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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2022－2023 学年北京市十一学校
八年级（下）第三学段诊断数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在函数 中，自变量 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，就可以求解．
【详解】解：根据二次根式有意义得：x+2≥0，
解得：x≥-2 ，
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式有意义 的条件，熟知二次根式的被开方数是非负数．
2. 在平行四边形 中，若 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用平行四边形的对角相等，邻角互补即可得出答案．
【详解】解：如图所示： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
的度数是： ．
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故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，正确把握平行四边形各角之间的关系是解题关键．
3. 若点 ， 都在直线 上，则 与 的大小关系是（ ）
A. B.
C. D. 无法比较大小
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数的增减性：当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的减小而减小；即
可作答．
【详解】解：∵ ，
∴y随x的增大而减小，
又∵点 ， 都在直线 上，且 ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数的增减性，熟练掌握一次函数的增减性的判断是解题的关键．
4. 如图，施工队打算测量 ， 两地之间的距离，但 ， 两地之间有一个池塘，于是施工队在 处取点
连接 ， ，测量 ， 的中点 之间的距离是 ，则 两地之间距离为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解： 点 分别为 ， 的中点，
是 的中位线，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
5. 如图，在 中， ，D为 中点，若 ，则 的长是（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 ，进而可得答案．
【详解】解：∵ ，D为边 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选C．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
6. 如图，在四边形 中，对角线 与 相交于点 ，下列条件中不能判定四边形 是平行
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四边形的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】由平行四边形的判定定理对边对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由 ， ，不能判定四边形 是平行四边形，故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．
7. 某天早晨，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障而维修了 分钟 若小明骑车的速度 始
终不变，从出发开始计时，小明离家的距离 单位：米 与时间 单位：分钟 的对应关系如图所示，则
小明骑车的速度 是（ ）
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A. 米 分 B. 米 分 C. 米 分 D. 米 分
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可知小明骑车用了 分钟，再根据“速度 路程 时间”解答即可．
【详解】解：小明骑车的速度为： 米 分 ．
故选：C．
【点睛】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用图象来解答．
8. 如图， 的对角线 、 交于点 ， 的周长为 ，直线 过点 ，且与 ，
分别交于点 ，若 ，则四边形 的周长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得 ， ， ， ，则 ，
进 而 可 证 ， 则 ， ， 则 ，
， 由 ， 得 ， 则
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，计算求解即可．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，对角线 、 交于点 ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
， ，
， ，
∵ 的周长为 ，
，
，
，
∴四边形 的周长是 ，
故选：B．
【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明 ≌ 是解
题的关键．
9. 直线 与直线 ： 交于点 ，则方程组 的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
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【分析】方程组的解就是方程组中两个一次函数的交点坐标，依此求解即可．
【详解】解： 直线 ： 与直线 ： 交于点 ，
方程组 的解为 ．
故选：A．
【点睛】本题考查的是二元一次方程和一次函数的关系，两直线的交点就是两直线解析式所组成方程组的
解．
10. 一条观光船沿直线向码头游览前进，到达码头后立即原路返回，全程保持匀速行驶，下表记录了 个
时间点对应的观光船与码头的距离，其中 表示时间， 表示观光船与码头的距离．
根据表格中数据推断，观光船到达码头的时间 是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由表格数据列得函数关系式，然后令 时，求得对应的 的值即可．
【详解】解：由表格数据可得，观光船形式 时，行驶路程为 ，
则其速度为 ，
那么 关于 的函数关系式为： ，
令 ，即 ，
解得： ，
即观光船到达码头的时间 是 ，
故选：B．
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【点睛】本题考查函数问题，结合已知条件求得 关于 的函数关系式是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 写一个图象与y轴交于点（0，-3），且y随x增大而减小的一次函数关系式 __________
【答案】y=-x-3（k＜0，答案不唯一）
【解析】
【分析】根据题意可得k＜0，设出函数解析式，再将(0,-3)代入即可得出答案.
【详解】根据题意可得k=-1，可设函数解析式为y=-x+b
将 (0,-3)代入可得：-0+b=-3
解得：b=-3
所以函数解析式为：y=-x-3
故答案为：y=-x-3（答案不唯一）
【点睛】本题考查的是一次函数的图像与性质，需要熟练掌握待定系数法求函数解析式.
