卷第5页，共3页21．某数学兴趣小组研究某地区气温与海拔的关系．下表记录的是气温随海拔变化的
情况：
海拔x/
… 1 1.5 2 3.5 …
km
气温y/℃ … …
小组研究发现，气温y与海拔x满足一次函数关系： ．根据小组的研究
发现，回答下列问题．
(1)求出k，b的值；
(2)求表格中m，n的值；
(3)当海拔x满足 时，求气温y的变化范围．
22．在平面直角坐标系 中，点 的坐标满足 ．
(1)当点P在第一象限时，画出点P组成的图形；
(2)已知点 ，当 的面积为6时，求点P的坐标．
23．下面是证明直角三角形的一个性质的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完
成证明．
性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知：如图，在 中， ， 是斜边 的中线．
求证： ．
方法一 方法二
证明：如图，延长 至点D，使得 证明：如图，取 的中点D，连
，连接 ． 接 ．
试卷第6页，共3页24．为了解北京市的水资源情况，收集了1978－2020年北京的年降水量（单位：毫
米）共43个数据，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
注：降水量是指一定时段内降落在某一点或某一区域上的水层深度，通常以毫米表示．
a．43个数据的频数分布直方图如下（数据分成7组： ， ，
， ， ， ， ）；
b．43个数据中，在 这一组的是：
507 523 527 542 544 547 573 576 579
c．43个数据的平均数、中位数如下：
平均数 中位数
547
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中 的值为______；
(2)1978－2020年北京的年降水量高于547毫米的年份共______个；
(3)若2021年，2022年北京的年降水量分别是698毫米，493毫米，则下列推断合理的
是______（填写序号）．
①因为698大于n，所以北京2021年降水量比1978－2020年中一半以上年份的年降水
量高；
②已知1978－2000年北京的年降水量的方差为21249，2001—2022年北京的年降水量
的方差为13486，由此推断2001－2022年北京的年降水量的波动较大；
试卷第7页，共3页③1个底面边长为10分米的正方体集水箱2022年共可收集降水约493升．注：1升
立方分米
25．A，B两地分别有垃圾20吨，30吨，现要把这些垃圾全部运到C，D两个垃圾处
理厂，其中24吨运到C厂．运费标准（单位：元/吨）如下表：
目的地
C D
厂 厂
始发地
A地 26 25
B地 15 20
当从A地运送多少吨垃圾到C厂时，从A，B两地运到C厂的总运费大于运到D厂的
总运费？
(1)建立函数模型：设从A地运到C厂x吨垃圾．从A，B两地运到C厂的总运费为
元，运到D厂的总运费为 元．分别求出 关于x的函数关系式；
(2)根据函数的图象与性质，解决问题：当 时，求x的取值范围．
26．在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象由函数 的图象
平移得到，且经过点 ．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值均大于函数 的值，
直接写出m的取值范围．
27．如图，正方形 ．过点B作射线 ，交 的延长线于点P．点A关于直线
的对称点为E，连接 ．其中 分别与射线 交于点G，H．
(1)依题意补全图形；
(2)设 ， ______（用含 的式子表示）， ______ ；
(3)若 ，用等式表示线段 与 之间的数量关系，并证明．
试卷第8页，共3页28．在平面直角坐标系 中，对于线段 和点P作出如下定义：若点M，N分别
是线段 ， 的中点，连接 ，我们称线段 的中点Q是点P关于线段 的
“关联点”．
(1)已知点 ，点P关于线段 的“关联点”是点Q．
①若点P的坐标是 ，则点Q的坐标是______；
②若点E的坐标是 ，点F的坐标是 ．点P是线段 上任意一点，求线段
长的取值范围；
(2)点A是直线 上的动点．在矩形 中，边 轴， ．
点P是矩形 边上的动点，点P关于其所在边的对边的“关联点”是点Q．过点
A作x轴的垂线，垂足为点G．设点G的坐标是 ．当点A沿着直线 运动到点
时，点G沿着x轴运动到点 ，点Q覆盖的区域的面积S满足 ，
直接写出m的取值范围．
试卷第9页，共3页1．D
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开
得尽方的因数或因式，结合选项求解即可．
【详解】解：A． ，不是最简二次根式，所以选项不符合题意；
B． ，被开方数12中含有能开得尽方的因式4，因此选项不符合题意；
C． ，被开方数中含有分母，因此选项不符合题意；
D． ，是最简二次根式，因此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了最简二次根式的概念，解答本题的关键在于掌握最简二次根式的概念，
对各选项进行判断．
2．C
【分析】根据平行四边形的对角相等，容易得出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴C正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的对角相等的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问
题的关键．
3．B
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可得到答案．
【详解】解：A、 ，原式计算错误，不符合题意；
B、 ，原式计算正确，符合题意；
C、 ，原式计算错误，不符合题意；
D、 原式计算错误，不符合题意；
故选B．
答案第1页，共2页【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，正确对每个选项中的二次根式化简是解题的关
键．
4．B
【分析】根据甲选手波动小可得 ；根据统计图可知甲选手的总成绩高，可得
，由此即可得到答案．
【详解】解：由统计图可知，甲选手的成绩波动比乙选手的成绩波动小，
∴ ；
由统计图可知，甲选手在第二轮，第四轮的成绩比乙选手高，在第一轮和第三轮的成绩比
乙选手低，在第五轮的成绩和乙选手相同，并且甲选手第二轮和第四轮比乙选手高出的成
绩大于第一轮和第三轮比乙小的成绩，
∴甲选手五轮的总成绩大于乙选手五轮的总成绩，
∴甲选手的平均数比乙选手的高，
∴ ，
故选B．
【点睛】本题主要考查了折线统计图，平均数和方差的意义，灵活运用所学知识是解题的
关键．
5．A
【分析】根据直角三角形 角所对的直角边等于斜边的一半可得 ，在根据
勾股定理求出 ．
【详解】 ， ， ，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质、直角三角形 角所对的直角边等于斜边的一半的性质，
勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
