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2019-2020 学年北京市昌平区七年级（下）期末数学试卷
一．选择题（共8小题）
1. 北斗卫星导航系统（BDS）是中国自行研制的全球卫星导航系统，未来在亚太地区定位精度将优于5米，
测速精度优于0.1米/秒，授时精度优于10纳秒，10纳秒为0.00000001秒，0.00000001用科学记数法表示
为（ ）
A. 0.1×10﹣7 B. 1×10﹣8 C. 1×10﹣7 D. 0.1×10﹣8
【答案】B
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10﹣n，与较大数的科学记数法不
同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】0.00000001＝1×10﹣8．
故选：B．
【点睛】此题主要考查科学记数法的运用，熟练掌握，即可解题.
2. 不等式2x≥8的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：系数化为1可得．
【详解】两边都除以2，得：x≥4，
故选：C．
【点睛】此题主要考查一元一次不等式的解集在数轴表示，熟练掌握，即可解题.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. a2+a3＝a5 B. （ab2）3＝ab6 C. （﹣a2）3＝a6 D. a2•a3＝a5
【答案】D
【解析】
【分析】分别根据合并同类项法则、积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则逐一判断即得答案．
【详解】解：A．a2与a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．（ab2）3＝a3b6，故本选项运算错误，不合题意；C．（﹣a2）3＝﹣a6，故本选项运算错误，不合题意；
D．a2•a3＝a5，故本选项运算正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项、积的乘方以及同底数幂的乘法等运算法则，属于基础题型，熟练掌握上
述基本知识是解题的关键．
4. 为了加强学生垃圾分类意识，提高学生垃圾分类能力，某校从全校2000名学生的垃圾分类知识测试卷中
随机抽取了200份试卷进行成绩统计，在这个问题中以下说法正确的是（ ）
A. 200份试卷的成绩是样本
B. 每名学生是个体
C. 此调查为全面调查
D. 样本容量是2000
【答案】A
【解析】
【分析】根据总体、个体、全面调查和抽样调查以及样本容量的概念逐一判断即得答案．
【详解】解：A．被抽取的200份试卷的成绩是样本，故本选项说法正确，符合题意；
B．每名学生试卷的测试成绩是个体，故本选项说法错误，不合题意；
C．此调查为抽样调查，故本选项说法错误，不合题意；
D．样本容量是200，不是2000，故本选项说法错误，不合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了总体、个体、全面调查和抽样调查以及样本容量的概念，总体是指考查的对象的全体，
个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的
数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、
个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
5. 如图，直线l与直线a、b分别相交，且a∥b，∠1＝110°，则∠2的度数是（ ）
A. 20° B. 70° C. 90° D. 110°
【答案】B
【解析】【分析】由a∥b，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出∠3的度数，再利用对顶角相等即可得出∠2
的度数．
【详解】∵a∥b，
∴∠3=180°﹣∠1=180°﹣110°=70°，
∴∠2=∠3=70°．
故选：B．
【点睛】此题主要考查平行线以及对顶角的性质，熟练掌握，即可解题.
6. 已知 ，下列不等式变形不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质：不等式左右两边都加上或减去同一个数或整式，不等号方向不变；不等式左
右两边都乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式左右两边都乘以或除以同一个负数，不等号方
向改变，即可做出判断．
【详解】A. 由 知 ，此选项变形正确；
B. 由 知 ，此选项变形正确；
C. 由 知 ，此选项变形正确；
D. 由 知−a<−b，则 ，此选项变形错误；
故选D.【点睛】此题考查不等式的性质，解题关键在于掌握其性质定义.
7. 分解因式2x2﹣8结果正确的是（ ）
A. 2(x+2) (x﹣2) B. 2(x﹣2)2
.