12. 如图，在菱形 中，对角线 ， 交于点 ， ， 则菱形 的面积是
______ ， 边上的高为______ ．
【答案】 ①. 24 ②.
【解析】
【分析】根据菱形的性质得出 ， ， ， ，根
据勾股定理求出 ，可得 的长，进而可得菱形 的面积．
【详解】解： 四边形 是菱形， ， ，
， ， ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
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，
菱形 的面积 ，
边上的高 ，
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，求出 的长是解题的关键．
13. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数 和 的图象如图所示．则关于x的一元一次不等
式 的解集是________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】写出直线 和 下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：根据图象可知：两函数的交点为 ，
所以关于x的一元一次不等式 的解集是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 的值大
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于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 在x轴上（或下）
方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
14. 一次函数 的图象与 轴交点的坐标是______ ，图象与两坐标轴围成的图形面积是______ ．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出一次函数 的图象与两坐标轴的交点坐标，
再利用三角形的面积计算公式，即可求出一次函数 的图象与两坐标轴围成的图形面积．
【详解】解：当 时， ，
解得： ，
一次函数 的图象与 轴交点的坐标是 ；
当 时， ，
一次函数 的图象与 轴交点的坐标是 ，
一次函数 的图象与两坐标轴围成的图形面积是 ．
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，牢记“直线上任意一点的坐标都满
足函数关系式 ”是解题的关键．
15. 如图，在 中， ， ， 于点 ，若 ，则 的长是______ ．
【答案】
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【解析】
【分析】根据含 度角直角三角形的性质求出 ，根据勾股定理求出 ，根据等腰直角三角形的性
质和判定求出 ，即可求出 ．
【详解】解： ，
，
， ，
，
由勾股定理得： ，
， ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是 ， ，斜
边长为 ，那么 ．
16. 一个水瓶中初始有水 ，每小时漏水 ，请写出水瓶中剩余水量 单位： 关于时间 单
位： 的函数关系解析式是______ ，其中自变量 的取值范围是______ ．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据题目中的数量关系可得“剩余水量 原水量 漏出的水量”进而写成函数关系式，再根据将
水漏光需要的时间为 ，进而确定 的取值范围．
【详解】解：由剩余水量 原水量 漏出的水量可得，
，
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由于 ，
所以自变量 的取值范围为 ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查函数关系式，掌握题目中的数量关系是正确解答的关键．
17. 小方在学习菱形时，发现可以利用菱形纸片拼出著名的“赵爽弦图”：
把如图 中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，这四个直角三角形可以拼出如图 所示的边长为
的正方形 ，和如图 所示的边长为 的正方形 ，则图 中菱形的边长为______ ．
【答案】5
【解析】
【分析】将菱形中的直角三角形的直角边设出来，列出关于直角边的方程组，求出直角边即可．
【详解】解：设菱形中的直角三角形较长的直角边为 ，较短的直角边为 ，
则： ，
化简得： ，
，
菱形的边长 ，
故答案为：5．
【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质解答．
18. 如图，一个等腰直角 放置在直角坐标系 中，其直角顶点 与原点重合，点 落在第一象
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限，点 的坐标为 ，则点 的坐标为______ ； 与 轴交于点 ，点 在 轴正半轴上，连接
．当 时， 的长为______ ．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】过点 作 轴，过 作 轴，证明 ，得出对应边相等即可求出点
的坐标；再证明 ，推导 ，利用待定系数法求解直线 的解析式，进而确定点
的坐标，即可获得答案．
【详解】解：过点 作 轴，过 作 轴，如下图，
∴ ，
∵ 等腰直三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ， ，
∵点 的坐标为 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴点 的坐标为 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
