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2022－2023 学年中国教育科学研究院丰台实验学校八年级（下）
数学 3 月限时练习试卷
一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一
个．
的
1. 式子 在实数范围内有意义，则 取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：由题意得，x-5≥0，
解得，x≥5，
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的运算性质求解，逐项分析即可．
【详解】解： 与 不是同类项，不能合并，故A选项错误，不合题意；
与3不是同类项，不能合并，故B选项错误，不合题意；
，故C选项正确，符合题意；
，故D选项错误，不合题意；
故选C．
【点睛】本题考查二次根式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
3. 如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，D是AB中点，AB=10，则CD的长为（ ）
△A. 5 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【详解】∵∠ACB＝90°，D是AB中点，
∴CD＝ AB＝5，
故选：A．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
4. 下列命题正确的是（ ）．
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 有一组邻边相等的四边形是菱形
D. 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定方法对A进行判断；根据矩形的判定方法对B进行判断；根据菱形的判定
方法对C进行判断；根据正方形的判定方法对D进行判断．
【详解】A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以A选项为假命题；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项为假命题；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以C选项为假命题；
D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，所以D选项为真命题．
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．熟
练掌握特殊四边形的判定定理是关键．
5. 下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A. a＝1.5，b＝2，c＝3 B. a＝7，b＝24，c＝25
C. a＝6，b＝8，c＝10 D. a＝3，b＝4，c＝5【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
【详解】解：A．∵1.52+22≠32，∴该三角形不是直角三角形，故A选项符合题意；
B．∵72+242＝252，∴该三角形是直角三角形，故B选项不符合题意；
C．∵62+82＝102，∴该三角形是直角三角形，故C选项不符合题意；
D．∵32+42＝52，∴该三角形是直角三角形，故D选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查直角三角形的判定，掌握勾股定理是本题解题关键．
6. 平行四边形的两条对角线将它分成4个小三角形，则这4个小三角形的面积（ ）
A. 都不相等 B. 不都相等 C. 都相等 D. 结论不确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质，对角线互相平分，则可知，两条对角线将它分成4个小三角形都是等底
等高的，因此面积相等．
【详解】如图，作
∵ 中，
∴ ，
∴
∴4个小三角形的面积都可表示为 ，
∴4个小三角形的面积相等．
故选：C
【点睛】此题考查平行四边形 的性质，解题关键是三角形面积公式为底乘以高的一半，三角形等底等
高即可证明面积相等．
7. 图1是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2所示）演化而成的．如果图2中的OA＝AA＝AA＝…AA＝1，那么OA 的长为（ ）
1 1 2 2 3 7 8 8
A. 2 B. 3 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】OA＝1，根据勾股定理可得OA＝ ＝ ，OA＝ ＝ ，找到OA＝ 的
1 2 3 n
规律，即可计算OA 的长．
8
【详解】解：∵OA＝1，
1
∴由勾股定理可得OA＝ ＝ ，
2
OA＝ ＝ ，
3
…，
∴OA＝ ，
n
∴OA＝ ＝2 ．
8
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，数字类的找规律，勾股定理求得OA＝ 是解题的关键．
n
8. 如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为
B′，连接 ．当点F在BC边上移动使得四边形 成为正方形时， 的长为
（ ）A. B. C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】连接BB'，连接BD，由正方形的性质可得BD= AB= ，BD平分∠ABC， = BE=
，BB'平分∠ABC，可证点B，点 ，点D三点共线，即可求解．
【详解】解：如图，连接BB'，连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，且边长为2，
∴BD= AB= ，BD平分∠ABC，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE=1，
∵四边形 是正方形，
∴ ， 平分∠ABC，
∴点B，点 ，点D三点共线，
∴ .
故选：A.