6．D
答案第2页，共2页【分析】根据一次函数的图象和性质求解即可．
【详解】∵ ， ，
∴y随x的增大而减小，经过第一，二，四象限
∵
∴ ，故C选项正确，不符合题意；
∴点P在第二象限，故A选项正确，不符合题意；
∵当 时， ，
∴坐标原点不在此函数图象上，故B选项正确，不符合题意；
∵ ，y随x的增大而减小，
∴ ，故D选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性
质．
7．B
【分析】分别求出直线 恰好经过 和 时m的值，进而结合函数图象求出
m的取值范围，由此即可得到答案．
【详解】解：当直线 恰好经过 时，则 ，解得 ，
当直线 恰好经过 时，则 ，
∴当直线 与线段 有交点时， 或 ，
∴四个选项中只有B选项不满足上述条件，
故选B．
答案第3页，共2页【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，正确求出m的取值范围是解题的关键．
8．C
【分析】如图1所示，连接 ，证明 ，进而得到 ，即可推
出 ；如图2所示，设 交于O，先求出 ，
利用三角形中位线定理得到 ，则四边形 是平行四边形，再证明
，得到四边形 是矩形，则 ；
如图3所示，连接 ，证明四边形 是平行四边形，得到 ，再由
，得到 ，同理可得 ，则
．
【详解】解：如图1所示，连接 ，
∵E是 的中点，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，故（1）画法错误；
答案第4页，共2页如图2所示，设 交于O，
∵ ，
∴
，
∵ 分别是 的中点，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，故（2）画法正确；
如图3所示，连接 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
答案第5页，共2页∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
∴
∴ ，故（3）画法正确；
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，三角形中位线定
理等等，熟知相关知识是解题的关键．
9．x≥1
【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范
围．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，
∴x≥1，
故答案为：x≥1．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0．
10．15
【分析】根据众数的概念求解即可．
【详解】15出现的次数最多，
答案第6页，共2页∴众数是15．
故答案为：15．
【点睛】此题考查了众数，解题的关键是熟练掌握众数的概念．众数是一组数据中出现次
数最多的数据．
11．
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的性质，通过计算，即可完成求解．
【详解】解：∵ 是最简二次根式，且最简二次根式 与 是同类二次根式
∴
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式，熟知同类二次根式的定义是解题的关键：如果两
个最简二次根式的被开方数相同，那么这两个二次根式叫做同类二次根式．
12．（5，4）
【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．
【详解】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y
轴上，
∴AB=5，
∴DO=4，
∴点C的坐标是：（5，4）．
故答案为：（5，4）．
13．3
【分析】先利用勾股定理求出 ，再证明 为 的中位线，则 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，即点O为 的中点，
答案第7页，共2页又∵点E为边 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线定理，灵活运用所
学知识是解题的关键．
14．
【分析】由矩形的性质可得 ，再由折叠的性质可得 ，
据此利用勾股定理求出答案即可．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
由折叠的性质可得 ，
∴在 中，由勾股定理得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形与折叠问题，灵活运用所学知识是解题的关键．
15．1
【分析】根据正方形的性质和等边三角形的性质分别得到
， ，由此可证明
得到 ，进一步证明 是等腰直角三角形，得到
，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ 是边长为2的等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
答案第8页，共2页∴ ，即 ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，
勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，证明 是等腰直角三角形是解题的关
键．
16．①②③
【分析】由图1可知乙车先到达目的地，由此结合图2可知甲货车从A地到B地耗时6小
时，即 ，即可判断①；根据当出发后 小时后，甲、乙两车的距离为0，即此时两
车相遇，即可判断②；求出甲车的速度，进而根据当出发后 小时后两车相距为0求出乙
车的速度即可判断③；求出乙车到达目的地的时间，进而求出此时甲车的路程即可判断④．
【详解】解：由图1可知乙比甲先到达目的地，
∴由图2可知，甲货车从A地到B地耗时6小时，即 ，故①正确；
由图2可知，当出发后 小时后，甲、乙两车的距离为0，即此时两车相遇，
∴ ，故②正确；
∵甲车的速度为 ，
∴乙车的速度为 ，故③正确；
乙车到达A地的时间为 ，
∴此时甲车行驶的路程为 ，
∴点P的坐标是 ，故④错误；
故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，正确读懂函数图象是解题的关键．
17．(1)
(2)
答案第9页，共2页【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可；
（2）根据二次根式的混合计算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
18．5
【分析】利用完全平方公式，将 变式为 ，再代入数值解题．
【详解】解：
当 时，
原式
．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式、二次根式的性质，是重要考点，掌握
完全平方公式是解题关键．
答案第10页，共2页19．证明见解析.