C 2(x2﹣8) D. 2(x+2)2
【答案】A
【解析】
【分析】直接提取公因式2，再利用公式法分解因式得出答案．
【详解】解：2x2﹣8
＝2(x2﹣4)
＝2(x+2) (x﹣2)．
故选：A．
【点睛】此题考查提取公因式、因式分解的相关知识，熟练运用公式法因式分解是解题关键．
8. 如图，四边形ABCD，AC、BD交于点O，0°＜∠ABC＜90°，AB∥CD，AD∥BC，下列结论正确的是（
）
①∠AOD＝∠BOC；②∠DAC＝∠BCA；③∠BAD+∠ABC＝180°；④∠ABC＝∠ADC．
A. ①② B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】由对顶角相等和平行线的性质得出①②③正确，证出四边形 ABCD是平行四边形，得出④正确；
即可得出结论．
【详解】①∵∠AOD和∠BOC是对顶角，
∴∠AOD=∠BOC，故①正确；
②∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，故②正确；
③∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，故③正确；
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，故④正确；
故选：D．【点睛】此题主要考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握，即可解题.
二．填空题（共8小题）
9. 用不等式表示“x的2倍与3的差不小于0”_____．
【答案】2x﹣3≥0
【解析】
【分析】x的2倍与3的差，表示为2x﹣3，不小于表示的意思是大于或等于，从而可得出不等式．
【详解】解：“x的2倍与3的差不小于0”，用不等式表示为2x﹣3≥0．
故答案为：2x﹣3≥0．
【点睛】本题考查了据题意列出一元一次不等式，属于基本题型，正确理解题意、找准不等关系是关键．
10. 已知∠A＝30°，则∠A的余角为_____°．
【答案】60
【解析】
【分析】若两个角的和为90°，则这两个角互余，依此解答即可．
【详解】解：∵∠A＝30°，
∴∠A的余角＝90°﹣30°＝60°．
故答案为：60．
【点睛】本题考查了余角的定义，属于基础题目，熟练掌握余角的概念是解题关键．
11. 计算：（6x2+4x）÷2x＝_____．
【答案】3x+2
【解析】
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【详解】解：原式＝6x2÷2x+4x÷2x
＝3x+2．
故答案为：3x+2．
【点睛】本题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
12. 写出一个二元一次方程组_____，使它的解是 ．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】以1和3两个数字列出两个算式，即可确定出所求方程组．【详解】解：根据题意得： （答案不唯一）．
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的定义，属于基础题型，熟知概念、掌握解答的方法是关键．
13. 分解因式： _________．
【答案】 ．
【解析】
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，
之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式x
再应用完全平方公式继续分解即可：
【详解】
故答案为:
【点睛】考核知识点：因式分解.
14. 计算：（2x+1）（x﹣2）＝_____．
【答案】2x2﹣3x﹣2．
【解析】
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则进行解答即可得出答案．
【详解】（2x+1）（x﹣2）＝2x2﹣4x+x﹣2＝2x2﹣3x﹣2；
故答案为：2x2﹣3x﹣2．
【点睛】此题主要考查多项式乘多项式运算，熟练掌握，即可解题.
15. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单
位）；马二匹、牛五头，共价三十八两.问马、牛各价几何？”设马每匹 两，牛每头 两，根据题意可列
方程组为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据等量关系列出方程即可．【详解】解：设马每匹 两，牛每头 两，根据题意可列方程组为： ．
故答案是： ．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组解决实际问题，正确找出等量关系是解题的关键．
16. 观察、归纳：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
请你根据以上等式的规律，完成下列问题：
（1）（x﹣1）（xn+…+x2+x+1）＝_____﹣1；
（2）计算：1+2+22+…+22019＝_____．
【答案】 ①. xn+1 ②. 22020﹣1
【解析】
【分析】（1）由前3个式子归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（2）在所求的式子的左边乘以(2－1)，再利用得出的规律计算即可求出值．
【详解】解：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
根据以上等式的规律可得：
（1）（x﹣1）（xn+…+ x2+x+1）＝xn+1﹣1；
（2）原式＝（2﹣1）（1+2+22+…+22019）＝22020﹣1，
故答案为：xn+1，22020﹣1．
【点睛】本题考查了多项式的乘法和规律探求，属于常考题型，熟练掌握多项式的乘法法则、找到规律是
解题的关键．
三．解答题（共12小题）
17. 计算：32﹣（3﹣π）0+2﹣1﹣|﹣ |．
【答案】8
【解析】【分析】按顺序先分别进行乘方运算、0指数幂运算、负指数幂运算、化简绝对值，然后再进行加减运算即
可．
【详解】32﹣（3﹣π）0+2﹣1﹣|﹣ |
＝9﹣1+ -
＝8．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及了乘方运算、0指数幂、负指数幂等运算，熟练掌握各运算的
运算法则是解题的关键．
18. 解不等式：2x+1＜10﹣x．
【答案】x＜3
【解析】
【分析】根据一元一次不等式的解法先移项、合并同类项，再系数化为1解答即可．
【详解】解：移项，得2x+x＜10﹣1，
合并同类项，得3x＜9，
系数化为1，得x＜3．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，属于基础题型，熟练掌握解一元一次不等式的方法是关键．
19. 解方程组： ．
【答案】
【解析】
【分析】利用加减消元法求出方程组的解即可．
【详解】 ，
①×4+②得：11x＝22，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝1，
则方程组的解为 ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法与代入消元法是求解的关键.
20. 解不等式组： ，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】﹣2≤x≤1，数轴见解析
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无
解了确定不等式组的解集．
【详解】解不等式x+1≤2，得：x≤1，
解不等式2x≤5x+6，得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤x≤1，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
的
【点睛】此题主要考查在数轴上表示不等式组 解集，熟练掌握，即可解题.
21. 已知2x2﹣2x＝1，求代数式（x﹣1）2+（x﹣3）（x+3）的值．
【答案】-7
【解析】
【分析】先根据完全平方公式、平方差公式化简题目中的式子，然后将 2x2﹣2x＝1整体代入化简后的式子
计算即可．
【详解】解：（x﹣1）2+（x﹣3）（x+3）
＝x2﹣2x+1+x2﹣9
＝2x2﹣2x﹣8，
∵2x2﹣2x＝1，
∴原式＝1﹣8＝﹣7．
【点睛】本题考查了整式乘法的完全平方公式和平方差公式以及代数式求值，属于常考题型，熟练掌握整
式的乘法公式、灵活应用整体的思想是解题的关键．
22. 补全解答过程：
如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠A．
求证：∠B＝∠C．证明：∵∠1+∠2＝180°，
∴ （同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠3＝∠D（ ）．
又∵∠3＝∠A，
∴ ．
∴AB∥CD（ ）．
∴∠B＝∠C（ ）．
【答案】AD∥EF；两直线平行，同位角相等；∠A=∠D；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错
角相等．
【解析】
【分析】依据平行线的判定，即可得到AD∥EF，得出∠3=∠D，进而得出∠A=∠D，再根据平行线的判
定，即可得到AB∥CD，最后根据平行线的性质得出结论．
【详解】∵∠1+∠2=180°，
∴AD∥EF（同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠3=∠D（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠3=∠A，
∴∠A=∠D．
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：AD∥EF；两直线平行，同位角相等；∠A=∠D；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内
错角相等．
【点睛】此题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握，即可解题.