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理等知识，掌握正方形的性质是本题的关键．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）9. 计算： ___．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】解：原式
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法法则，熟练掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键．
10. 如图，在ABCD中，若∠A＝2∠B，则∠D＝________°．
【答案】60
【解析】
【分析】根据平行四边形的基本性质可知，平行四边形的邻角互补，由已知可得，∠A=3∠B且是邻角，
故可得∠B的度数，利用∠A=3∠B即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B+∠A=180°，
又∵∠A=2∠B，
∴3∠B=180°，
∴∠B=60°，
∴∠D=∠B=60°，
故答案为：60．
【点睛】本题主要是考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的相邻角互为补角，对角相等是解答本题
的关键．
11. 若 ，则 的值为______．【答案】
【解析】
【分析】根据算术平方根的非负性求出x和y，即可求解．
【详解】解：由题意得， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查算术平方根的非负性，掌握“非负数之和等于0时，各项都等于0”是解题的关键．
12. 如图，在菱形 中，对角线 与 交于点 ，若 ， ，则菱形的周长等
于______．
【答案】8
【解析】
【分析】利用菱形的性质求出AC，再证 是等边三角形，得到菱形的边长，即可求解．
【详解】解：∵ 四边形 是菱形， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，∴菱形的周长为： ，
故答案为：8．
【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，根据已知条件证明 是等边三角形是解题
的关键．
13. 已知正方形 的对角线 的长为 ，则正方形 的面积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】正方形的对角线相等，正方形的面积为对角线相乘的 ，直接求解即可．
【详解】正方形 的面积为
故答案为：
【点睛】此题考查正方形的面积，解题关键是正方形的面积为对角线相乘的 ．
14. 如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝70°，DB＝DC， CE⊥BD于E，则∠BCE＝_______．
【答案】20°
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得∠BCD=∠A=70°，又由于DB=DC，所以∠DBC=∠DCB=70°；再根据
CE⊥BD，最后根据三角形内角和即可解答．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠BCD=∠A=70°
∵DB=DC，
∴∠DBC=∠DCB=70°
∵CE⊥BD
∴∠CEB=90°
∴∠BCE=90°-∠DBC=20°．故填20°．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本
题的关键．
15. 如图，矩形ABCD中，E，F分别是AB， AD的中点，若EF=3，则AC的长是_______．
【答案】6
【解析】
【分析】由三角形中位线定理可求BD=6，由矩形的对角线的相等可求解．
【详解】解：如图连接AC，BD，
∵E，F分别是AB，AD的中点，EF=3，
∴BD=2EF=6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=6，
故答案为6．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，掌握矩形的对角线相等是解题的关键．
16. 如图，正方形 的边长为4，点 在 边上， ，若点 在正方形的某一边上，满足
，且 与 的交点为 ．则 _________．【答案】 或
【解析】
【分析】分两种情况进行讨论，点F在AD上或点F在AB上，依据全等三角形的性质以及矩形的性质，
即可得到CM的长．
【详解】解：分两种情况：
①如图1所示，当点F在AD上时，
由CF=BE，CD=BC，∠BCE=∠CDF=90°可得，Rt BCE≌Rt CDF（HL），
∴∠DCF=∠CBE， △ △
又∵∠BCF+∠DCF=90°，
∴∠BCF+∠CBE=90°，
∴∠BMC=90°，即CF⊥BE，
∵BC=4，CE=3，∠BCE=90°，
∴BE=5，
∴CM= ；
②如图2所示，当点F在AB上时，
同理可得，Rt BCF≌Rt CBE（HL），
∴BF=CE， △ △
又∵BF∥CE，
∴四边形BCEF是平行四边形，
又∵∠BCE=90°，
∴四边形BCEF是矩形，∴CM= BE= ×5= ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，全等三角形的判定是
结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
三、解答题（本题共52分）
17. 计算：
（1） ．
（2） ．
【答案】（1）
（2）6
【解析】
【分析】（1）先计算二次根式的除法，利用二次根式性质化简后进行加法运算；
（2）先利用平方差公式计算二次根式的乘法，利用二次根式性质化简后进行加法运算．
【小问1详解】
解： ；
【小问2详解】
解： ．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
的
18. 已知：如图， ABCD中，∠BCD 平分线交AB于E，交DA的延长线于F．求证：AE＝AF．【答案】见解析．
【解析】
【分析】利用平行四边形的性质可以推出AB∥DC，AD∥BC，然后利用它们得到角的关系，再利用角平分
线即可证明题目结论
【详解】证明：在平行四边形ABCD中，AB//DC，DA//BC
∴∠AEF=∠DCE，∠F=∠BCE
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE=∠BCE
∴∠F=∠AEF，
∴AE=AF
19. 如图所示， ，且 ， 是 的中点，求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形 是平行四边形，即可证明