【分析】由全等三角形的判定定理AAS证得 ABE≌△CDF，则对应边相等：AE=CF．
【详解】如图， △
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF．
又BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90°．
在 ABE与 CDF中，
△ △
，
∴得 ABE≌△CDF（AAS），
∴AE=△CF．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识
图是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)四条边相等的四边形是菱形；30；150
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）先证明四边形 为菱形，再根据等边三角形的性质得到 ，则由平角
的定义可得 ．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
答案第11页，共2页（2）证明：∵ ，
∴四边形 为菱形（四条边相等的四边形是菱形）．
∵ 为等边三角形，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故答案为：四条边相等的四边形是菱形；30；150．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定，等边三角形的性质，角平分线的尺规作图，熟练掌
握菱形的判定定理是解题的关键．
21．(1)
(2) ，
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）将 和 分别代入求解即可；
（3）首先根据一次函数的性质得到y随x的增大而减小，然后分别求出 和 时y的
答案第12页，共2页值，进而求解即可．
【详解】（1）将 ， 代入 得，
，解得
∴ ；
（2）当 时，即 ，解得
∴ ；
当 时，即
∴ ；
（3）∵ ，
∴y随x的增大而减小
∴当 时， ；
当 时， ；
∴气温y的变化范围为 ．
【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求解一次函数解析式，一次函数的
性质，解题的关键是掌握一次函数的有关性质．
22．(1)见解析
(2) 或
【分析】（1）先求出一次函数 与x轴，y轴的交点坐标，再根据点P在一次函数
图象上且在第一象限即可得到答案；
（2）先求出 ，再根据三角形面积公式求出 ，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：在 中，当 时， ，当 时， ；
∵点P在第一象限，且点 的坐标满足 ，
答案第13页，共2页∴如图所示，点P组成的图形为：线段 （不包括端点），其中 ， ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ 的面积为6，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
当 时，则 ，解得 ；
当 时，则 ，解得 ；
∴点P的坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，画一次函数图象，熟知一次函数的相关知
识是解题的关键．
23．见解析
【分析】方法一：先证明四边形 是平行四边形，进而证明四边形 是矩形，则
由矩形的性质可得 ；
方法二：证明 是 的中位线，得到 ，则 垂直平分 ，由线段垂直平
分线的性质可得 ．
【详解】证明：方法一：∵点 是 边的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
答案第14页，共2页∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ；
方法二：∵ 是斜边 的中线，
∴点O是 的中点，
∵ 的中点D，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴ 垂直平分线 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，三角形中位线的性质，线段垂直平分线的性
质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
24．(1)
(2)18
(3)①③
【分析】（1）根据中位数的定义进行求解即可；
（2）根据统计图中的数据进行求解即可；
（3）根据中位数的定义即可判断①；根据方差越小，波动越小即可判断②；计算出收集的
雨水体积即可判断③．
【详解】（1）解：∵一共有43个数据，
∴中位数是第22个数据（从低到高排列），即中位数为527，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：由统计图的数据可知，1978－2020年北京的年降水量高于547毫米的年份共
个，
答案第15页，共2页故答案为：18
（3）解：∵ ，
∴北京2021年降水量比1978－2020年中一半以上年份的年降水量高，故①正确；
∵已知1978－2000年北京的年降水量的方差为21249，2001—2022年北京的年降水量的方
差为13486，且
∴推断2001－2022年北京的年降水量的波动较小，故②错误；
，
∴1个底面边长为10分米的正方体集水箱2022年共可收集降水约493升，故③正确；
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，中位数，方差与稳定性之间的关系，熟知相关
知识是解题的关键．
25．(1) ，
