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2024—2025 学年高三年级 9 月入学摸底考试
数学
考试说明：
1.本试卷共150分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填在答题卡上.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知 ，则 （ ）
.
A -13 B. 0 C. D. 13
2. 已知 ，使 成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知向量 满足 ，且 ，则 （ ）
A. -9 B. -6 C. 6 D. 9
4. 某校高三数学老师共有20人，他们的年龄分布如下表所示：
年龄
人数 1 2 6 5 4 2
下列说法正确的是（ ）
A. 这20人年龄的 分位数的估计值是46.5
B. 这20人年龄的中位数的估计值是41
C. 这20人年龄的极差的估计值是55
D. 这20人年龄的众数的估计值是35
5. 已知 两点坐标分别 .直线 相交于点 ，且它们的斜率之和是3，则点 的
轨迹方程为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
.
C D.
6. 已知 ，将 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图象，函数
的图象与y=g(x)的图象交点横坐标为 ，则 最小值为（ ）
A. 1 B. C. D.
7. 已知正三棱台 ，上下底面边长分别为1和3，侧面和底面所成角为 ，则棱台的体积为
（ ）
A. B. C. D.
8. 已知 ，则（ ）
.
A B.
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数 ，周期为 ，且满足 ，则（
）
A.
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学科网（北京）股份有限公司B. 向右平移 个单位变为偶函数
C. 在区间 上单调递减
D. 在 上有两个不相等的实数解
10. 已知曲线 上的动点 到点 的距离与其到直线 的距离相等，则（ ）
A. 曲线 的轨迹方程为
B. 若 为曲线 上的动点，则 的最小值为5
C. 过点 ，恰有2条直线与曲线 有且只有一个公共点
的
D. 圆 与曲线 交于 两点，与 交于 两点，则 四点围成 四边形的
周长为12
11. 已知函数 ，则（ ）
A. 时， 是 的极大值点
B. 若 存在三个零点，则
C. 当 时，过点 可以作 的切线，有且只有一条
D. 存在 ，使得
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 记 为等比数列 的前 项和，若 ，则 __________.
13. 已知 ，则 __________.
14. 为促进学生个性化全面发展，树人中学开设了丰富多彩的课余选课活动.已知高一年级共100人开始选
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学科网（北京）股份有限公司课，要求没有人选到的课是一模一样的.通过选课模拟测试，发现每人选课3门，不合要求，每人选课4门，
符合要求.则年级总共开设__________门课.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 的内角 所对的边分别是 ，已知 .
（1）求 ；
（2）若 ，求 的面积.
16. 已知 和 为椭圆 上的两点.
（1）求椭圆 的离心率；
（2）设直线 与椭圆 交于 两点，求 的取值范围.
17. 如图，在四棱锥 中，等边 与等边 的边长均为 ， .
（1）若 平面 ，求 ；
（2）若 ，求二面角 的余弦值.
18. 某校社团开展知识竞赛活动，比赛有 两个阶段，每队由两名成员组成.比赛规则如下： 阶段由某
参赛队中一名队员答2个题，若两次都未答对，则该队被淘汰，该队得0分；若至少答对一个，则该队进
入 阶段，并获得5分奖励.在 阶段由参赛队的另一名队员答3个题，每答对一个得5分，答错得0分，
该队的成绩为 ， 两阶段的得分总和.已知某参赛队由甲乙两人组成，设甲每次答对的概率为 ，乙每
次答对的概率为 ，各次答对与否相互独立.
（1）若 ，甲参加 阶段比赛，求甲乙所在队的比赛成绩不少于10分的概率；
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学科网（北京）股份有限公司（2）①设甲参加 阶段比赛，求该队最终得分 的数学期望 （用 表示）；
② ，且 ，设乙参加 阶段比赛时，该队最终得分 的数学期望为 ，则
时，求 的最小值.
19. 牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.如图， 是函数 的
零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近 的实数 ，在横坐标为 的点处作
的切线，则 在 处的切线与 轴交点的横坐标是 ，同理 在 处的切线与 轴
交点的横坐标是 ，一直继续下去，得到数列 .令 .
（1）当 时，用牛顿法求出方程 的近似解 ；
（2）在（1）的条件下，当 时，写出 与 的关系式（无需证明），并求数列 的
通项公式；
（3）令 ，已知 是两个正实数，且 ，求证： .
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