．
【详解】证明： 是 的中点，
，又 ，
．
又 ，
四边形 是平行四边形．
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形
的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与
联系．
20. 如图所示，在矩形 中， ， 是对角线，过顶点C作 的平行线与 的延长线相交于
点E，求证： 是等腰三角形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】证明四边形 是平行四边形，再根据矩形的性质求出 ，即可证明 是等腰
三角形．
【详解】证明：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形．
∴ ．
∵四边形 是矩形，
∴ ．∴ ．
∴ 是等腰三角形．
【点睛】此题考查了平行四边的判定、矩形的性质，解题的关键是运用平行四边的性质和矩形的性质．
21. 如图，在□ABCD中，点E在BC边上，AE平分∠BAD，点F在AD边上，EF AB．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝2，BC＝3，点P在线段AE上运动，请直接回答当点P在什么位置时，PC+PF取得最小值，
最小值是多少．
【答案】（1）见解析 （2） 点与 点重合时， 最小，最小值为
【解析】
【分析】（1）根据对边平行可得四边形 是平行四边形，根据平行线、角平分线的定义以及等角对
等边可得 ，进而证明四边形 是菱形；
（2）根据菱形的对称性可知 与 关于 对称，根据点P在线段AE上，可得
，代入数值即可求解．
【小问1详解】
四边形 是平行四边形，
四边形 是平行四边形
AE平分∠BAD，
四边形 是菱形
【小问2详解】
四边形 是菱形与 关于 对称，
，
当 点与 点重合时， 最小，最小值为 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，轴对称的性质求线段和的最值问题等，掌握菱形的性质与判定是
解题的关键．
22. 下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l 及直线l 外一点A．
求作：直线AD，使得AD// l．
作法：如图2，
①在直线l 上任取两点B，C，连接AB；
②分别以点A，C 为圆心，线段BC，AB 长为半径画弧，两弧在直线l 上方相交于点D；
③作直线AD．
直线AD 就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接CD．
∵ AB ＝________，BC ＝________，
∴ 四边形ABCD 为平行四边形（_________）（填推理的依据）．
∴ AD// l．
【答案】（1）见解析；（2） ， ，两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【解析】
【分析】（1）根据作法画出图形即可；
（2）根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行证明即可．
【详解】（1）如图所示，（2）证明：连接CD．
∵ AB ＝CD，BC ＝AD，
∴ 四边形ABCD 为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据）．
∴ AD// l．
故答案为： ， ，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图
形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把
复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定．
23. 如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD＝12，AC＝16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长．
【答案】EF的长是10．
【解析】
【分析】如图，取BC边的中点G，连接EG、FG．根据三角形中位线定理易求EG、FG的长度，并且
∠EGF=90°，所以在直角△EGF中，利用勾股定理来求EF的长度．
【详解】解：如图，取BC边的中点G，连接EG、FG．
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线，∴EG∥AC，EG= AC，FG∥BD，FG= BD，
又BD=12，AC=16，AC⊥BD，
∴EG=8，FG=6，EG⊥FG，
∴在直角△EGF中，由用勾股定理，得
EF= =10，即EF的长度是10．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理．根据已知条件推知△EGF是直角三角形是解题的关键．
24. 如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交直线CB于点F．
（1）若点F在线段BC上，如图1，
①若∠BAE=α，直接写出∠BFE的大小（用含α的式子表示）；
②写出EA与EF的数量关系并加以证明；
（2）若点F在线段CB的延长线上，如图2，用等式表示线段BC，BE和BF的数量关系并加以证明．
【答案】（1）①∠BFE=180°-α；②EA=EF；证明见解析；（2） ，证明见解析．
【解析】
【分析】（1）①由 可知： ，②由正方形的轴对称性可证
得AE=CE，然后通过推导角得出 ，从而EF=EC，即可证明AE=EF；
（2）作EG⊥BD交BC于点G，证 ，得 ，从而 ，转化为
BG与BE的数量关系解决问题．
【详解】（1）①∵∴∠AEF=90°，
∵正方形ABCD，
∴∠ABC=90°，
∴
∵∠BAE=α，
∴∠BFE=180°-α
②EA=EF
连接CE
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD,∠ADE=∠CDE,
∴△ADE≌△CDE
∴AE=CE
∴△ABE≌△CBE
∴∠BCE=∠BAE=α
∵∠EFC=∠BCE=α
∴EF=EC
∴EA=EF
（2）
证明：如图，过点E作EG⊥EB，交BC于点G
∵AE⊥FE∴∠AEB=∠FEG
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠EBG=45°
∴∠EGB=45°
∴∠ABE=∠EGB
∴EB=EG
∴△ABE≌△FGE
∴FG=AB=BC
∴FB=CG
在Rt△BEG中，BG= BE
∴BC-BF=BC-CG=BG= BE.