(2)
【分析】（1）根据运费 垃圾数量 每吨的运费进行求解即可；
（2）根据（1）所求，列出对应的不等式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得， ，
；
（2）解：当 时，则 ，
解得 ，
又∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的取值范围，正确求出对应的函数关系
式是解题的关键．
26．(1)
(2)
答案第16页，共2页【分析】（1）根据平移的性质可得 ，然后利用待定系数法求解即可；
（2）分别讨论当 时，当 时，当 时，结合当 时，对于x的每一个值，
函数 的值均大于函数 的值解析求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数 的图象由函数 的图象平移得到，
∴ ，
∴一次函数 的解析式为 ，
∵一次函数 经过 ，
∴ ，即 ，
∴这个一次函数的解析式为 ；
（2）解：当 时， ，即 ，不成立，
当 时，则当 时， 不符合题意；
当 时，
∵函数 的值均大于函数 的值，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵当 时，对于x的每一个值，函数 的值均大于函数 的值，
∴ 是不等式 的一个解，
∴ ，
∴ ；
综上所述， ．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数图象的朋友，一次函数与不等式之
间的关系等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
27．(1)见解析
答案第17页，共2页(2) ，45
(3) ，理由见解析
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）首先根据题意得到 垂直平分 ，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求解
即可；
（3）过点E作 交 的延长线于点M，首先得到 是等腰直角三角形，然后
设 ，则 ， ，根据勾股定理表示出
，然后证明出 是等腰直角三角形，利用勾股定
理得到 ，进而求解即可．
【详解】（1）如图所示，
（2）∵点A关于直线 的对称点为E，
∴ 垂直平分
∴ ，
∴ ；
∴
∴
∵四边形 是正方形
∴
∵
∴
∴
答案第18页，共2页∴ ；
故答案为： ，45；
（3）如图所示，过点E作 交 的延长线于点M，
∵ ，
∴
∴ 是等腰直角三角形
∴设 ，则 ，
∴
∴
∴
∴
∵ ，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴ 是等腰直角三角形
∴
∴
答案第19页，共2页∴
∵
∴
∴ ．
【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解
题的关键是熟练掌握以上知识点．
28．(1)① ；②
(2) 或
【分析】（1）①设点O和点M分别是 ， 的中点，根据定义求出 ，
再由点Q是 的中点即可得到答案；
②设点O和点M分别是 ， 的中点， ，同理可得 ，由勾
股定理得到 ，据此求解即可；
（2）设 ，则 ， ， ，当点P在 上
时，设 ，点C和点B分别是 ， 的中点，则
， ，点Q的坐标为 ，由此可得到点
Q在直线 上的一条线段上该线段的两个端点坐标分别为
；同理可得当点P在 上时，点Q在直线 的一
条线段上，该线段的两个端点坐标分别 故当点A在平移的过
答案第20页，共2页程中，点Q覆盖的面积即为平行四边形 和平行四边形 面积之和的两倍（面积
无重叠时）；根据平移的性质可得当点G沿着水平方向移动 个单位长度时，相当于平行
四边形 边 上的高为 ，平行四边形 边 上的高为 ，由此可得
（当且仅当面积没有重叠的时候），当 时，如下图所示，刚好点Q覆盖的
四个区域没有重合的部分，故当 时，面积没有重叠的部分，当 时， ，
由此根据 列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：①设点O和点M分别是 ， 的中点，
∵ ，点P的坐标是 ，
∴ ，
∵点Q是 的中点，
∴点Q的坐标为 ，即 ，
故答案为： ；
②设点O和点M分别是 ， 的中点， ，
∴ ，
∵点Q是 的中点，
∴点Q的坐标为 ，即 ，
∴
答案第21页，共2页，
∵ ，
∴ ，
∴当s增大时， 的值也增大，则 的值也增大，
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ；
∴ ；
（2）解：设 ，则 ， ， ，
当点P在 上时，设 ，点C和点B分别是 ， 的中点，
∴ ， ，
∵点Q是 的中点，
∴点Q的坐标为 ，即 ，
∵
∴ ，
∴点Q在直线 上的一条线段上该线段的两个端点坐标分别为
；
同理可得当点P在 上时，点Q在直线 的一条线段上，该线段的两个端点坐标
分别为 ，
∴ ；
∴当点A在平移的过程中，点Q覆盖的面积即为平行四边形 和平行四边形 面
积之和的两倍（面积无重叠时），
答案第22页，共2页∵点A在直线 上，
∴当点G沿着水平方向移动 个单位长度时，相当于平行四边形 边 上的高为 ，
平行四边形 边 上的高为 ，
∴ （当且仅当面积没有重叠的时候），
当 时，如下图所示，刚好点Q覆盖的四个区域没有重合的部分，故当 时，面
积没有重叠的部分，
当 时， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一次函数与几何综合，勾股定理，平行四边形的性
质，平移的性质等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
答案第23页，共2页
