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房山区 2023－2024 学年度第一学期期末检测试卷
八年级数学
本试卷共4页，共100分，考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作
答无效．考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存．
一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分），下面各题均有四个选项，其中只有
一个是符合题意的．
1. 下列式子为最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义，对选项逐个判断即可.
【详解】解：A、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
B、 ，是最简二次根式，符合题意；
C、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被
开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2. 下面的四个图案分别是“向左转弯”、“直行”、“直行和向右转弯”和“环岛行驶”的交通标志，其
中可以看作是轴对称图形的是（ ）
A B. C. D.
.
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的
部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形，即可判断，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
【详解】解： 、不是轴对称图形，不符合题意；
、是轴对称图形，符合题意；
、不是轴对称图形，不符合题意；
、不是轴对称图形，不符合题意；
故选： ．
3. 如果分式 的值为 ，那么 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，根据分式的值为 ，列出分式方程，解分式方程即可求解，掌握解分式方
程的步骤是解题的关键．
【详解】∵分式 的值为 ，
∴ ，
方程两边同时乘以 得，
，
解得 ，
检验：把 代入 得， ，
∴ 是原分式方程的解，
故选： ．
4. 如图，数字代表所在正方形的面积，则 所代表的正方形的面积为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 5 B. 25 C. 27 D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理．三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母 A
所代表的正方形的面积．
【详解】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方 ，另一条直角边的平方为 ，由勾股定理
可知：斜边的平方，即A所代表的正方形的面积为 ．
故选B．
5. 下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A. 用长度分别是1cm，2cm，3cm的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形
B. 用长度分别是3cm，4cm，5cm的细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形
C. 如果一个三角形有两个角相等，那么两个角所对的边也相等
D. 有两组对应边和一组对应角分别相等的两个三角形全等
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形三边关系判断A选项；根据勾股定理判断B选项；根据等腰三角形的性质：等边对等
角判断C选项；根据全等三角形的判定即可判断D选项．
【详解】A.因为 ，所以用长度分别是1cm，2cm，3cm的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形
为不可能事件，故此选项错误；
B.因为 满足勾股定理，所以用长度分别是3cm，4cm，5cm的细木条首尾顺次相连可组成一个
直角三角形为必然事件，故此选项错误；
C.因为三角形有两个角相等则这个三角形是等腰三角形，故等腰三角形等角对等边，所以如果一个三角形
有两个角相等，那么两个角所对的边也相等为必然事件，故此选项错误；
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学科网（北京）股份有限公司D.根据SAS可以判断两三角形全等，但ASS不能判断两三角形全等，所以有两组对应边和一组对应角分别
相等的两个三角形全等为随机事件，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查随机事件，随机事件可能发生也可能不发生，必然事件一定发生，不可能事件一定不发
生，掌握随机事件的定义是解题的关键．
6. 如图，工人师傅设计了一种测零件内径 的卡钳，卡钳交叉点O为 、 的中点，只要量出
的长度，就可以知道该零件内径 的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 B. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
C. 三边分别相等的两个三角形全等 D. 两点之间线段最短
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质．先根据中点的定义，得出 ， ，再根据
对顶角相等得到 ，从而证得 和△ 全等即可．正确运用三角形全等的判定
定理是解题的关键．
【详解】解： 点O为 、 的中点，
， ，
由对顶角相等得 ，
在 和 中，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
即只要量出 的长度，就可以知道该零件内径 的长度，
故选：B．
7. 如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙的两侧，已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的宽度
DF相等，则这两个滑梯与墙面的夹角∠ACB与∠DEF的度数和为( )
A. 60° B. 75° C. 90° D. 120°
【答案】C
【解析】
【分析】先根据BC=EF，AC=DF判断出Rt△ABC≌Rt△DEF，再根据全等三角形的性质可知，∠1=∠4，
再由直角三角形的两锐角互余即可解答．
【详解】如图，
∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