即
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，正确作出
辅助线是解决问题的关键．
25. 我们可以通过构造平行四边形，利用它的性质来解决其他几何问题．
例如：如图， 、 相交于点O， AB∥CD， ， ， ，求 ．由于
AB∥CD，要得到 ，只需要将 、 其中一条线段平移至另一条线段所在直线，构造平行四
边形．（1）直接写出 _________．
（2）利用在上述案例中学到的知识，解决以下问题：
在 中， ，D、E分别为线段 、 上一点， ， ， 交
于点P．
①根据题意补全图形：
②直接写出 的度数；
③猜想 与 的数量关系，并证明你的结论；
④若把题目中D、E位置改为在 、 延长线上，其他条件不变，直接写出此时 的度数．
【答案】（1）10 （2）①见解析；②45°；③ ，理由见解析；④45°
【解析】
【分析】（1）过点C作CE∥AD，交BA的延长线于点E，证明四边形ADCE是平行四边形，得CD=AE，
CE=AD=6．再由勾股定理得BE=10，即可得出结论；
（2）①根据题意补全图形即可；②过点B作FB⊥BC，且FB=AE，连接DF、AF，证得△FBD≌△DCA
（SAS），得∠FDB=∠DAC，FD=AD，再证四边形BEAF是平行四边形，得BE∥AF，然后由平行线
的性质即可得出结论；
③证得△ADF是等腰直角三角形，得 ，再由平行四边形的性质即可得出结论；
④过点E作EF∥BD，且EF=BD，连接AF，证得△AEF≌△DCA（SAS），得AD=AF，∠FAE=∠CDA，再
证△AFD为等腰直角三角形，得∠ADF=45°，即可得出结论．【小问1详解】
解：如图，过点C作CE∥AD，交BA的延长线于点E，
∵AB∥CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴CD=AE，CE=AD=6．
∵AD⊥BC，CE∥AD，
∴CE⊥BC，
∴∠BCE=90°，
∴BE ，
∴AB+CD=AB+AE=BE=10；
为
故答案 ：10；
【小问2详解】
①根据题意补全图形，如图；
②如图，过点B作FB⊥BC，且FB=AE，连接DF、AF，
∴∠FBD=∠C=90°，
∵DC=AE，
∴FB=DC，
在△FBD和△DCA中，，
∴△FBD≌△DCA（SAS），
∴∠FDB=∠DAC，FD=AD，
∵∠CDA+∠DAC=90°，
∴∠FDB+∠CDA=90°，
∴∠ADF=90°，
∴∠FAD=∠AFD=45°，
∵∠FBD=∠C=90°，
∴∠FBD+∠C=180°．
∴BF∥AC，
∴四边形BEAF是平行四边形，
∴BE∥AF，
∴∠BPD=∠FAD=45°；
③猜想BE与AD的数量关系为： ，理由如下：
由②得：FD=AD，∠ADF=90°，
∴△ADF为等腰直角三角形，
∴ ，
由②得：四边形BEAF是平行四边形，
∴BE=AF
∴ ，
④如图，过点E作EF∥BD，且EF=BD，连接AF，∴∠AEF=∠DCA=90°，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∴BE∥DF，
∴∠BPD=∠ADF，
∵BD=AC，
∴EF=AC，
在△AEF与△DCA中，
，
∴△AEF≌△DCA（SAS），
∴AD=AF，∠FAE=∠CDA，
∵∠CDA+∠DAC=90°，
∴∠FAE+∠DAC=90°，
∴∠FAD=90°，
∴△AFD为等腰直角三角形．
∴∠ADF=45°，
∴∠BPD=45°．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角
三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性
质，解题的关键是构造平行四边形解决问题，属于常考题型．