将点 ， 代入，
可得 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
令 ，可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
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故答案为： ， ．
【点睛】本题主要考查坐标与图形、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、一次函数的应用
等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
三、解答题（本大题共8小题，共46.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【详解】解：
【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20. 如图，已知线段 ， ，且 ，求作矩形 小明的作法如下： 以 为圆心，
长为半径画弧； 以 为圆心， 长为半径画弧； 两弧交于点 ，连接 ， 于是就作出
了矩形 ．
（1）尺规作图补全图形； 要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹
（2）补全下述证明过程：
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，______ ．
四边形 是平行四边形．
又 ______ ，
是矩形 ______
【答案】（1）见解析 （2） ， ，有一个角是直角的平行四边形是矩形
【解析】
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”进行作答即可．
【小问1详解】
解：如图，矩形 即为所求；
【小问2详解】
证明：∵ ， ，
四边形 是平行四边形．
又 ，
∴ 是矩形． 有一个角是直角的平行四边形是矩形 ，
故答案为： ， ，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【点睛】本题考查了尺规作图，矩形的判定定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
21. 如图，某人从 地到 地共有三条路可选，第一条路是从 地沿 到达 地， 为10米，第二条
路是从 地沿折线 到达 地， 为8米， 为6米，第三条路是从 地沿折线
到达 地共行走26米，若 刚好在一条直线上．
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（1）求证： ；
（2）求 和 的长．
【答案】（1）见解析 （2） 的长为17米， 的长为9米
【解析】
【分析】（1）通过计算得出 ，再根据勾股定理的逆定理即可证明．
（2）先设一条线段长x，根据已知条件及勾股定理可列出关于x的方程，然后求解即可．
【小问1详解】
证明：∵ 米， 米， 米，
∴ ，
∴ 是直角三角形，即 ；
【小问2详解】
解：设 米，则 米，
∴ （米），
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，则 ．
答： 的长为17米， 的长为9米．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，设未知数、运用方程解题是本题的关键所在．
22. “白银 号”种子的价格是 元 ，如果一次性购买 以上的种子，则超过 部分的种子价
格打折 购买种子所需的付款金额 单位：元 与购买量 单位： 之间的函数关系如图所示：
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（1）根据图象，写出当购买种子超过 时，付款金额 单位：元 关于购买量 单位： 的函数
解析式；
（2）若购买 的种子，求付款金额；
（3）当顾客付款金额为 元时，求此顾客购买了多少种子．
【答案】（1）
（2）购买 的种子，付款金额为 元
（3）当顾客付款金额为 元时，此顾客购买了 种子
【解析】
【分析】（1）根据图像可知： 和 坐标，设解析式为 ，运用待定系数法求
解即可；
（2）根据（1）中解析式当 时代入求解即可；
（3）根据图像可知当顾客付款金额为 元时，购买数量大于 ，根据（1）中解析式，令 ，
代入求解即可．
【小问1详解】
解：当 时，
由图象可知 是 的一次函数，且过点 和 ，
设 ，
则 ，
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解得： ，
；
【小问2详解】
根据 ，
当 时， ，
，
购买 的种子，付款金额为 元；
【小问3详解】
根据图像可知当顾客付款金额为 元时，购买数量大于 ，
由 ，
令 时，则 ，
解得： ，
当顾客付款金额为 元时，此顾客购买了 种子．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，理解题意，找到数量关系是解决问题的关键．
23. 如图，在 中， ，点 是 的中点，点 ， 在射线 上，且 ，连接
， ， ， ．
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（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ，求菱形 的周长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据对角线互相平分且垂直即可证明四边形 是菱形；
（2）根据四边形 是菱形，得 ，根据勾股定理得 ，求得 ，
在 中， ，即可求得菱形 的周长．
【小问1详解】
证明： ， 是 的中点，
， ，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