∵BC=EF，AC=DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠1=∠4，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠ACB+∠DEF=90°．
故选C．
【点睛】本题考查的是直角三角形全等的判定及性质，直角三角形的性质，属基础题目．
8. 如图，在等边 外作射线 ，使得 和 在直线 的两侧， ．
点 关于直线 的对称点为 ，连接 ， ．则 的度数是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，先由点
与点 关于直线 对称，得到 ， ，再由等边三角形的性质和三角形
内角和定理求得 ，然后由 ，即
，即可求解，熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵点 关于直线 的对称点 ，
∴ 为 的中垂线，
∴ ， ，
∴ ，
∵等边 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司故选： ．
二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）
9. 等腰三角形的腰长为 ，则底边 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系
列出不等式 是解决问题的关键．
【详解】解：底边 的取值范围是 ，
故答案为： ．
10. 任意掷一枚骰子，面朝上的点数大于2的可能性是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据掷得面朝上的点数大于2情况有4种，进而求出概率即可．
【详解】解：掷一枚均匀的骰子时，有6种情况，出现点数大于2的情况有4种，
掷得面朝上的点数大于2的概率是 = ；
故填： ．
【点睛】此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出
现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
11. 若 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，明确被开方数为非负数是解题关键．
【详解】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
12. 比较大小： ___________3（填“>”、“=”或“＜”）．
【答案】
【解析】
【分析】由 得到 ，即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
即 ．
故答案为：
【点睛】此题考查了实数的大小比较，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．
13. 在 件同种产品中，有 件次品．检验员从中随机取出了一件进行检验，他取出次品的可能性大小是
______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了简单事件概率的计算，从中任意取出一件总共有 种情况，其中是次品有 种情况，
用 除以 即可求解，掌握概率的计算公式是解题的关键．
【详解】解：∵从中任意取出一件总共有 种情况，其中是次品有 种情况，
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学科网（北京）股份有限公司∴他取出次品的可能性大小是 ，
故答案为： ．
14. 计算 ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质和运算法则，平方差公式分别运算，最后
相减即可得到结果，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式 ，
故答案为： ．
15. 已知数 ， ， 在数轴上的位置如图所示，化简： ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了绝对值的化简，先根据数轴上 ， ， 的位置确定 的符号，再
根据绝对值的性质化简即可，解题的关键是要能根据数轴上点的位置确定各式子的符号．
【详解】解：由数轴可得： ， ，
∴
∴
，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
16. 如图所示，在 中， ， ， 平分 交 于点 ， 于点
，若 的周长为 ，则 的长为______cm．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，由
，得到 ，进而得到 ，由 ， ，得到
是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出 ， ，从而得到
，判断出 是等腰直角三角形是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ 的周长为 ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
三、解答题（本题共11道小题，第17－25题每题6分，第26－27题每题7分，共68分）
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学科网（北京）股份有限公司17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】根据零指数幂，立方根，绝对值的性质，二次根式的混合运算，逐一化简合并同类项即可．
【详解】解： ，
＝ ，
＝ ．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，涉及的知识点有二次根式的混合运算，零指数幂，立方根，绝
对值等知识点，熟悉掌握化简的方法是解题的关键．
18. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】由题意利用二次根式的性质结合完全平方差公式进行运算即可得出答案．
【详解】解： ，
＝ ，
＝ ．
【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握算术平方根化简以及完全平方差公式是解题的关键．
19. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】先计算括号里的减法，同时把除法变为乘法，最后约分即可．
【详解】
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学科网（北京）股份有限公司＝
＝
＝
＝
【点睛】本题考查了分式的混合运算，注意运算顺序及符号．
20. 如图，在 和 中， ，请添加一个条件______，使得 ；并写出证