23. 已知关于x、y的二元一次方程y＝kx+b（k、b为常数）的正整数解如表所示：
x 1 2 3
y＝kx+b
y 5 3 1
求k和b的值．
【答案】k=﹣2，b=7．【解析】
【分析】根据表格把x与y对应的两对值，代入y＝kx+b可得关于k、b的方程组，解方程组即可求出k与b
的值．
【详解】解：把x＝1，y＝5；x＝2，y＝3代入y＝kx+b，
得： ，解得： ，
所以k=﹣2，b=7．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的概念和二元一次方程组的解法，属于常考题型，正确理解题意、
得出相应的二元一次方程组是解题的关键．
24. 问题：调查、分析某校七年级（2）班学生完整阅读中国古代四大名著的数目．
调查目的：了解该班学生阅读中国四大名著数目，为后续指导阅读提供依据．
调查范围：七年级（2）班全体学生．
调查方法：实地调查法．
数据的整理与表示：
某校七年级（2）班学生完整阅读中国四大名著数目统计表
完整阅读的数目 4 3 2 1
人数 m 10 2 2
问题：
（1）表格中m的值为 ；
（2）阅读4本扇形圆心角的度数为 °；
（3）求七年级（2）班学生平均阅读中国四大名著的数目；
（4）完整阅读中国古代四大名著数目的众数为 本；
（5）完整阅读中国古代四大名著数目的中位数为 本．
【答案】（1）6；（2）108；（3）3本；（4）3；（5）3
【解析】【分析】（1）先根据完整阅读3本的人数及其所占百分比可得被调查的总人数，再根据各数目的人数之和
等于总人数可得m的值；
（2）用360°乘以阅读4本的人数所占比例即可得；
（3）根据加权平均数的定义列式计算可得；
（4）根据众数的概念求解可得；
（5）根据中位数的概念求解可得．
【详解】（1）∵被调查的总人数为10÷50%＝20（人），
∴m＝20﹣（10+2+2）＝6，
故答案为：6；
（2）阅读4本扇形圆心角的度数为360°× ＝108°；
故答案为：108；
（3）七年级（2）班学生平均阅读中国四大名著的数目为 ＝3（本）；
（4）完整阅读中国古代四大名著数目的众数为3本，
故答案为：3；
（4）完整阅读中国古代四大名著数目的中位数为 ＝3（本），
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查调查的相关知识，涉及到加权平均数、中位数、众数等概念，熟练掌握，即可解题.
25. 七年级某班现有班费45元，计划购买甲、乙两种小礼品共10件作为班级主题班会学生活动的奖品，它
们的单价分别为4元、5元．若45元班费正好用完，求甲、乙两种小礼品各购买多少件．
【答案】甲种小礼品购买5件，乙种小礼品购买5件
【解析】
【分析】设甲种小礼品购买x件，则乙种小礼品购买y件，根据：①甲、乙两种小礼品共10件；②费用45
元列方程组求解即可．
【详解】解：设甲种小礼品购买x件，则乙种小礼品购买y件，依题意有
，
解得 ．故甲种小礼品购买5件，乙种小礼品购买5件．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
26. 小明和小亮玩纸片拼图游戏，发现利用图1中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．
例如图2可以解释的等式为（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）图3可以解释的等式为 ；
（2）请你利用图1中的三种材料各若干拼出一个正方形来解释（a+b）2＝a2+2ab+b2，画出你拼出的正方
形示意图；
（3）要拼出一个长为a+3b，宽为2a+b的长方形，需要如图1所示的边长为a的正方形纸片 块，长
为b，宽为a的长方形纸片 块，边长为b的正方形纸片 块．
【答案】（1）（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2；（2）见解析；（3）2，7，3
【解析】
【分析】（1）用不同的方法表示图3的面积，即可得出等式；
的
（2）将边长为a 正方形1张，长为b、宽为a的长方形纸片2张，和边长为b的正方形纸片1张，可以拼
成边长为（a+b）的正方形，据此解答即可；
（3）利用多项式的乘法法则计算出结果，进而可知各种纸片的张数．
【详解】解：（1）图3的面积可以用（a+2b）（2a+b）表示，也可以用2a2+5ab+2b2表示，因此有