是 的垂直平分线，
，
四边形 是菱形；
【小问2详解】
解： 四边形 是菱形，
，
，
，
，
，
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，
，
在 中， ，
菱形 的周长 ．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解决
本题的关键是掌握菱形的性质．
24. 如图，在平面直角坐标系 中，直线 ： 与直线 平行，且过 点，直线 与 轴
交于点 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）直线 ： 与直线 交于点 ，与 轴交于点 ．
①求点 的坐标；
②求线段 的长；
③过点 作垂直于 轴的直线，与 ， 交点的横坐标分别为 ， ，当 时，直接写出
的取值范围．
【答案】（1）
（2）① ；②6；② 或
【解析】
【分析】（1）根据 与直线 平行可知 ，再把点 代入解析式求出 的值，进而可得
出结论；
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（2） 联立直线 与 的解析式即可得出 点坐标；
求出 ， 两点的坐标，进而可得出结论；
令 ，求出 ， 的表达式，根据 求出 的取值范围即可．
【小问1详解】
解： 与直线 平行，
，
直线 过点 ，
，解得 ，
直线 的解析式为： ；
【小问2详解】
联立直线 与 的解析式得， ，
解得 ，
；
直线 与 轴交于点 ，
，
直线 与 轴交于点 ，
，
；
令 ，则 ， ，
解得 ， ，
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，解得 或 ．
【点睛】本题考查了两直线平行和相交的问题，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想求
的取值是解题的关键．
25. 如图，在正方形 中，点 是对角线 上一点 点 不与点 或点 重合 ，连接 ，
延长 至点 使得 ，连接 ．
（1）补全图形，探究 与 满足的等量关系，并证明：
（2）探究 ， 满足的等量关系，并证明；
（3） ，点 从点 向点 运动的过程中，直接写出 面积的取值范围．
【答案】（1）关系： ，证明见解析
（2） ，见解析
（3）
【解析】
【分析】 根据正方形的性质证明 ≌ ，可得 ，然后利用平角定义
即可解决问题；
过点 作 的平行线交 延长线于点 ，连接 ，证明 ≌ ，得 ，
，然后证明 ， ，得 ，在 中，根据勾股定理即可
解决问题；
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结合 证明 的面积 的面积 的面积，求出 的面积 ，设
的面积 的面积 ， 当点 与 重合时， ， 当点 与 重合时， ，进
而可以求出 面积的取值范围．
【小问1详解】
补全图形如图所示，
，
证明：在正方形 中， ， ， ，
≌ ，
，
， ，
，
；
【小问2详解】
，
证明：如图，过点 作 的平行线交 延长线于点 ，连接 ，
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，
≌ ，
，
，
，
，
≌ ，
， ，
四边形 是正方形，
， ，
，
， ，
是 的垂直平分线，
， ，
，
在 中，根据勾股定理得：
，
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；
【小问3详解】
≌ ，
的面积 的面积，
由 知 ，
的面积 的面积，
的面积 的面积 的面积，
，
的面积 ，
当点 从点 向点 运动的过程中 点 不与点 或点 重合 ，
设 的面积 的面积 ，
当点 与 重合时， ，
当点 与 重合时， ，
面积的取值范围为 ，
的
面积的取值范围为 ．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角
形的面积，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形．
26. 如图 ，在直角 中， ，若点 在斜边 上 不与 ， 重合 满足 ，则
称点 是直角 的“近 点”．
在平面直角坐标系 中， ，一次函数图象 与 轴， 轴分别交于点 ， ．
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（1）若 ，点 是直角 的“近 点”，则 的长度可能是______ ； 填序号
① ；② ；③ ；④
（2）若线段 上的所有点 不含 和 都是直角 的“近 点”，求 的取值范围；
（3）当 时，若一次函数 与 的交点恰好是直角 的“近 点”，则直接
写出 的取值范围是______ ．
【答案】（1）②③ （2） 或
（3） 或
【解析】
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，作 于 ，求出 ， 的长，进而得出结果；
（2）找出临界：当 时， 上所有的点都是直角 的“近 点”，进而得出结果；
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（3）找出临界：由 得 ，进而得出结果．
【小问1详解】
解：如图 ，
取 的中点 ，连接 ，作 于 ，
由 得，
，
，
，
，
，
，
由 得，
，
当 时，点 是直角 的“近 点”，
故答案为： ；
【小问2详解】
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如图 ，
当 时， 上所有的点都是直角 的“近 点”，
或 ；
【小问3详解】
如图 ，
由 得 ，
由 得， ，
由 得，
，
或 ．
【点睛】本题考查了新定义的理解能力，直角三角形的性质，一次函数及其图象的性质等知识，解决问题
的关键是找出临界，数形结合．
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