明 的过程．
【答案】 或 或 ，证明见解析．
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，由已知条件： 及公共边 ，要使 ，
可添加 或 或 ，根据全等三角形的判定即可求证，掌握全等三角
形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：若添加条件为： ，证明如下：
在 和 中，
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ；
若添加条件为： ，证明如下：
在 和 中，
∵ ，
∴
若添加条件为： ，证明如下：
∵ ，
∴ 和 为直角三角形，
在 和 中，
∵ ，
∴ ．
21. 解方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】去分母化为整式方程，然后求解方程并检验即可．
【详解】解：分式两边同乘得： ，
整理化简得： ，
解得： ，
检验，当 ， ．
是原分式方程的解．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要是考查了解分式方程，正确地去分母，把分式方程化成整式方程，是求解的关键．
22. 如图，在 中， ， ．
（1）作线段 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，要求：不写作法，保留作图痕迹；
（2）连接 ，则 的度数为______．
【答案】（1）作图见解析；
（2） ．
【解析】
【分析】（ ）分别以点 为圆心，相同的长度为半径画弧，前后弧相交于 两点，过这两点作直
线 ，直线 即为所求；
（ ）由垂直平分线的性质得到 ，进而得到 ，由 ， ，得
到 ，利用角的和差关系即可求解；
本题考查了作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌
握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图，直线 即为所求；
【小问2详解】
解：如图，连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
23. 先化简，再代入求值： ，其中 ．
【答案】 ， ．
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，先对算式进行化简，再把 代入到化简后的结果中进行计算即
可求解，掌握分式的运算是解题的关键．
详解】解：原式 ，
【
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
把 代入得，
原式 ．
24. 已知 ， ， 是 中点，过点 作 交 于点 ．若 ， ，
求 的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查垂直平分线的性质和勾股定理，根据垂直平分线可以得到 ，然后根据勾股定理
求出 长是解题的关键．
【详解】连接 ，
∵ 是 中点， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
25. 随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G商品生产厂
家更新技术后，加快了生产速度，现在每天比更新技术前多生产30万件产品，在生产500万件产品所需时
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学科网（北京）股份有限公司间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，求更新技术前每天生产多少件产品？
【答案】更新技术前每天生产120万件产品
【解析】
【分析】设更新技术前每月生产x万件产品，则更新技术后每月生产（x+30）万件产品，由“在生产500万
件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同”列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产 万件产品，
依题意，得： ．
解得： ．
经检验， 是原方程的解．
答：更新技术前每天生产120万件产品．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找出正确的等量关系列出方程是解题的关键．
26. 如图，在 中， ， 平分 ， 于点 ，若 ， ，求
的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，延长
到 ，使 ，连接 ，延长 交 于点 ，过点 作 于点 ，由等腰三角形
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学科网（北京）股份有限公司的性质得到 ， ，再证明 ，得到 ， ，由
平行线的性质得到 ，利用勾股定理即可求解，读懂题意，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，延长 到 ，使 ，连接 ，延长 交 于点 ，过点 作
于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
27. 如图， ．
（1）写出 与 的数量关系
（2）延长 到 ，使 ，延长 到 ，使 ，连接 ．求证： ．
（3）在（2）的条件下，作 的平分线，交 于点 ，求证： ．
【答案】（1） ，
（2）见解析 （3）见解析
【解析】
【分析】（1）勾股定理求得 ，结合已知条件即可求解；
（2）根据题意画出图形，证明 ，得出 ，则 ，即可得证；
（3）延长 交于点 ，延长 交 于点 ，根据角平分线以及平行线的性质证明 ，
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学科网（北京）股份有限公司进而证明 ，即可得证．
【小问1详解】
解：∵
∴ ，
∵
∴
即 ；
【
小问2详解】
证明：如图所示，
∴
∴ ，
∵ ，
∴
∵ ， ,
∴
∴
∴
∴
【小问3详解】
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学科网（北京）股份有限公司证明：如图所示，延长 交于点 ，延长 交 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴
∴
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司又 ，则 ，
在 中，
，
∴ ，
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质与判定，
熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司