（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2，
故答案为：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2；
（2）（a+b）2＝a2+2ab+b2，用图形表示如图所示：
（3）由于（a+3b）（2a+b）＝2a2+7ab+3b2，因此需要边长为a的正方形纸片2张，长为b、宽为a的长方
形纸片7张，边长为b的正方形纸片3张，
故答案为：2，7，3．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景和多项式的乘法，属于常考题型，正确理解题意、掌握图形面积的不同表示方法是解答的关键．
27. 如图，CE是∠ACD的平分线，过点A作CD的平行线交CE于点B．
（1）补全图形；
（2）求证：∠ACB＝∠ABC；
（3）点P是射线CE上的一点（点P不与点B和点C重合），连接AP，∠PCD＝α，∠PAB＝β，∠APC＝
γ，请直接写出α，β与γ之间的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）当点P在B、C两点之间时，α+β＝γ；当点P在CB的延长线
上时，α﹣β＝γ
【解析】
【分析】（1）根据题意作出平行线便可；
（2）由平行线的性质得∠ABC＝∠BCD，再根据角平分线定义得∠ACB＝∠BCD，进而由等量代换得结果；
（3）分两种情况：P点在B、C之间时；P点在CB的延长线上时．分别写出关系式．
【详解】解：（1）根据题意作图如下，
（2）∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
∵∠ACB＝∠BCD，
∴∠ACB＝∠ABC；
（3）当点P在B、C两点之间时，α+β＝γ，如图2，过P点作PQ∥AB交AC于点Q，∴∠CPQ＝∠PCD＝α，∠APQ＝∠BAP＝β，
∴∠CPQ+∠APQ＝α+β，
∴∠APC＝α+β，即α+β＝γ；
当点P在CB的延长线上时，α﹣β＝γ，如图3，过P作PQ∥AB交AC于点Q，
∴∠CPQ＝∠PCD＝α，∠APQ＝∠BAP＝β，
∴∠CPQ﹣∠APQ＝α﹣β，
∴∠APC＝α﹣β，即α﹣β＝γ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角的和差关系，第（3）题关键是分情况讨论．
28. 如图，数轴上两点A、B对应的数分别是﹣1，1，点P是线段AB上一动点，给出如下定义：如果在数
轴上存在动点Q，满足|PQ|＝2，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是
整数时我们称为连动整数．
（1）﹣3，0，2.5是连动数的是 ；
（2）关于x的方程2x﹣m＝x+1的解满足是连动数，求m的取值范围 ；
（3）当不等式组 的解集中恰好有4个解是连动整数时，求a的取值范围．
【答案】（1）﹣3，2.5；（2）﹣4＜m＜﹣2或0＜m＜2；（3）1≤a＜2．【解析】
【分析】（1）根据连动数的定义逐一判断即得答案；
（2）先求得方程的解，再根据连动数的定义得出相应的不等式组，解不等式组即可求出结果；
（3）先解不等式组中的每个不等式，再根据连动整数的概念得到关于a的不等式组，解不等式组即可求得
答案．
【详解】解：（1）设点P表示的数是x，则 ，
若点Q表示的数是﹣3，由 可得 ，解得：x=﹣1或﹣5，所以﹣3是连动数；
若点Q表示的数是0，由 可得 ，解得：x=2或﹣2，所以0不是连动数；
若点Q表示的数是2.5，由 可得 ，解得：x=﹣0.5或4.5，所以2.5是连动数；
所以﹣3，0，2.5是连动数的是﹣3，2.5，
故答案为：﹣3，2.5；
（2）解关于x的方程2x﹣m＝x+1得：x＝m+1，
∵关于x的方程2x﹣m＝x+1的解满足是连动数，
∴ 或 ，
解得：﹣4＜m＜﹣2或0＜m＜2；
故答案为：﹣4＜m＜﹣2或0＜m＜2；
（3） ，
解不等式①，得x＞﹣3，
解不等式②，得x≤1+a，
∵不等式组 的解集中恰好有4个解是连动整数，
∴四个连动整数解为﹣2，﹣1，1，2，
∴2≤1+a＜3，解得：1≤a＜2，
∴a的取值范围是1≤a＜2．
【点睛】本题是新定义试题，以数轴为载体，主要考查了一元一次不等式组，正确理解连动数与连动整数、列出相应的不等式组是解题的关键．
